體驗(yàn)概率統(tǒng)計(jì)在生活決策中的意義——“哪種方式更合算”教學(xué)設(shè)計(jì)高定照（福建省福鼎市民族中學(xué)355200）1教材分析本課選自新課標(biāo)數(shù)學(xué)教科書(shū)北師大版九年級(jí)下冊(cè)第四章第二節(jié)。在學(xué)生學(xué)過(guò)加權(quán)平均數(shù)和利用加權(quán)平均數(shù)解決與統(tǒng)計(jì)有關(guān)的問(wèn)題之后，本課結(jié)合概率與頻率的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解隨機(jī)變量均值的計(jì)算,并將隨機(jī)變量均值計(jì)算運(yùn)用于“合算”的評(píng)判和決策之中。教材注意知識(shí)的前后聯(lián)系，選擇了一個(gè)學(xué)生以前研究過(guò)的問(wèn)題情境，以降低學(xué)生解決問(wèn)題的難度；同時(shí)在解決問(wèn)題的過(guò)程中，又強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的體驗(yàn)，讓學(xué)生首先通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得初步的感受，再通過(guò)和前一節(jié)中運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)的聯(lián)系，逐步獲得對(duì)問(wèn)題的理論解釋。2學(xué)習(xí)者分析在日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到各種搖獎(jiǎng)活動(dòng)，通過(guò)以前的學(xué)習(xí)，學(xué)生已初步認(rèn)識(shí)了這些活動(dòng)中獲勝或獲獎(jiǎng)的可能性，但尚未具有正確的評(píng)判能力和決策能力。因此應(yīng)該給予學(xué)生一定的數(shù)學(xué)工具，讓學(xué)生知道如何評(píng)判某項(xiàng)活動(dòng)是否“合算”。由于學(xué)生已學(xué)過(guò)加權(quán)平均數(shù)及其在統(tǒng)計(jì)中的運(yùn)用，只要學(xué)生能理解頻率和概率的關(guān)系，并將它們有機(jī)結(jié)合起來(lái)學(xué)習(xí)隨機(jī)變量均值的計(jì)算應(yīng)該不會(huì)有太大的困難。3教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)利用加權(quán)平均數(shù)的知識(shí)計(jì)算隨機(jī)變量的均值，初步體會(huì)如何評(píng)判事情是否“合算”，進(jìn)一步建立和發(fā)展良好的隨機(jī)觀念。過(guò)程與方法：經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)探究和理論推導(dǎo)的活動(dòng)過(guò)程，領(lǐng)會(huì)“合算”方案的隨機(jī)數(shù)學(xué)原理，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力。情感態(tài)度價(jià)值觀：通過(guò)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，發(fā)展合作交流意識(shí)和能力，進(jìn)一步體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系，體驗(yàn)隨機(jī)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。4教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：學(xué)會(huì)評(píng)判某項(xiàng)活動(dòng)是否“合算”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算的方法。難點(diǎn):理解和應(yīng)用理論的方法計(jì)算每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)。5教學(xué)方法首先創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，激起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生解決“合算”問(wèn)題的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。教學(xué)過(guò)程按照“直覺(jué)猜想

、實(shí)驗(yàn)感悟

、理論計(jì)算

、實(shí)踐應(yīng)用”的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行設(shè)計(jì)，注重實(shí)驗(yàn)估算與理論計(jì)算相結(jié)合，注重解決問(wèn)題的活動(dòng)過(guò)程，這樣既促進(jìn)了學(xué)生的理解，同時(shí)也滲透了概率統(tǒng)計(jì)之間的聯(lián)系。組織學(xué)生合作探究、解釋發(fā)現(xiàn)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合作交流意識(shí)和能力。鼓勵(lì)學(xué)生思維的多樣性，引導(dǎo)學(xué)生積極反思，體驗(yàn)學(xué)習(xí)成功的樂(lè)趣。6教學(xué)媒體教師準(zhǔn)備多媒體教學(xué)的課件、轉(zhuǎn)盤及彩票廣告等。學(xué)生課前做一個(gè)和課本中一樣的某商場(chǎng)使用的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤。7教學(xué)過(guò)程7.1創(chuàng)設(shè)情境，問(wèn)題引入師:你研究過(guò)搖獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得各種獎(jiǎng)項(xiàng)的可能性嗎?你想知道每一次活動(dòng)的平均收益嗎?讓我們一起來(lái)研究其中的奧秘吧!(多媒體演示)某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤1，并規(guī)定：顧客每購(gòu)買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)。如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購(gòu)物券，憑購(gòu)物券可以在該商場(chǎng)繼續(xù)購(gòu)物，如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購(gòu)物券10元。轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購(gòu)物券，你認(rèn)為哪種方式更合算?轉(zhuǎn)盤1師:當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針可能落在哪些區(qū)域？獲得購(gòu)物券的機(jī)會(huì)分別有多大？生：指針可能指向各種顏色的區(qū)域，根據(jù)各種顏色區(qū)域在轉(zhuǎn)盤中所占的比例：紅色為，黃色為，綠色為白色為，那么可能獲得100元、50元、20元購(gòu)物券的概率分別為0.05、0.1和0.2，指針指向白色區(qū)域的概率為0.65，此時(shí)不能獲得購(gòu)物券。師:如果不轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，可以直接獲得購(gòu)物券10元，如果轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，就會(huì)出現(xiàn)多種可能的結(jié)果，放棄轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，意味著放棄了獲得100元、50元、20元購(gòu)物券的機(jī)會(huì)。如果不放棄，就意味著有可能連獲得10元購(gòu)物券的機(jī)會(huì)也沒(méi)有了，那么該如何選擇比較合算呢？下面我們先來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，也許你會(huì)從中找到解決這個(gè)問(wèn)題的辦法。[是否“合算”要從整體上計(jì)算隨機(jī)變量的均值，學(xué)生可能仍停留在確定性思維之中,因此產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突。讓學(xué)生評(píng)判某項(xiàng)活動(dòng)是否“合算”，是提高其決策能力的關(guān)鍵，通過(guò)設(shè)置這種常見(jiàn)問(wèn)題情境，首先讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得初步的感受。]7.2動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，揭示規(guī)律（1）每四人組成一合作學(xué)習(xí)小組，用課前制作的轉(zhuǎn)盤，通過(guò)實(shí)驗(yàn)的辦法(每組實(shí)驗(yàn)100次)分別求出獲得100元、50元、20元購(gòu)物券以及未能獲得購(gòu)物券的頻率，并據(jù)此估計(jì)每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)，看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購(gòu)物券，哪種方式更合算。（2）全班交流，看看各小組的結(jié)論是否一致，并將各組的數(shù)據(jù)匯總（表1），計(jì)算每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲得購(gòu)物券金額的平均數(shù)。表1轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤實(shí)驗(yàn)的結(jié)果獲得100元購(gòu)物券獲得50元購(gòu)物券獲得20元購(gòu)物券未能獲得購(gòu)物券本組全班本組全班本組全班本組全班頻數(shù)頻率a1a2a3a4師:你在實(shí)驗(yàn)中是如何計(jì)算每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)呢?當(dāng)做100次實(shí)驗(yàn)時(shí)，設(shè)獲得100元購(gòu)物券的頻率為a1，獲得50元購(gòu)物券的頻率為a2，獲得20元的購(gòu)物券的頻率為a3，未能獲得購(gòu)物券的頻率為a4，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義，可得每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)為：100a1+50a2+20a3+0a4＝100a1+50學(xué)生從統(tǒng)計(jì)表中可以看到匯總?cè)嗟臄?shù)據(jù)以后，總體上指針停在每種顏色區(qū)域上的頻率更接近各顏色區(qū)域與整個(gè)轉(zhuǎn)盤的面積比。即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，a1、a2、a3、a4將穩(wěn)定于和它相應(yīng)的理論概率。此時(shí)，我們可以用實(shí)驗(yàn)頻率來(lái)估計(jì)理論概率。師:如果把上圖的轉(zhuǎn)盤改為轉(zhuǎn)盤2，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客仍分別獲得100元、50元、20元的購(gòu)物券，與上圖的轉(zhuǎn)盤比，哪一個(gè)轉(zhuǎn)盤對(duì)顧客更合算?如果改用轉(zhuǎn)盤3呢？轉(zhuǎn)盤2轉(zhuǎn)盤3生：交流討論師：轉(zhuǎn)盤2和原來(lái)的轉(zhuǎn)盤對(duì)顧客而言結(jié)果是一樣的。因?yàn)橹羔樎湓诩t色區(qū)域、黃色區(qū)域和綠色區(qū)域的可能性沒(méi)有變。轉(zhuǎn)盤3和原來(lái)的轉(zhuǎn)盤對(duì)顧客而言結(jié)果不一樣，轉(zhuǎn)盤3的結(jié)果對(duì)顧客來(lái)說(shuō)更合算。因?yàn)槲传@購(gòu)物券和獲得50元購(gòu)物券的可能性沒(méi)有變化，獲得20元購(gòu)物券的可能性減少，獲得100元購(gòu)物券的可能性增加。[通過(guò)轉(zhuǎn)盤的“變式”，讓學(xué)生理性地思考影響所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)的因素，為學(xué)生得出后面的理論計(jì)算方法打下基礎(chǔ)。]7.3理論計(jì)算，構(gòu)建認(rèn)知師:如果不用試驗(yàn)的方法，你能求出每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)嗎?生:由轉(zhuǎn)盤2我們知道，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，獲得100元購(gòu)物券的概率為，獲得50元購(gòu)物券的概率為，獲得20元購(gòu)物券的概率為，理論上可以認(rèn)為轉(zhuǎn)動(dòng)n次轉(zhuǎn)盤，獲得100元購(gòu)物券的次數(shù)為n次，獲得50元購(gòu)物券的次數(shù)為n次，獲得20元購(gòu)物券的次數(shù)為n次，所以每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)應(yīng)該為：(100×n+50×n+20×n)÷n=100×+50×+20×=14(元)。同理，使用轉(zhuǎn)盤3，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)應(yīng)該是：100×+50×+20×=18(元)師:這種算法我們?cè)?jīng)在哪里用過(guò)嗎?生:這種算法與上一節(jié)小明估算農(nóng)村居民的人均純收入的方法是一致的。[這樣有利于轉(zhuǎn)到下面研討小亮的做法，使學(xué)生對(duì)理論計(jì)算隨機(jī)變量的均值有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，如果已有學(xué)生想出了這種理論計(jì)算方法，那么應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的思路引導(dǎo)他們進(jìn)一步地討論。]7.4討論交流，辨析理解師:小亮根據(jù)轉(zhuǎn)盤2，繪制了一個(gè)扇形統(tǒng)計(jì)圖1，據(jù)此他認(rèn)為，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)是100×5%+50×10％+20×20%＝14(元)。你能解釋小亮這樣做的道理嗎?統(tǒng)計(jì)圖1生:我認(rèn)為小亮的算法是有道理的。由圖1可知，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的可能性大小即概率分別為、、，我們可以把、、看作權(quán)重，因此小亮繪制的扇形統(tǒng)計(jì)圖，反映了轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的權(quán)重。由加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式就可求出轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)動(dòng)一次所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)是:100×5%+50×10%+20×20%＝14(元)。師:按小亮的算法，小明一組轉(zhuǎn)了100次，總共獲得購(gòu)物券應(yīng)為1400元，可實(shí)際上他們總共獲得購(gòu)物券是1320元。這是為什么呢？生:因?yàn)橛眯×恋姆椒ㄓ?jì)算的平均數(shù)是用理論概率計(jì)算出來(lái)的，但實(shí)際上的頻率很難和理論概率完全相同。師:大家對(duì)實(shí)際生活中存在的不確定現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)是正確的，其實(shí)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)該和理論值相近，但實(shí)驗(yàn)次數(shù)再多，也很難保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值相等，這是我們作出決策和評(píng)判時(shí)應(yīng)該具備的隨機(jī)觀念。[旨在借助扇形統(tǒng)計(jì)圖，引導(dǎo)學(xué)生獲得這種理論計(jì)算方法，使學(xué)生認(rèn)識(shí)概率與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系。]7.5隨堂練習(xí)，鞏固深化改用另一個(gè)轉(zhuǎn)盤進(jìn)行上面的活動(dòng)，小穎根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制出扇形統(tǒng)計(jì)圖2,求每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)。統(tǒng)計(jì)圖2生:根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖，可知每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)是：100×10%+50×15%+20×25%＝22.5(元)。7.6歸納總結(jié)，自我評(píng)價(jià)這節(jié)課我們繼續(xù)經(jīng)歷了解決問(wèn)題的活動(dòng)過(guò)程，學(xué)會(huì)如何評(píng)判某件事情是否“合算”，通過(guò)具體問(wèn)題情境，掌握了一定的判斷方法，提高了決策能力；通過(guò)探索“平均收益”的計(jì)算方法，領(lǐng)會(huì)到隨機(jī)數(shù)學(xué)與確定數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)估計(jì)和理論計(jì)算的過(guò)程進(jìn)一步體會(huì)到概率與統(tǒng)計(jì)之間的聯(lián)系，更好地建立了隨機(jī)觀念。7.7布置作業(yè)，檢測(cè)反饋(1)口袋里有相同的4個(gè)白球和2個(gè)紅球，從口袋里摸出2個(gè)球，如果兩個(gè)都是白球甲勝，否則乙勝，請(qǐng)你想一想，這個(gè)游戲中，誰(shuí)合算？(2)如圖，轉(zhuǎn)盤被均勻分為37格，分別標(biāo)以0~36這37個(gè)數(shù)字，游戲者每次下賭注2元，可押其中的一個(gè)數(shù)字，若轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針?biāo)父褡拥臄?shù)字恰為游戲者所押數(shù)字，則返還賭本并獲得獎(jiǎng)勵(lì)70元，否則沒(méi)收賭本。該游戲?qū)τ螒蛘哂欣麊?轉(zhuǎn)動(dòng)多少次后，游戲者平均每次將獲利或損失多少元?轉(zhuǎn)盤48教學(xué)反思概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)難在學(xué)生對(duì)事件發(fā)生的隨機(jī)性的理解，本課涉及隨機(jī)變量均值的計(jì)算，雖然學(xué)生已學(xué)過(guò)加權(quán)平均數(shù)，但那畢竟是靜態(tài)的數(shù)學(xué)。教學(xué)中首先要通過(guò)設(shè)置適合的問(wèn)題情境，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。其次，教師要尋找知識(shí)聯(lián)系，通過(guò)構(gòu)筑認(rèn)知平臺(tái)，為學(xué)生建立知識(shí)聯(lián)結(jié)提供幫助。如,引導(dǎo)學(xué)生理解轉(zhuǎn)盤中的幾何概率與實(shí)驗(yàn)頻率之間的關(guān)系,借助頻率在大數(shù)次實(shí)驗(yàn)下估計(jì)理論概率的核心知識(shí)，過(guò)渡到隨機(jī)變量均值的理論計(jì)算。實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對(duì)學(xué)過(guò)知識(shí)