PAGEPAGE8空間幾何體【2024年高考考綱解讀】1.以三視圖為載體，考查空間幾何風(fēng)光 積、體積的計算.2.考查空間幾何體的側(cè)面綻開圖及簡潔的組合體問題．【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】一、三視圖與直觀圖1．一個物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對正、高平齊、寬相等”．2．由三視圖還原幾何體的步驟一般先依據(jù)俯視圖確定底面再利用正(主)視圖與側(cè)(左)視圖確定幾何體．二、幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積和體積計算是高考中常見的一個考點(diǎn)，解決這類問題，首先要嫻熟駕馭各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要駕馭肯定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體的技巧，把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧．三、多面體與球與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要仔細(xì)分析圖形，明準(zhǔn)確點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑．球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”)作出截面圖．【高考題型示例】題型一、三視圖與直觀圖例1、(1)(2024·全國Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A解析由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.(2)[2024·全國卷Ⅰ]某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17)B．2eq\r(5)C．3D．2【解析】先畫出圓柱的直觀圖，依據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M，N的位置如圖①所示．①②圓柱的側(cè)面綻開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．ON＝eq\f(1,4)×16＝4，OM＝2，∴|MN|＝eq\r(OM2＋ON2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.【答案】B【方法技巧】1．由直觀圖確認(rèn)三視圖的方法依據(jù)空間幾何體三視圖的定義及畫法規(guī)則和擺放規(guī)則確認(rèn)．2．由三視圖還原到直觀圖的思路(1)依據(jù)俯視圖確定幾何體的底面．(2)依據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置．(3)確定幾何體的直觀圖形態(tài).【變式探究】某幾何體的正(主)視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)(左)視圖可以為()答案B解析由俯視圖與正(主)視圖可知，該幾何體可以是一個三棱柱挖去一個圓柱，因此其側(cè)(左)視圖為矩形內(nèi)有一條虛線，虛線靠近矩形的左邊部分，只有選項B符合題意，故選B.(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CD，CC1，A1B1的中點(diǎn)，用過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為()答案C解析取AA1的中點(diǎn)H，連接GH，則GH為過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面A1B1BA的交線．延長GH，交BA的延長線與點(diǎn)P，連接EP，交AD于點(diǎn)N，則NE為過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面ABCD的交線．同理，延長EF，交D1C1的延長線于點(diǎn)Q，連接GQ，交B1C1于點(diǎn)M，則FM為過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面BCC1B1的交線．所以過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截正方體所得的截面為圖中的六邊形EFMGHN.故可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為選項C所示．【感悟提升】空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先依據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后依據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形態(tài)，即可得到結(jié)果．在還原空間幾何體實(shí)際形態(tài)時，一般是以正(主)視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)(左)視圖進(jìn)行綜合考慮．【變式探究】有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．答案2＋eq\f(\r(2),2)在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴這塊菜地的面積為S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).題型二幾何體的表面積與體積例2、(2024·全國Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．8＋4eq\r(2)＋8eq\r(5) B．24＋4eq\r(2)C．8＋20eq\r(2) D．28答案A解析由三視圖可知，該幾何體的下底面是長為4，寬為2的矩形，左右兩個側(cè)面是底邊為2，高為2eq\r(2)的三角形，前后兩個側(cè)面是底邊為4，高為eq\r(5)的平行四邊形，所以該幾何體的表面積為S＝4×2＋2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＋2×4×eq\r(5)＝8＋4eq\r(2)＋8eq\r(5).(2)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________，表面積是________．答案eq\f(14,3)π6＋(6＋eq\r(13))π解析由三視圖知，該幾何體是由四分之一球與半個圓錐組合而成，則該組合體的體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(4,3)π×23＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)π×22×3＝eq\f(14,3)π，表面積為S＝eq\f(1,4)×4π×22＋eq\f(1,2)×π×22＋eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2π×2×eq\r(32＋22)＝6＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\r(13)))π.【變式探究】(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個計算各個面的面積，然后求和．(2)求簡潔幾何體的體積時，若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可干脆利用公式求解；求組合體的體積時，若所給定的幾何體是組合體，不能干脆利用公式求解，常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解；求以三視圖為背景的幾何體的體積時，應(yīng)先依據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后依據(jù)條件求解．【變式探究】中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6立方寸，則圖中的x為()A．1.6B．1.8C．2.0D．2.4答案A解析由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成．由題意得，(5.4－x)×3×1＋πxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝12.6，解得x＝1.6.(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．11B．9C．7D．5答案D解析由三視圖知，該幾何體如圖，它可分成一個三棱錐E－ABD和一個四棱錐B－CDEF，則V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×2＋eq\f(1,3)×1×2×3＝5.題型三、多面體與球例3、[2024·全國卷Ⅲ]設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)故選B.【答案】B【變式探究】已知正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為eq\r(3)，此時四面體ABCD的外接球的表面積為________．【解析】如圖(1)，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，則BD＝DC＝1，AD＝eq\r(3).在翻折后得到的幾何體中，如圖(2)，AD⊥BD，AD⊥CD，則AD⊥平面BCD，三棱錐A－BCD的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，球心到截面BCD的距離d＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2).在△BCD中，BC＝eq\r(3)，則由余弦定理，得cos∠BDC＝eq\f(BD2＋DC2－BC2,2BD·DC)＝eq\f(12＋12－\r(3)2,2×1×1)＝－eq\f(1,2)，所以∠BDC＝120°.【變式探究】(1)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，則該三棱錐的外接球的表面積為()A．13π B．20πC．25π D．29π答案D解析把三棱錐P－ABC放到長方體中，如圖所示，所以長方體的體對角線長為eq\r(22＋32＋42)＝eq\r(29)，所以三棱錐外接球的半徑為eq\f(\r(29),2)，所以外接球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(29),2)))2＝29π.(2)已知一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)等于()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶8答案C解析如圖，由已知圓錐側(cè)面積