拓撲考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設X是拓撲空間，A?X，則A的閉包等于（）A.A的內部的閉包B.A的邊界與A的內部的并C.A的導集與A的并D.A的外部的補集答案：C2.拓撲空間X到Y的映射f連續當且僅當（）A.Y的開集在f下的原像為X的開集B.X的開集在f下的像為Y的開集C.Y的閉集在f下的原像為X的閉集D.X的閉集在f下的像為Y的閉集答案：A3.在實數空間R中，有理數集Q的內部是（）A.RB.QC.?D.{0}答案：C4.設X={a,b,c}，拓撲T={?,{a},{a,b}}，則點b的鄰域系中最小的鄰域是（）A.{a,b}B.{b}C.XD.?答案：A5.拓撲空間X中，若A是連通子集，B是A的子集，則（）A.B一定是連通子集B.B一定不是連通子集C.B連通當且僅當A=BD.B連通當且僅當B是A的閉包的子集答案：A6.設X和Y是拓撲空間，f:X→Y是同胚映射，則（）A.X和Y的拓撲結構相同B.X的開集一定是Y的開集C.Y的閉集一定是X的閉集D.f(X)=Y且f是雙射答案：A7.下列拓撲空間中，可度量化的是（）A.平凡拓撲空間（X，{?,X}）B.離散拓撲空間C.Sorgenfrey直線D.有限補拓撲空間（X，T），其中X是無限集答案：B8.設X是拓撲空間，A?X，如果A既是開集又是閉集，則（）A.X是連通空間B.A=?或者A=XC.X一定是離散拓撲空間D.A的邊界為空集答案：B9.在拓撲空間X中，子空間拓撲是（）A.使得包含映射連續的最細拓撲B.使得包含映射連續的最粗拓撲C.與X的拓撲結構完全相同的拓撲D.由X的閉集族生成的拓撲答案：B10.設X是拓撲空間，A?X，x∈X，如果x的任意鄰域與A-{x}都相交，則（）A.x是A的內點B.x是A的外點C.x是A的邊界點D.x是A的聚點答案：D二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是拓撲空間的性質（）A.可分性B.緊致性C.連通性D.正則性E.完全正則性答案：ABCDE2.設X是拓撲空間，以下關于閉集的說法正確的是（）A.有限個閉集的并是閉集B.任意個閉集的交是閉集C.閉集的補集是開集D.空集和X本身是閉集E.閉集一定是有界集答案：ABCD3.設f:X→Y是拓撲空間之間的映射，則下列條件能保證f連續的有（）A.對于Y的任意子基中的元素V，f-1(V)是X的開集B.對于Y的任意開覆蓋{Uα}，{f-1(Uα)}是X的開覆蓋C.對于Y的任意閉集C，f-1(C)是X的閉集D.存在X的開集族{Uβ}和Y的開集族{Vβ}，使得f(Uβ)=Vβ且{Uβ}覆蓋XE.對于X的任意開集U，f(U)是Y的開集答案：ABC4.下列拓撲空間中，是連通空間的有（）A.實數空間RB.單位區間[0,1]C.兩個不相交的開區間的并D.圓周S1E.平面R2去掉一個點答案：ABD5.設X是拓撲空間，A?X，A的邊界?A滿足（）A.?A是閉集B.?A=A-A°C.?A=A的閉包-A的內部D.?A∩A°=?E.?A=?(X-A)答案：ACDE6.關于拓撲空間中的緊致性，下列說法正確的是（）A.緊致空間的閉子集是緊致的B.緊致空間的連續像是緊致的C.有限個緊致空間的積空間是緊致的D.實數空間R中的閉區間是緊致的E.緊致空間一定是有界的答案：ABCD7.設X是拓撲空間，下列關于同胚的說法正確的是（）A.同胚是一種等價關系B.同胚映射保持拓撲性質C.若X和Y同胚，則X和Y的基數相同D.若X和Y同胚，則X的開集和Y的開集一一對應E.若X是可度量化的，Y與X同胚，則Y也是可度量化的答案：ABCDE8.設X是拓撲空間，A?X，下列關于A的聚點的說法正確的是（）A.A的聚點可能屬于A也可能不屬于AB.A的所有聚點組成的集合是閉集C.若A是閉集，則A包含其所有聚點D.若A是開集，則A沒有聚點E.若x是A的聚點，則存在A中的序列收斂到x答案：ABC9.下列關于拓撲基的說法正確的是（）A.拓撲基的元素都是開集B.由拓撲基生成的拓撲是唯一的C.拓撲空間X的任意開集都可以表示為拓撲基中元素的并D.拓撲基中的元素個數一定是有限的E.若B1和B2是X的拓撲基，則B1∪B2也是X的拓撲基答案：ABC10.設X是拓撲空間，以下關于子空間的說法正確的是（）A.子空間的開集是原空間開集與子空間的交B.子空間的閉集是原空間閉集與子空間的交C.子空間的拓撲結構依賴于原空間的拓撲結構D.若原空間是可度量化的，則子空間也是可度量化的E.若原空間是連通的，則子空間一定是連通的答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.拓撲空間中的開集一定是無限集。（×）2.離散拓撲空間中任意子集都是既開又閉的。（√）3.若拓撲空間X是連通的，則X中不存在既開又閉的非空真子集。（√）4.設f:X→Y是拓撲空間之間的映射，若X是緊致空間，Y是Hausdorff空間，則f是閉映射。（√）5.拓撲空間X中，A?X，A的內部的閉包一定等于A的閉包的內部。（×）6.若X是拓撲空間，A?X，A的導集一定是閉集。（√）7.在任意拓撲空間中，緊致集一定是閉集。（×）8.設X是拓撲空間，A?X，若A是道路連通的，則A是連通的。（√）9.平凡拓撲空間一定是可度量化的。（×）10.設X是拓撲空間，A?X，若A的邊界為空集，則A是開集或者A是閉集。（√）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述拓撲空間中連通性的定義。答案：拓撲空間X稱為連通的，如果X不能表示為兩個非空的不相交開集的并。2.什么是拓撲空間中的同胚映射？答案：設X和Y是拓撲空間，映射f:X→Y稱為同胚映射，如果f是雙射且f和f-1都是連續的。3.簡述拓撲空間中緊致性的定義。答案：拓撲空間X稱為緊致的，如果X的每一個開覆蓋都有有限子覆蓋。4.定義拓撲空間中集合A的導集。答案：設X是拓撲空間，A?X，A的導集是由A的所有聚點組成的集合。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論拓撲空間中可分性與第二可數性之間的關系。答案：可分性是指存在可數稠密子集，第二可數性是指存在可數拓撲基。第二可數空間一定是可分的，但可分空間不一定是第二可數的。2.討論在拓撲空間中，閉集與緊致集的關系。答案：在一般拓撲空間中，緊致集不一定是閉集（如某些非Hausdorff空間），閉集也不一定是緊致集。但在Hausdorff空間中，緊致