第14講圓的一般方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解圓的一般方程及其特點；2．掌握圓的一般方程和標準方程的互化；3．會求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題.知識點1圓的一般方程1、圓的一般方程：當時，方程叫做圓的一般方程．其中為圓心，為半徑．2、圓的一般方程的形式特點（1）項的系數(shù)相同且不等于0（和的系數(shù)如果是不為1的非零常數(shù)，只需在方程兩邊同時除以這個常數(shù)即可）；（2）不含項；（3）．3、一般方程與標準方程關(guān)系：對方程的左邊配方，并將常數(shù)移項到右邊，得，根據(jù)圓的標準方程可知：（1）當時，方程只有實數(shù)解.它表示一個點．（2）當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．知識點2圓的一般方程判斷點和圓的位置關(guān)系已知點，和圓的一般方程（）則位置關(guān)系代數(shù)關(guān)系點在圓A上點在圓A內(nèi)點在圓A外知識點3軌跡與軌跡方程1、軌跡方程和軌跡的定義已知平面上一動點，點的軌跡方程是指點的坐標滿足的關(guān)系式。軌跡是指點在運動變化過程中形成的圖形，在解析幾何中，我們常常把圖形看作點的軌跡（集合）.2、“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別：（1）“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大小（范圍）等特征；（2）“軌跡方程”是方程，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍．3、坐標法求軌跡方程的步驟（1）建系：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担唬?）設(shè)點：用表示軌跡（曲線）上任意一點的的坐標；（3）列式：列出關(guān)于的方程；（4）化簡：把方程化為最簡形式；（5）證明：證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點．考點一：二元二次方程與圓例1．（23-24高二上·山西呂梁·期末）已知圓，則圓心和半徑分別為（

）A． B．C． D．【變式1-1】（23-24高二上·福建廈門·期中）若，則方程表示的圓的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（23-24高二上·廣東江門·期末）方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（23-24高二上·安徽馬鞍山·月考）（多選）已知方程表示一個圓，則實數(shù)m可能的取值為（

）A．－1 B．0 C． D．1考點二：求圓的一般方程例2.（23-24高二上·內(nèi)蒙古·期末）已知圓C經(jīng)過點和點，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．【變式2-1】（23-24高二上·江蘇·假期作業(yè)）過坐標原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式2-2】（23-24高二下·重慶銅梁·開學(xué)考試）已知，，為原點，則的外接圓方程為.【變式2-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知在中，AB邊所在直線的方程為，AC邊所在直線的方程為，AC邊上的中線所在直線的方程為．(1)求C點的坐標；(2)求的外接圓方程．考點三：點與圓的位置關(guān)系例3.（22-23高二上·天津和平·月考）已知圓C：，則點在（

）A．圓外 B．圓上 C．圓內(nèi) D．以上情況均有可能【變式3-1】（23-24高二上·內(nèi)蒙古·期中）若點在圓的外部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高二上·湖北荊門·期末）已知圓的方程為，若點在圓外，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式3-3】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）若點在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（

）.A． B． C． D．考點四：與圓有關(guān)的軌跡問題例4.（23-24高二上·北京·期末）已知點和點，直角以BC為斜邊，求直角頂點A的軌跡方程.【變式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知兩點，，動點P到點A的距離是它到點B的距離的3倍，則點P的軌跡方程是．【變式4-2】（23-24高二上·山東威海·期末）（多選）已知，是平面內(nèi)兩個定點，且，則滿足下列條件的動點的軌跡為圓的是（

）A． B．C． D．【變式4-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）已知點，O為坐標原點，若動點滿足．(1)試求動點P的軌跡方程(2)過點P作y軸的垂線，垂足為Q，試求線段PQ的中點M的軌跡方程．考點五：圓過定點問題例5.（23-24高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點為（

）A． B．C． D．【變式5-1】（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和【變式5-2】（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則定點坐標為．【變式5-3】（23-24高二上·河南信陽·期中）圓恒過的定點是.考點六：與圓有關(guān)的實際問題例6.（23-24高二上·河南洛陽·期中）如圖，一座圓拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬12米，則當水面下降1米后，水面寬為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【變式6-1】（23-24高二上·廣東佛山·期中）如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖．圓拱跨度米，拱高米，建適時每間隔4米需要用一根支柱支撐，則支柱的高度為米．（精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：）

【變式6-2】（23-24高二上·北京豐臺·期中）趙州橋，又名安濟橋，位于河北省石家莊市趙縣的洨河上，距今已有多年的歷史，是保存最完整的古代單孔敞肩石拱橋，其高超的技術(shù)水平和不朽的藝術(shù)價值，彰顯了中國勞動人民的智慧和力量．2023年以來，中國文旅市場迎來強勁復(fù)蘇，某地一旅游景點為吸引游客，參照趙州橋的樣式在景區(qū)興建圓拱橋，該圓拱橋的圓拱跨度為，拱高為，在該圓拱橋的示意圖中建立如圖所示的平面直角坐標系．

(1)求這座圓拱橋的拱圓的方程；(2)若該景區(qū)游船寬，水面以上高，試判斷該景區(qū)游船能否從橋下通過，并說明理由.一、單選題1．（23-24高二上·陜西漢中·期末）圓的圓心和半徑分別為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·四川成都·月考）過三點的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．3．（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·湖北武漢·期中）“”是“方程表示圓的方程”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（23-24高二上·遼寧撫順·期中）已知圓上所有點都在第二象限，則的取值范圍（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·四川綿陽·期中）阿波羅尼斯（公元前262年~公元前190年），古希臘人，與阿基米德、歐幾里得一起被譽為古希臘三大數(shù)學(xué)家．阿波羅尼斯研究了眾多平面軌跡問題，其中阿波羅尼斯圓是他的論著中的一個著名問題：已知平面上兩點A，B，則所有滿足（，且）的點P的軌跡是一個圓．已知平面內(nèi)的兩個相異定點，，動點M滿足，記M的軌跡為C，則軌跡C圍成圖形的面積是（

）A． B． C． D．二、多選題7．（23-24高二上·重慶萬州·期中）若，，，四點共圓，則m的值為（

）A．2 B． C． D．38．（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．當時，曲線是一條直線B．當時，曲線是一個圓C．當曲線是圓時，它的面積的最小值為D．當曲線是面積為的圓時，三、填空題9．（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知圓與圓，則兩圓心之間的距離為.10．（23-24高二上·四川瀘州·期末）若圓被直線平分，則圓C的半徑為．11．（23-24高二上·安徽合肥·期中