思維導圖第2章二元一次方程組思維導圖【類型覆蓋】類型一、二元一次方程(組)的整數解【解惑】已知關于，的方程組，若方程組的解中恰為整數，也為整數，則的值為（

）A． B．1 C．或3 D．或【答案】D【分析】利用加減消元法解關于、的方程組得到，利用有理數的整除性得到，從而得到滿足條件的的值．【詳解】解：，得，解得，∵為整數，為整數，∴，∴的值為或．故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．也考查了解二元一次方程組．【融會貫通】1．關于x，y的二元一次方程組的解為正整數，則滿足條件的所有整數a的和為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3【答案】C【分析】先求出方程組的解，由方程組的解為正整數分析得出a值．【詳解】解：解方程組，得，∵方程組的解為正整數，∴a＝0時，；a＝2時，，∴滿足條件的所有整數a的和為0+2＝2．故選：C．【點睛】此題考查了已知二元一次方程組的解求參數，解題的關鍵是求出方程組的解，由方程組解的情況分析得到a的值．2．若關于的二元一次方程組的解為整數，則滿足條件的所有的值的和為.【答案】【分析】把看作已知數由加減消元法求得，由方程組的解為整數，確定出的值即可．【詳解】解：，得，解得：∵關于、的方程組的解為整數，∴，∴滿足條件的所有的值的和為．故答案為：．3．已知關于x和y的方程組有正整數解，求整數a的值．【答案】1或2或4或10【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，利用有理數的整除的性質解答是解題的關鍵．利用加減法求出方程組的解，利用已知條件得到關于a的關系式，利用有理數的整除的性質解答即可得出結論【詳解】解：，由得：，∴當時，，∵有正整數解∴，且或2或3或4或6或12∴，當，則，此時，（舍）；當，則，此時，（舍）；當，則，此時，；當，則，此時，；當，則，此時，；當，則，此時，，∴整數a的值為1或2或4或10．類型二、二元一次方程組的換組求解【解惑】如果方程組的解與方程組的解相同，則，的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩方程組的解相同，可得出方程組的解為，代入后可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論．【詳解】解：根據題意方程組的解與方程組的解相同，則有，解得：，將，代入得，，解得：．故選：B．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，牢記“一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”是解題的關鍵．【融會貫通】1．已知關于x，y的方程組和的解相同，則的值為（）A． B．0 C．1 D．2023【答案】B【分析】聯立不含與的方程組成方程組，求出方程組的解得到與的值，進而求出與的值，即可求出所求．【詳解】解：聯立得：，得：，解得：，把代入①得：，把，代入得：，解得：，則原式．故選：B．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數的值．2．已知關于，的兩個方程組和的解相同，則．【答案】【分析】此題主要考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程，先根據方程組和的解相同，得方程組的解是方程組和的解，再由，得，然后將代入和中，得，由此可得的值，理解二元一次方程組的解，熟練掌握解二元一次方程是解決問題的關鍵．【詳解】解：∵方程組和的解相同，∴方程組的解是方程組和的解，解方程組，得，將代入和，得，得：，∴，故答案為：．3．已知關于x、y的方程組的解和的解相同，求代數式的平方根．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，平方根，由同解方程求解x，y值是解題的關鍵．根據兩方程組的解相同可將和重新組成方程組，解方程組可求解x，y值，即可得關于a，b的方程組，進而可求解的值．【詳解】解：∵方程組的解和的解相同，∴方程組的解和的解相同，解得：，∴，解得：，∴，即代數式的平方根為．類型三、二元一次方程組的誤解【解惑】在數學課上，吳老師叫同學們解方程組，由于小明看錯了方程①中的a，得到方程組的解為，小華看錯了方程②中的b，得到方程組的解為，則的平方根為（

）A．±3 B．3 C．9 D．±9【答案】A【分析】根據方程組的解的定義，應滿足方程②，應滿足方程①，將它們分別代入方程②①，就可解得a，b的值，進而即可求解.【詳解】解：將代入②得：，解得：，將代入①得：，解得：，∴，即：的平方根是±3，故選A.【點睛】本題考查了二元一次方程組的解和平方根的定義，能求出a、b的值是解題的關鍵．【融會貫通】1．兩位同學在解方程組時，甲同學由正確地解出乙同學因把寫錯了解得那么的正確的值應為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】把代入得，由方程組中第二個式子可得：．再由，可得a，b的值，從而可得答案．【詳解】解：把代入得：，由②得：，∵乙同學因把寫錯了解得，∴，∴，解得：，∴B符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的錯解問題，解題的關鍵是理解題意得出正確的方程組．2．解方程組時，甲同學正確解得，乙同學因把c寫錯而得到，則．【答案】10【分析】將代入方程組可得，再將代入方程可得，然后解方程組可得的值，代入計算即可得．【詳解】解：將代入方程組可得，解得，將代入方程可得，聯立，解得，則，故答案為：10．【點睛】本題考查了二元一次方程組的錯解問題，熟練掌握消元法是解題關鍵．3．甲、乙兩人同時解方程組甲看錯了，求得解為；乙看錯了，求得解為．請你求出的值．【答案】【分析】本題考查了方程組的解，代數式的值計算，熟練掌握解方程組的解的性質，是解題的關鍵．把，代入，求得a值，把，代入，求得b值，后求的值即可．【詳解】解：把，代入，得，解得，把，代入，得，解得，所以．類型四、二元一次方程組的整體代換法【解惑】已知關于，的方程組的解是，則關于，的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組．熟練掌握二元一次方程組的解，解二元一次方程組是解題的關鍵．由題意得，關于，的方程組的解是，進而可得關于，的方程組的解．【詳解】解：∵關于，的方程組的解是，∴關于，的方程組的解是，即，∴關于，的方程組的解是，故選：B．【融會貫通】1．已知關于x，y的方程組的解為請直接寫出關于m、n的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，根據關于x，y的方程組的解為，得出，結合關于m、n的方程組，得出，進行解方程，即可作答．【詳解】解：∵∴∵關于x，y的方程組的解為，∴∵關于m、n的方程組∴解得故選：B2．已知關于x，y的方程組的解為，則關于x，y的方程組的解為．【答案】【分析】本題考查的是二元一次方程組的特殊解法．把原方程化為，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，而關于，的方程組的解是，∴，解得：；故答案為：．3．在數學課上，老師教給了同學們一種新的解方程組的方法，例如：解方程組時，可由①得③，然后再將③代入②，得，解得，從而進一步得這種方法被稱為“整體代入法”．(1)用上述方法解方程組(2)若方程組的解是，求方程組的解．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一元二次方程組的解，解一元二次方程組，根據題中給出的整體代入的方法求解方程組是解題關鍵．（1）根據題中給出的方法，利用整體代入法求解方程組即可；（2）根據題意可得出，再利用加減消元法求解方程組即可．【詳解】（1）解：，由①，得③，把③代入②，得，解得，將代入③，得，解得，所以方程組的解為；（2）方程組的解是，由題意可得，解得．類型五、二元一次方程組的新定義運算【解惑】對于實數x、y定義新運算：（其中a，b為常數），已知，則的值為（

）A．9 B．8 C．4 D．3【答案】A【分析】本題主要考查二元一次方程組的解法及有理數的乘方運算，解題的關鍵是理解題中所給運算；因此此題可根據題中所給新定義運算建立方程組，然后問題可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：，∴；故選A．【融會貫通】1．對于實數a，b，定義運算“◆”：，例如，因為．所以．若x，y滿足方程組，則（

）A．13 B．26 C．30 D．60【答案】D【分析】先利用加減消元法求出方程組的解，再根據所給的新定義代值計算即可．【詳解】解：解方程組得，∵，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，新定義下的實數運算，正確求出方程組的解是解題的關鍵．2．對于定義一種新運算（是非零常數）．例如．若，，則．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用、代數式求值等知識，正確確定的值是解題關鍵．首先根據題意確定關于的二元一次方程，求解即可確定的值，然后代入求值即可．【詳解】解：根據題意，可得，解得，∴．故答案為：．3．對于有理數和，定義新運算：，其中、是常數，已知，．(1)求、的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查定義新運算，解二元一次方程組：（1）根據新定義，列出方程組進行求解即可；（2）根據新定義的法則，結合，列式計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，得，，整理得，，解得，，把代入①得，，解得，，∴；（2）根據題意得，，解得．類型六、二元一次方程組的應用——平行線問題【解惑】已知，如圖1，射線分別與直線，相交于，兩點，的平分線與直線相交于點，射線交于點，設，，且．(1)求α，β；(2)如圖2，若點G，H分別在射線和線段上，且，試找出與之間存在的數量關系，并證明你的結論；(3)若將圖中的射線繞著端點逆時針方向旋轉（如圖3），分別與，相交于點和點時，作的角平分線與射線相交于點，問在旋轉的過程中的值是否改變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)不變，．【分析】（1）利用非負數的性質可知：；（2）結論．只要證明即可解決問題；（3）結論：的值不變，．如圖3中，作的平分線交的延長線于．只要證明，即可；【詳解】（1）證明：，；（2）解：．理由：∵，∵平分，∵，，∴；，，，∴，，，；（3）解：的值不變，．理由：如圖3中，作的平分線交的延長線于．∵，，，，，∴，，設，，則有：，可得，．【點睛】本題考查平行線的判定和性質、角平分線的定義、非負數的性質、解二元一次方程組等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題．【融會貫通】1．某市為提升山海健康步道夜景效果，在兩條筆直平行的景觀道，上安裝旋轉燈，旋轉燈A的光射線自順時針旋轉至再回轉，燈B的光射線自旋轉至再回轉，燈A為激光燈，燈B為燈，分為兩種型號，型號一每秒轉，型號二每秒轉，這兩種型號的燈購買費用如下表：購買型號一數量（個）購買型號二數量（個）總價（元）1214534335

(1)如圖1，若燈A的光射線順時針旋轉，光線與交于C點，D為上一點，且，求．(2)如圖2，若燈A每秒轉，其先轉20秒后燈B開始轉40秒后，兩燈的光束的夾角為．請你判斷所安裝的是哪個型號的燈，并求該型號燈單個購買費用．(3)如圖3，在轉動過程中，若某一時刻兩燈的光束交于點O，此時點E為射線上一點，與的角平分線交于點F，求和的數量關系．【答案】(1)(2)50(3)【分析】（1）根據題意可知，，根據平角的定義和平行線的性質即可得出答案；（2）設兩燈的光束交于點，過作，根據平行線的性質得，則，根據題意得，進而算出，根據“轉速二轉過的角度時間”列出算式計算，設設型號一的燈單價為元，型號二的燈單價為元，根據題意列出二元一次方程組，再求解即可；（3）設與交于點，根據平行線的性質得，即，，根據角平分線的性質得，再根據角平分線的性質和三角形外角性質得，以此化簡即可解答．【詳解】（1）解：∵燈的光射線順時針旋轉，光線與交于點，（2）解：設兩燈的光束交于點，過作，由題意可得，∴，∴，∴燈的旋轉速度為(度/秒)∴安裝的是型號二的燈，設型號一的燈單價為元，型號二的燈單價為元，根據題意得：，解得∶，型號一的燈單價為45元，型號二的燈單價為50元，∴該型號燈單個購買費為50元；（3）解：設與交于點，如圖，∵，∴，即，∴，∵、分別為與的角平分線，∴，∵∴，即，，即即．【點睛】本題主要考查平行線的性質、二元一次方程組的應用、角平分線的性質、三角形外角性質，靈活運用所學知識解決問題是解題關鍵．2．佛堂古鎮的萬善浮橋，其夜晚的燈光秀美輪美輪，兩岸景觀照明還榮獲了中國照明學會第十六屆照明獎的一等獎．如圖1所示，記浮橋兩岸所在直線分別為，且，浮橋上裝有兩種不同的激光燈A和激光燈B（假設以及由A、B兩點發出的光射線始終在同一平面內），燈A的光射線以2度每秒的速度從射線順時針旋轉至射線后繼續回轉，燈B的光射線以5度每秒的速度從射線順時針旋轉到射線后也繼續回轉，當打開激光燈的總開關時，激光燈A和激光燈B同時開始轉動．

(1)若購買2盞燈A和4盞燈B共需10萬元，購買3盞燈A和2盞燈B共需8.6萬元，請問：購買燈A和燈B的單價分別是多少萬元？(2)打開總開關，當燈A的光射線第一次從射線旋轉至射線的過程中，求燈A和燈B的光射線恰好互相垂直時所需要的時間．(3)如圖2，打開總開關，當燈B的光射線第一次從射線旋轉至射線BS的過程中，若燈A和燈B的光射線有交點（記為點O），延長至點E，作與的角平分線并交于點F，求與的數量關系．【答案】(1)買燈A單價是萬元，買燈B的單價是萬元；(2)秒，秒，秒；(3)【分析】（1）列二元一次方程組求解即可；（2）分三種情況畫出圖形，根據角的關系列出方程求解即可；（3）過點作，根據平行線的性質和角平分線的定義推導即可.【詳解】（1）解：設買燈A和燈B的單價分別是萬元和萬元，根據題意，得：解得：答：買燈A單價是萬元，買燈B的單價是萬元．（2）解：設旋轉時間為秒，燈A的光射線第一次從射線順時針旋轉至射線所需的時間為：(秒)，燈B的光射線從射線順時針旋轉到射線所需的時間為：(秒)，①當時，燈A和燈B的光射線恰好互相垂直，如圖所示：

作，∵，∴，∴，，∵，∴，于是有：，解得：；②當時，燈A和燈B的光射線恰好互相垂直，如圖所示：

此時，，，于是有：，解得：；③當時，燈A和燈B的光射線恰好互相垂直，如圖所示：

此時，，，于是有：，解得：；綜上可得，當燈A的光射線第一次從射線AQ旋轉至射線AP的過程中，燈A和燈B的光射線恰好互相垂直時所需要的時間為：秒，秒，秒（3）解：與的數量關系是：過點作，如圖所示：

∵，∴，∴，∵作與的角平分線并交于點F，∴，∴即.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，平行線的判定和性質，角平分線的定義，構造圖形并正確分類是解題的關鍵.3．已知，點為平面內一點，于．（1）如圖1，過點作于點，與有何數量關系，并說明理由；（2）如圖2，在（1）問的條件下，點，在上，連接，，，若平分，平分，，，求的度數．【答案】（1），理由見解析；（2）9°【分析】（1）先過點作，根據同角的余角相等，得出，再根據平行線的性質，得出，即可得到，可得；（2）先過點作，根據角平分線的定義，得出，再設，，根據，可得，根據，可得，最后解方程組即可得到．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，∵，∴，，即，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）如圖2，過點作，∵平分，平分，∴，，由（1）可得，∴，設，，則，，，，∴，∵，，∴，中，由，可得，①由，可得，②由①②聯立方程組，解得，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質的運用，解決問題的關鍵是作平行線構造內錯角，運用等角的余角（補角）相等進行推導．余角和補角計算的應用，常常與等式的性質、等量代換相關聯．解題時注意方程思想的運用．類型七、二元一次方程組的應用——圖表信息問題【解惑】在的方格中，每行、每列及對角線上的3個代數式的和都相等，我們把這樣的方格圖叫做“等和格”．如圖1的“等和格”中，每行、每列及對角線上的3個代數式的和都等1

圖2

圖3

圖4(1)在圖2的“等和格”方格圖中，可得__________（用含的代數式表示）；(2)在圖3的“等和格”方格圖中，可得__________，__________；(3)在圖4的“等和格”方格圖中，可得__________．【答案】(1)(2)；2(3)【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及列代數式，找準等量關系，找出關于a，b的方程（或方程組）是解題的關鍵．（1）根據“等和格”的定義，即可得出，變形后即可用含b的代數式表示出a；（2）根據“等和格”的定義，即可得出關于a，b的二元一次方程組，解之即可求出a，b的值；（3）根據“等和格”的定義，即可得出關于a，b的二元二次方程組，方程①變形后可得出方程③，方程②變形后可得出方程④，再將③代入④中即可求出b的值．【詳解】（1）解：依題意得：，．故答案為：．（2）依題意得：，解得：．故答案為：；2．（3）依題意得：，由①可得：③，由②可得：④，將③代入④中得：．故答案為：．【融會貫通】1．如圖，從左向右依次擺放序號分別為，，，．．．的小正方形卡片，每個小正方形卡片上均畫有若干個小圓點．其中任意相鄰的個小正方形卡片上的小圓點數量之和相等．

(1)分別求出，的值；(2)當時，所有這些小正方形紙片上的小圓點數量之和是多少？(3)小明說，第個小正方形卡片上的小圓點的個數是個，請直接判斷他的說法是否正確．【答案】(1)，(2)(3)正確，理由見解析【分析】本題考查圖形變化的規律，（1）根據任意相鄰的個小正方形卡片上的小圓點數量之和相等，建立關于，的方程組即可解決問題；（2）根據卡片上小圓點個數變化的規律即可解決問題；（3）根據卡片上小圓點個數變化的規律即可解決問題；能根據所給圖形發現卡片上小圓點的個數按，，，循環出現是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵任意相鄰的個小正方形卡片上的小圓點數量之和相等，∴，解得：；（2）由題知，連續個相鄰卡片上小圓點的個數之和為：，又∵，∴，故這些小正方形紙片上的小圓點數量之和是；（3）正確．理由：∵卡片上小圓點的個數按，，，循環出現，∴，∴第個小正方形卡片上的小圓點的個數是個，∴小明的說法正確．2．如表，在3×3的方陣中，填寫了一些數和代數式（其中每個代數式都表示一個數），使得每行的3個數、每列的3個數、斜對角的3個數之和均相等．34﹣2備用表34﹣1﹣226501(1)求，的值；(2)在備用表中完成此方陣圖．【答案】(1)，；(2)﹣1，2，6，5，0，1【分析】（1）根據題意構造關于，的二元一次方程組進行求解；（2）利用（1）結果代入計算求值．【詳解】（1）解：由題意得，，解得：，∴，；（2）將，代入方陣，可得，，解得，，∴，解得，故答案為：﹣1，2，6，5，0，1．【點睛】本題考查了運用二元一次方程組解決方陣問題的能力．關鍵是能根據題意列出方程組并進行求解．3．為了讓居民樹立起“節約水，保護水”的用水概念，某市的居民生活用水按階梯式水價計費，下表是該市居民“一戶一表”生活用水計費價格表的部分信息．每戶每月用水量自來水銷售價格/（元/t）污水處理價格/（元/t）10t及以下m0.8超過10t但不超過20t的部分n0.8超過20t的部分3.200.8（說明：①每戶產生的污水量等于該用戶自來水用量：②水費=自來水費用+污水處理費用）已知小李家去年6月份用水10t，繳納水費25元；7月份用水15t，繳納水費45.5元．（1）求表中的m，n的值；（2）小李家去年8月份的水費正好是家庭月收入的1%，已知小李家的月收入為8000元，求小李家8月份的用水量．【答案】（1）m=1.7，n=3.3；（2）23.5噸【分析】（1）根據等量關系：“小李家去年6月份用水10t，繳納水費25元；7月份用水15t，繳納水費45.5元”可列方程組求解即可．（2）先求出小李家8月份的水費，小李家8月份的用水量范圍，再根據8月份的水費正好是家庭月收入的1%，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）由題意，得：，解得：；（2）當用水量為20噸時，水費為：25+（20-10）×（3.3+0.8）=66（元），8000×1%=80元，∵66＜80，∴小李家8月份的用水量超過30噸，（80-66）÷（3.2+0.8）+20=23.5（噸）．故小李家8月份的用水量是23.5噸．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題干找出合適的等量關系．類型八、二元一次方程組的新定義應用【解惑】閱讀理解題：定義：如果一個數的平方等于．記為，這個數叫做虛數單位．那么和我們所學的實數對應起來就叫做復數，表示為（a，b為實數），a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似．例如計算：．(1)填空：________，________．(2)若兩個復數相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下面問題：已知：，（x，y為實數），求x，y的值．【答案】(1)，1(2)，【分析】（1）根據，結合，解答即可．（2）根據實部等于實部，虛部等于虛部，構造方程組解答即可．本題考查了新知識的拓展學習，正確理解新知識，并轉化成已學知識解答是解題的關鍵．【詳解】（1）解：根據題意，得，∴，，故答案為：，1．（2）解：，∴，解得故x的值為，y的值為．【融會貫通】1．定義：形如關于的方程與的兩個方程互為共軛二元一次方程，其中；由這兩個方程組成的方程組，叫做共軛方程組．(1)請寫出方程的共軛二元一次方程：；(2)若方程中的值滿足表格：x﹣12y21求這個方程的共軛二元一次方程；(3)若共軛方程組的解是，請你求出的數量關系．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查解二元一次方程組，新定義方程及方程組，正確理解題中新定義的特點，根據新定義確定共軛方程及方程組是解題的關鍵．（1）根據共軛二元一次方程的定義即可得到；（2）根據表格的數據求得，即可求得這個方程的共軛二元一次方程；（3）分別根據代入法或是加減法解方程組，觀察解中與的關系即可得到答案．【詳解】（1）解：方程的共軛二元一次方程是，故答案為：；（2）解：方程中，當時，；當時，，，解得，這個方程的共軛二元一次方程是；（3）解：，得，，得，，解得，將代入得，，解得，，共軛方程組的解是，．2．定義：關于的二元一次方程（其中）中的常數項與未知數系數互換，得到的方程叫“變更方程”，例如：的”變更方程”為．(1)方程與它的“變更方程”組成的方程組的解為______；(2)已知關于的二元一次方程的系數滿足，且與它的“變更方程”組成的方程組的解恰好是關于的二元一次方程的一個解，求代數式的值；(3)已知整數滿足條件，并且是關于的二元一次方程的“變更方程”，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查二元一次方程（組）的新定義，加減消元法，代入消元法解二元一次方程組的方法，理解“變更方程”的定義，掌握解二元一次方程（組）的方法是解題的關鍵．（1）根據“變更方程”的定義可得，聯立方程組求解即可；（2）根據題意，先聯立方程組，結合求出，代入二元一次方程得，，代入代數式化簡求值即可；（3）根據題意可得，分別求出，根據可得，由此可求出，結合整數即可求解．【詳解】（1）解：與它的“變更方程”為，∴聯立方程組為，解得，，故答案為：；（2）解：根據題意，的”變更方程”為，∴聯立方程組得，，解得，，∵，則，∴，即，∵是二元一次方程的一個解，∴，則，∴；（3）解：是關于的二元一次方程的“變更方程”，∴，①②得，，整理得，，把代入①得，，整理得，，∵，∴，解得，，∵，∴，則，∵是整數，∴．3．閱讀理解：已知，為有理數，且，若關于的一元一次方程的解為，我們就定義該方程為“和解方程”．例如：方程的解為，因為，所以方程是“和解方程”．請根據上述定義解答下列問題：(1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”）(2)已知關于的一元一次方程是“和解方程”，求的值；(3)已知關于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值．【答案】(1)不是(2)m=(3)【分析】（1）根據定義計算判斷即可；（2）根據定義列方程求出m即可；（3）根據定義列方程組求解即可．【詳解】（1）解：方程3x=-6的解為x=-2，∵-2≠-6+3，∴方程3x=-6不是“和解方程”，故答案為：不是；（2）由題意得，解得m=；（3）由題意得，解得，∴．【點睛】此題考查了解一元一次方程，解二元一次方程組，正確理解題意中的定義列得方程或方程組解決問題是解題的關鍵．類型九、二元一次方程組的整體思想【解惑】閱讀材料：小強同學在解方程組時發現，可將第一個方程通過移項變形為，然后把第二個方程中的換成7，可以很輕松地解出這個方程組．小強同學發現的這種方法叫作“整體代入法”，是中學數學里很常用的一種解題方法．(1)請按照小強的解法解出這個方程組；(2)用整體代入法解方程組【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法，掌握整體代入法解方程組是解本題的關鍵；（1）由①得：，再代入②得：可得，再進一步求解即可；（2）由①得：③，把③代入②得：可得：，再進一步求解即可．【詳解】（1）解：，由①得：③，把③代入②得：，解得：，把代入③得：，∴方程組的解為：．（2）解：，由①得：③，把③代入②得：，整理得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程組的解為：．【融會貫通】1．先閱讀材料：解方程組解：由①得③，把③代入②中得，解得．把代入③中得，即．故方程組的解為，這種方法稱為“整體代入法”．請用上述方法解方程組．【答案】【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，先由第一個方程得到，再把③代入②求出x的值，進而求出y的值即可．【詳解】解：由①得：，把③代入②得：，解得，把代入③得：，解得，∴方程組的解為．2．先閱讀下面材料，再完成任務：有些關于方程組的問題，我們需要求解的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：已知實數x，y滿足，①，，②，求和的值．本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大，其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值，如由可得，由可得，這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：(1)已知二元一次方程組，則________，________；(2)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記木共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？(3)對于實數x，y，定義新運算：，其中a，b，c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，那么________．【答案】(1)；1(2)購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元(3)【分析】（1）利用可得出的值，利用可得出的值；（2）設鉛筆的單價為元，橡皮的單價為元，日記本的單價為元，根據“買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元”，即可得出關于，，的三元一次方程組，由可得出的值，再乘5即可求出結論；（3）根據新運算的定義可得出關于，，的三元一次方程組，由可得出的值，即的值．【詳解】（1）解：，由可得：，由可得：．故答案為：；1；（2）解：設鉛筆的單價為元，橡皮的單價為元，日記本的單價為元，依題意，得：，由可得，；答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．（3）解：依題意，得：，由可得：，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用以及三元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）運用“整體思想”求出，的值；（2）（3）找準等量關系，正確列出三元一次方程組．3．閱讀材料：善于思考的小聰同學在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法．解：把，看成一個整體，設，，原方程組可化為，解得，∴，∴原方程組的解為．(1)若方程組的解是，試求方程組的解；(2)仿照小聰同學的方法，用“整體換元”法解方程組．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二元一次方程組的特殊解法—“整體換元法”．（1）根據題意所給材料可得出，再解出這個方程組即可．（2）根據題意所給材料可令，，則原方程組可化為，解出m，n，代入得到，再解出關于x，y的方程組即可．【詳解】（1）解：∵方程組的解是，∴，解得；（2）解：設，，則原方程組可化為，解得，∴，∴原方程組的解為．類型十、閱讀理解【解惑】【閱讀理解】我們把形如（a、b均為整數，且．）的方程稱為二元一次整系數方程．若，則可以用以下方法確定其正整數解的數量，例如．，則，∵，∴，∵y為正整數，1，2，3，故原方程的正整數解有3個，分別為，，；若，則可以用以下方法確定其正整數解的數量，例如，則，設（k為正整數），則，，，，故原方程的正整數解有1個，為．【問題解決】（1）結合上述內容，請直接寫出的所有正整數解；（2）若關于x和y的二元一次方程有且只有一個正整數解，請求出m的值；【應用遷移】（3）假期臨近，吳老師為表彰本學年積極參與班級活動的學生，委托采購小組購買獎品．組長小麗匯報稱：“我們購買了兩種類型的筆記本，其中A類型筆記本7本，B類型筆記本12本，總計花費84元，由于未索取收銀小票，因此暫不能確定兩種筆記本的具體單價．”吳老師聽后，敏銳地指出：兩種類型筆記本的單價不可能同時為整數．請你結合上述內容分析吳老師的判斷是否正確．【答案】（1），

（2）

（3）吳老師的判斷正確【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，解題的關鍵是理解題意，根據題意，找到解題思路.（1）根據題意,可得,根據均為正整數,即可求解;（2）根據正整數解的解法計算即可；（3）設類型筆記本的單價為元，類型筆記本的單價為元，根據題意，可得根據均為正整數，即可求解.【詳解】（1）∵,∴,∵均為正整數,∴，；（2）解：∵，∵,，又∵∴,∴,∵二元一次方程有且只有一個正整數解，∴；設類型筆記本的單價為元，類型筆記本的單價為元，根據題意，可得即，∵均為正整數,設（k為正整數），則，，，不能為整數，故原方程無正整數解．∴吳老師的判斷正確．【融會貫通】1．【閱讀理解】在解方程組或求代數式的值時，可以用整體代入或整體求值的方法，化難為易．（1）解方程組解：（1）把代入得：解得：．把代入得：．所以方程組的解為（2）已知，求的值．解：（2）得：得；【類比遷移】（1）若，則______．（2）運用整體代入的方法解方程組．【實際應用】（3）“戰疫情，我們在一起”，某公益組織計劃為老年公寓捐贈一批防疫物資，已知打折前購買瓶消毒液、支測溫槍、套防護服共需元；打折后購買瓶消毒液、支測溫槍、套防護服共需元，比不打折時少花了多少錢？【答案】（1）23；（2）；（3）比不打折時少花了元【分析】（1）求即可；（2）將看作一個整體進行分析計算即可；（3）通過觀察發現打折前和打折后的數量關系，通過運算得到所求．【詳解】解：（1），得：．故答案為：；（2）由可得：，把代入得：，解得：，將代入③中的，，解得：，方程組的解為；（3）設打折前消毒液、測溫槍和防護服的單價為元，元，元，打折后消毒液、測溫槍和防護服的單價為元，元，元，則、、分別為每瓶消毒液、每支額溫槍、每套防護服少花的錢，由題意可得，，，得：，得：，左右兩邊乘得，，比不打折時少花了元．【點睛】本題考查三元一次方程組，注意運用整體代入是關鍵．2．閱讀：我們已經學習了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通過無理數的學習，我們了解：有理數和無理數統稱為實數，即數從有理數擴充到了實數范圍．在學習過程中我們又知道“負數沒有平方根”，即在實數范圍內的任何一個數x都無法使得x2＝﹣1成立．現在，我們設想引入一個新數i，使得i2＝﹣1成立，且這個新數i與實數之間，仍滿足實數范圍內加法和乘法運算，以及交換律、結合律，包括乘法對加法的分配律．把任意實數b與i的相乘記作bi，任意實數a與bi相加記作a+bi．由此，我們將形如a+bi（a，b均為實數）的數叫做復數，其中i叫虛數單位，a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部．對于復數a+bi（a，b均為實數），當且僅當b＝0時，它是實數；當且僅當a＝b＝0時，它是實數0；當b≠0時，它叫做虛數；當a＝0且b≠0時，它是純虛數．例如3+2i，，﹣，i都是虛數，它們的實部分別是3，，，0，虛部分別是2，，，，并且以上虛數中只有i是純虛數．閱讀理解以上內容，解決下列問題：（1）化簡：﹣2i2＝；（﹣i）3＝．（2）已知復數：m2﹣1+（m+1）i（m是實數）①若該復數是實數，則實數m＝；②若該復數是純虛數，則實數m＝．（3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求實數x，y的值．【答案】（1）2，；（2）①；②1；（3）．【分析】（1）利用化簡各式即可得；（2）①根據題中定義可得，解方程即可得；②根據題中的新定義可得，，利用平方根解方程即可得；（3）根據題中的新定義列出關于的方程組，解二元一次方程組即可得．【詳解】解：（1），，故答案為：2，；（2）①若該復數是實數，則，解得，故答案為：；②若該復數是純虛數，則，解得，故答案為：1；（3）由題意得：，解得．【點睛】本題考查了利用平方根解方程、解二元一次方程組，理解題中的新定義是解題關鍵．3．閱讀理解，并解決問題：“整體思想”是中學數學中的一種重要思想，貫穿于中學數學的全過程，比如整體代入，整體換元，整體約減，整體求和，整體構造，…，有些問題若從局部求解，采取各個擊破的方式，很難解決，而從全局著眼，整體思考，會使問題化繁為簡，化難為易，復雜問題也能迎刃而解．例：當代數式的值為7時，求代數式的值．解：因為，所以．所以．以上方法是典型的整體代入法．請根據閱讀材料，解決下列問題：（1）已知，求的值．（2）我們知道方程的解是，現給出另一個方程，則它的解是．【答案】（1）2020；（2），【分析】（1）先將所求代數式進行整理變形，再將已知式子的值代入求值即可得解；（2）所解方程與已知方程形式一樣，故可得或，再解一元一次方程即可得解．【詳解】解：（1）∵∴原式∴的值為；（2）∵方程的解是∴方程則有：或∴，∴的解為：，．【點睛】本題考查了整體思想在代數求值、解一元二次方程中的運用，“整體思想”是數學中的一種重要思想，有些問題局部求解各個擊破，無法解決，而從全局著眼，整體思考，會使問題化繁為簡，化難為易，思路清晰，演算簡單，復雜問題迎刃而解．【一覽眾山小】1．下列各項中，屬于二元一次方程組的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二元一次方程組的定義，根據二元一次方程組的定義求解即可．由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數的方程組叫做二元一次方程組．【詳解】解：A．不是一次方程，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；B．該方程組是二元一次方程組，故此選項符合題意；C．不是一次方程，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；D．該方程組含有三個未知數，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；故選：B．2．某班35名學生共種87棵樹苗．其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，該班男生有人，女生有人．根據題意，所列方程組正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組．正確得出等量關系是解題的關鍵．根據題意可得等量關系：①男生人數+女生人數=35；②男生種樹的總棵樹+女生種樹的總棵樹=87棵，根據等量關系列出方程組即可．【詳解】該班男生有人，女生有人，∵該班共35名學生共種87棵樹苗．其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，∴得．故選：D．3．已知關于x，y的方程組給出下列結論：a．當時，方程組的解也是的解；b．無論m取何值，x，y的值不可能互為相反數；c．x，y均為正整數的解只有1對；d．若，則．正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解法、二元一次方程組的解等知識，將已知分別代入進而解方程得出答案，即可判斷．【詳解】a．當時，關于的方程組為，解得，所以，當時，，所以當時，方程組的解也是的解，正確；b．解方程組，得，所以，所以無論取何值，的值不可能互為相反數，正確；c．由得，所以原方程組的正整數解是，共2對，錯誤；d．，得，，因為，所以，解得，正確；所以正確的有．故選：C．4．已知有理數，滿足，則．【答案】1【分析】本題考查了整式的加減化簡求值，以及乘方和絕對值的非負性，解二元一次方程組：熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．利用乘方的偶次方的非負性和絕對值的非負性求出a與b的值，代入計算即可求出值．【詳解】解：∵，∴解得：，∴．故答案為：1．5．已知關于x，y的二元一次方程組，的解滿足方程，則k的值為．【答案】【分析】首先結合得，求出x，y的值，再將，的值代入得出答案即可．本題主要考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，理解二元一次方程組的解的意義是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意，得解得，將代入，得，解得．故答案為：．6．方程組的解與的和是，則．【答案】【分析】本題考查了解二元一次方程組，利用加減法求出方程組的解，再根據與的和是列出關于的一元一次方程，解方程即可求解，掌握解二元一次方程組的方法是解題的關鍵．【詳解】解：，得，，∴，把代入①得，，解得，∵與的和是，∴，解得，故答案為：．7．李阿姨要為家里添加餐具，分別買了型號不同的大、小兩種碗，共花了80元．已知小碗每只6元，大碗每只8元，李阿姨買了大、小碗各幾只？【答案】小碗4只，大碗7只或小碗8只，大碗4只或小碗12只，大碗1只【分析】本題考查二元一次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程，求出方程的解．根據題意設大碗個，小碗個，列出相應的二元一次方程，然后根據、均為正整數，即可解答本題．【詳解】解：設大碗個，小碗個、均為正整數或或答：小碗4只，大碗7只或小碗8只，大碗4只或小碗12只，大碗1只．8．2024年10月30日，神舟十九號載人飛船發射取得圓滿成功．某航天模型銷售店看準商機，準備推出“神舟”和“天宮”兩種模型．已知1個“神舟”模型和3個“天宮”模型的進價共150元；3個“神舟”模型和2個“天宮”模型的進價共240元．求每個“神舟”和“天宮”模型的進價各為多少元？【答案】每個“神舟”模型的進價為60元，每個“天宮”模型的進價為30元【分析】本題考查二元一次方程組的實際應用、準確找出等量關系，列出二元一次方程是解題的關鍵；設每個“神舟”模型的進貨價格為x元