命題證明題目及答案1.題目：證明對于任意實數\(x\)和\(y\)，有\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)。答案：證明：\[\begin{align}(x+y)^2&=(x+y)(x+y)\\&=x(x+y)+y(x+y)\\&=x^2+xy+yx+y^2\\&=x^2+2xy+y^2.\end{align}\]因此，對于任意實數\(x\)和\(y\)，有\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)成立。2.題目：證明對于任意實數\(a\)和\(b\)，如果\(a>b\)，則\(a-b>0\)。答案：證明：假設\(a>b\)，根據實數的性質，我們可以在不等式的兩邊同時減去\(b\)，得到：\[a-b>b-b.\]由于\(b-b=0\)，因此：\[a-b>0.\]所以，如果\(a>b\)，則\(a-b>0\)成立。3.題目：證明對于任意實數\(x\)，\(y\)和\(z\)，有\((x+y)+z=x+(y+z)\)。答案：證明：\[\begin{align}(x+y)+z&=x+(y+z)\\&=x+y+z\\&=x+(y+z).\end{align}\]因此，對于任意實數\(x\)，\(y\)和\(z\)，有\((x+y)+z=x+(y+z)\)成立。4.題目：證明對于任意實數\(x\)和\(y\)，如果\(x\cdoty=0\)，則\(x=0\)或\(y=0\)。答案：證明：假設\(x\cdoty=0\)，根據實數的性質，我們知道兩個非零實數的乘積不可能為零。因此，至少有一個數必須為零。所以，如果\(x\cdoty=0\)，則\(x=0\)或\(y=0\)成立。5.題目：證明對于任意實數\(x\)和\(y\)，有\((xy)^2=x^2y^2\)。答案：證明：\[\begin{align}(xy)^2&=(xy)(xy)\\&=x(yx)y\\&=x(xy)y\\&=x^2y^2.\end{align}\]因此，對于任意實數\(x\)和\(y\)，有\((xy)^2=x^2y^2\)成立。6.題目：證明對于任意實數\(x\)，\(\sqrt{x^2}=|x|\)。答案：證明：\[\begin{align}\sqrt{x^2}&=\begin{cases}x,&\text{if}x\geq0\\-x,&\text{if}x<0\end{cases}\\&=|x|.\end{align}\]因此，對于任意實數\(x\)，有\(\sqrt{x^2}=|x|\)成立。7.題目：證明對于任意實數\(x\)和\(y\)，有\(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)。答案：證明：\[\begin{align}x^2-y^2&=(x+y)(x-y)\\&=x(x-y)+y(x-y)\\&=x^2-xy+yx-y^2\\&=x^2-y^2.\end{align}\]因此，對于任意實數\(x\)和\(y\)，有\(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)成立。8.題目：證明對于任意實數\(x\)和\(y\)，有\(\frac{x}{y}+\frac{z}{w}=\frac{xw+yz}{yw}\)（其中\(y\neq0\)且\(w\neq0\)）。答案：證明：\[\begin{align}\frac{x}{y}+\frac{z}{w}&=\frac{xw}{yw}+\frac{yz}{yw}\\&=\frac{xw+yz}{yw}.\end{align}\]因此，對于任意實數\(x\)，\(y\)，\(z\)和\(w\)（其中\(y\neq0\)且\(w