/海南省海口市海口中學(xué)2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．下列各組中的兩個(gè)函數(shù)為相同函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與3．已知為單位向量，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．4．在今年高考數(shù)學(xué)=2\*ROMANII卷的閱卷工作中，某質(zhì)檢老師隨機(jī)抽取了10份試卷，對概率統(tǒng)計(jì)解答題第18題的閱卷評分進(jìn)行了復(fù)查，得分記錄分別為13，17，11，9，12，15，10，8，10，7，則這組樣本數(shù)據(jù)的（

）A．極差為11分 B．眾數(shù)為10.5分C．平均數(shù)為11分 D．中位數(shù)為10.5分5．在中，已知，，，則（

）A． B． C． D．6．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，若，則f100=（

）A． B．1 C． D．27．已知球的表面積為，邊長為3的等邊的三個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．8．已知，關(guān)于的不等式的解集是，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．在回歸模型的殘差分析中，決定系數(shù)越接近1，說明回歸模型的擬合效果越好B．若甲、乙兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為0.92，，則甲比乙的線性相關(guān)性強(qiáng)C．在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，相對于樣本點(diǎn)的殘差為D．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，當(dāng)（為的臨界值）時(shí)，推斷不成立犯錯誤的概率不會超過10．已知圓的圓心為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，動點(diǎn)滿足PE+PF=6，則（

）A．曲線與有兩個(gè)不同的公共點(diǎn) B．點(diǎn)的軌跡為橢圓C．的最大值為5 D．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，11．已知函數(shù)，則（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減 D．當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，若，則公差.13．某城區(qū)交通要道有積雪堵塞，現(xiàn)場有9名男志愿者和5名女志愿者，交警擬安排其中3名女志愿者和2名男志愿者參與掃雪工作.其余志愿者參與鏟雪工作，則不同的安排方法共有種.（用數(shù)字作答）14．已知函數(shù)，.若，則；若函數(shù)的圖象與的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的極大值；(2)若在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．如圖1，在邊長為2的正方形中，為的中點(diǎn)，分別將，沿，所在直線折疊，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖2.在三棱錐中，為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．已知雙曲線的離心率為，且的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線與的右支相交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，證明：為銳角.18．某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)一個(gè)口罩需經(jīng)過，，三道相互獨(dú)立的工序，每道工序的生產(chǎn)質(zhì)量分為優(yōu)和良兩個(gè)層級.當(dāng)三道工序的生產(chǎn)質(zhì)量都為優(yōu)時(shí)，口罩的過濾等級為一等；當(dāng)工序的生產(chǎn)質(zhì)量為優(yōu)，且，工序的生產(chǎn)質(zhì)量至多有一個(gè)為優(yōu)時(shí)，口罩的過濾等級為二等；其余情況下口罩的過濾等級均為三等.據(jù)抽樣檢測和統(tǒng)計(jì)分析，一個(gè)口罩在，，三道工序中的生產(chǎn)質(zhì)量為優(yōu)層級的概率分別為0.5，0.75，0.8.生產(chǎn)一個(gè)口罩的利潤與過濾等級有關(guān)，其中一等2元/個(gè)，二等1元/個(gè)，三等0.5元/個(gè).(1)求該廠生產(chǎn)的口罩過濾等級為一等所占的概率為多少；(2)從該廠生產(chǎn)的口罩中任取3個(gè)，求過濾等級有2個(gè)二等和1個(gè)三等的概率；(3)為了提高工序的生產(chǎn)質(zhì)量為優(yōu)層級的概率，該廠擬對工序的生產(chǎn)環(huán)節(jié)進(jìn)行升級改造.升改后每個(gè)口罩的生產(chǎn)成本增加0.2元（銷售價(jià)格不變），工序的生產(chǎn)質(zhì)量為優(yōu)層級的概率達(dá)到0.9.試從一個(gè)口罩利潤的期望值考慮，該廠是否應(yīng)該實(shí)施升級改造？19．已知函數(shù)，將函數(shù)的所有零點(diǎn)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)無窮數(shù)列：記.(1)求函數(shù)的最大值和最小值；(2)求的值；(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：對于任意正整數(shù)，.

答案1．【正確答案】D【分析】直接利用交集與補(bǔ)集的概念計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，所以.故選D.2．【正確答案】B【分析】根據(jù)相同函數(shù)的判定方法逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對A，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)椋瑒t兩個(gè)函數(shù)不是相同函數(shù)，故A錯誤；對B，，且兩函數(shù)的定義域均為，則兩個(gè)函數(shù)相同函數(shù)，故B正確；對C，，則兩個(gè)函數(shù)不是相同函數(shù)，故C錯誤；對D，與，兩函數(shù)對應(yīng)法則完全不同，故兩函數(shù)不是相同函數(shù)，故D錯誤.故選B.3．【正確答案】C【分析】由求出，再利用向量的夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄浚遥裕茫裕驗(yàn)椋?故選C.4．【正確答案】D【分析】利用極差、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義計(jì)算一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】由數(shù)據(jù)可知得分最高為17，最低為7，故極差為10，A錯誤；顯然10出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為10，B錯誤；平均數(shù)為，故C錯誤；從小到大排列數(shù)據(jù)，易知中位數(shù)為，故D正確.故選D.5．【正確答案】C【分析】首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可.【詳解】設(shè)角所對應(yīng)的邊分別為，則，根據(jù)余弦定理有，則，根據(jù)正弦定理有，即，解得.故選C.6．【正確答案】C【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性與周期性計(jì)算即可.【詳解】由，所以T=6是函數(shù)的一個(gè)周期，所以，又是偶函數(shù)且，所以.故選C.7．【正確答案】A【分析】求出球的半徑和所在平面截球所得的小圓的半徑，利用勾股定理可得球心到所在平面的距離，再利用棱錐的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，得設(shè)所在平面截球所得的小圓的半徑為，圓心為，則為外接圓的半徑，因?yàn)榈冗叺倪呴L為3，所以所以球心到所在平面的距離為所以三棱錐的體積故選A.8．【正確答案】B【分析】利用“三個(gè)二次”關(guān)系，先確定是方程的兩個(gè)不等根得出關(guān)系式，再利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】由題設(shè)是方程的兩個(gè)不等根，所以，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故選B.9．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)決定系數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念即可判斷B；根據(jù)殘差的計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算方法即可判斷D.【詳解】對A，根據(jù)決定系數(shù)越大，說明回歸模型的擬合效果越好，即決定系數(shù)越接近1，說明回歸模型的擬合效果越好，故A正確；對B，因?yàn)椋瑒t則甲比乙的線性相關(guān)性弱，故B錯誤；對C，當(dāng)時(shí)，預(yù)估值，則殘差為，故C正確；對D，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，D選項(xiàng)正確.故選ACD.10．【正確答案】BC【分析】先求出圓心坐標(biāo)、拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)題中條件可得點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，長軸長為6的橢圓判斷BCD；聯(lián)立圓和拋物線方程解得交點(diǎn)坐標(biāo)判斷A；【詳解】圓的圓心為E(2,0)，半徑為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，對于A，曲線與聯(lián)立方程組消得，解得或（舍），所以曲線與有一個(gè)公共點(diǎn)，A錯誤；對于B，動點(diǎn)滿足PE+PF=6，根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，長軸長為6的橢圓，B正確；對于C，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，長軸長為6的橢圓，所以PF的最大值為，C正確；對于D，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，長軸長為6的橢圓，即點(diǎn)的軌跡方程為，點(diǎn)在上時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)或,因?yàn)?所以,D錯誤.故選BC.11．【正確答案】ACD【分析】對于A，直接求解函數(shù)的定義域判斷，對于B，分析函數(shù)的值域判斷，對于C，由函數(shù)圖象平移規(guī)律分析判斷，對于D，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分析判斷.【詳解】對于A，由，得，所以的定義域?yàn)椋訟正確，對于B，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋訠錯誤，對于C，因?yàn)椋缘膱D象可以由向左平移2個(gè)單位，向上或向下平移個(gè)單位得到，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以C正確，對于D，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，定義域?yàn)椋驗(yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，所以D正確.故選ACD.12．【正確答案】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及和的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，所以.故答案為.13．【正確答案】360【分析】直接利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】先選3名女志愿者有種選法，再選2名男志愿者有種選法，最后余下的鏟雪，有1種選法，所以共種安排方法.故360.14．【正確答案】;【分析】利用分段函數(shù)的定義直接計(jì)算可得第一空；作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合分類討論即得.【詳解】若，則，顯然，則；如圖所示作出的大致圖象，易知過原點(diǎn)，要滿足題意需與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)過時(shí)，此時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)?shù)男甭式橛跁r(shí)滿足題意，即.故；.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值即可；（2）分離參數(shù)，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為在定區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，由三角函數(shù)性質(zhì)可知時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即是函數(shù)在區(qū)間上的極大值；（2）問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解，令，，則，令，所以單調(diào)遞減，則，即，故在時(shí)單調(diào)遞減，此時(shí)，所以.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直，再證線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算線面夾角即可.【詳解】（1）由條件易知，所以，而平面，所以平面，又平面，所以；（2）取的中點(diǎn)，連接，過O作的平行線，易知，則，由上可以得，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，即,設(shè)平面的一個(gè)法向量，有，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.17．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用雙曲線的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離計(jì)算即可；（2）設(shè)直線的方程及坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式證明的余弦值為正即可.【詳解】（1）設(shè)，則，易知的漸近線方程為，由對稱性知，焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離相同，即，又，則雙曲線方程為：；（2）由上知，不妨設(shè)的方程為及顯然，異號，則，，聯(lián)立，整理得，則，易知，而異號，則，所以，即，即為銳角，得證.18．【正確答案】(1)(2)(3)該廠應(yīng)該實(shí)施升級改造，理由見解析【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算可得答案；（2）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出二等所占、三等所占的比率；再由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算可得答案；（3）求出改造前、改造后生產(chǎn)一個(gè)口罩的利潤均值，再做比較可得答案.【詳解】（1）該廠生產(chǎn)的口罩過濾等級為一等的概率為；（2）該廠生產(chǎn)的口罩過濾等級為二等的概率為，為三等的概率為，所以從該廠生產(chǎn)的口罩中任取3個(gè)，過濾等級有2個(gè)二等和1個(gè)三等的概率為；（3）該廠應(yīng)該實(shí)施升級改造，理由如下，表示改造前生產(chǎn)一個(gè)口罩的利潤，則可取2，1，0.5，所以，，，則，改造后，該廠生產(chǎn)的口罩過濾等級為一等的概率為為二等的概率為，為三等的概率為，表示改造后生產(chǎn)一個(gè)口罩的利潤，則可取1.8，0.8，0.3，所以，，，則，因?yàn)椋栽搹S應(yīng)該實(shí)施升級改造.19．【正確答案】(1)的最大值和最小值分別為；(