專題拓展：利用空間向量解決探索性問題一、與空間向量有關的探索性問題一類是探索線面位置關系的存在性問題，即線面的平行與垂直，另一類是探索線面的數量關系的存在性問題，即線面角或二面角滿足特定要求時的存在性問題。二、利用空間向量解決立體幾何的探索性問題思路：（1）根據題設條件的垂直關系，建立適當空間直角坐標系，將相關點、相關向量用坐標表示。（2）假設所成的點或參數存在，并用相關參數表示相關點的坐標，根據線、面滿足的位置關系、數量關系，構建方程（組）求解，若能求出參數的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在。三、動點的設法（減少變量數量）在解決探索性問題中點的存在性四，經常需要設出點的坐標，而(x,y,z)可表示空間中的任一點，使用三個變量設點需要列三個方程，導致運算量增大。為了減少變量數量，用以下設法。1、直線（一維）上的點：用一個變量可以表示出所求點的坐標；依據：根據平面向量共線定理—若，使得【示例】已知，，那么直線上的某點坐標可用一個變量表示，方法如下：，因為在上，所以∴，所以可設點.2、平面（二維）上的點：用兩個變量可以表示出所求點的坐標。依據：平面向量基本定理—若，不共線，則平面上任意一個向量，均存在，，使得【示例】已知，，，則平面上某點坐標可用兩個變量表示，方法如下：，，故，即所以可設點.考點一：平行問題中的動點探索例1．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）如圖，在直三棱柱中，是的中點，是的中點，是與的交點.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.【變式1-1】（23-24高二上·山東濱州·期末）如圖，已知正方體中，點分別在棱和上，.(1)求平面與平面的夾角的余弦值；(2)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請說明理由.【變式1-2】（23-24高三上·河北秦皇島·月考）如圖，在直三棱柱中，，，，是的中點，是的中點，是與的交點．(1)求多面體的體積；(2)求點到平面的距離；(3)在線段上是否存在點，使得平面？【變式1-3】（23-24高三上·云南昆明·月考）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，，平面平面ABCD，且，，點G是EF的中點．

(1)證明：平面ABCD；(2)線段AC上是否存在一點M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．考點二：垂直問題中的動點探索例2.（23-24高二上·四川成都·月考）如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點，為棱上的動點.(1)證明：當為棱的中點時，平面；(2)是否存在點，使得；若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【變式2-1】（23-24高二上·廣東江門·月考）如圖1，在邊長為2的菱形中，，將沿對角線折起到的位置，使平面平面，E是BD的中點，平面ABD，且，如圖2．(1)求證：平面；(2)在線段AD上是否存在一點M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由．【變式2-2】（23-24高二上·北京延慶·期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側棱底面，點為棱的中點，，.(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)若為棱的中點，則棱上是否存在一點，使得平面.若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.【變式2-3】（23-24高二上·廣東·月考）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，平面，．(1)若點是棱上靠近的三等分點，證明：平面；(2)試探究棱上是否存在一點（不與、重合），使得平面平面？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．考點三：夾角問題中的動點探索例3.（23-24高三上·江蘇·月考）如圖，在四棱錐中，是正三角形，，平面平面，是棱上動點．(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角為30°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【變式3-1】（23-24高二上·廣西南寧·期末）如圖，在直角梯形中，，，．以直線為軸，將直角梯形旋轉得到直角梯形，且．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使得直線和平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【變式3-2】（23-24高二下·江蘇南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中點．(1)求證：；(2)在棱上是否存在點P，使得二面角的正弦值為？若存在，求線段AP的長度；若不存在，請說明理由．【變式3-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）如圖，在三棱臺中，是等邊三角形，，，側棱平面，點是棱的中點，點是棱上的動點（不含端點）.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成的銳角的余弦值為，試判斷點的位置.考點四：距離問題中的動點探索例4.（23-24高二上·江西萍鄉·期末）如圖，是邊長為4的正方形，平面，，且．(1)證明：平面；(2)線段上是否存在一點，使得點到平面的距離為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．【變式4-1】（22-23高二上·云南臨滄·月考）如圖，三棱柱的所有棱長都是平面分別是的中點.(1)求證：平面平面；(2)在線段（含端點）上是否存在點，使點到平面的距離為？請說明理由.【變式4-2】（23-24高二上·上海·月考）如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，且為中點．(1)求二面角的余弦值；(2)在線段上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．【變式4-3】（22-23高二下·福建·月考）如圖，三棱錐的底面是以為底邊的等腰直角三角形，且，各側棱長均為3.(1)求證：平面平面；(2)若點為棱的中點，線段上是否存在一點，使得到平面的距離與到直線的距離之比為？若存在，求出此時的長；若不存在，說明理由.一、多選題1．（23-24高二上·河南商丘·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，的中點，為線段上的動點，則（

）A．存在點，使得直線B．存在點，使得平面C．點到直線距離的最小值為D．三棱錐的體積為2．（23-24高二上·重慶·月考）如圖，在棱長為的正方體中，點滿足，其中，，則（

）A．存在點，使得平面B．存在點，使得平面C．當時，的最小值為D．當時，的最大值為3．（23-24高二上·新疆烏魯木齊·月考）如圖，在棱長為1的正方體中，點為線段上的動點（含端點），下列四個結論中，正確的有（）A．存在點，使得平面B．存在點，使得直線與直線所成的角為C．存在點，使得三棱錐的體積為D．不存在點，使得，其中為二面角的大小，為直線與所成的角二、解答題4．（23-24高二上·內蒙古赤峰·期末）如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，.(1)求直線與平面所成角的余弦值．(2)線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．5．（2024高三·全國·專題練習）如圖，三棱柱中，，，點在底面上的射影點O是BC的中點，則：(1)求證：上存在一點E，使平面，并求出AE的長；(2)求二面角的余弦值.6．（23-24高二上·四川綿陽·期中）在梯形中，，，，為的中點，線段與交于點（如圖1）．將沿折起到的位置，使得二面角為直二面角（如圖2）．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，請說明理由．7．（23-24高二上·福建福州·期中）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，.(1)求證：