年高考真題完全解讀（北京卷）適用省份北京本套試卷依據(jù)最新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和北京市對(duì)于高考命題的整體要求，在考查內(nèi)容、能力層次、題型分布和難易梯度等方面都進(jìn)行了較為系統(tǒng)、科學(xué)的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維能力的綜合考查。全卷共包含兩大部分：第一部分為選擇題，共計(jì)10題，合計(jì)40分；第二部分為非選擇題（填空題與解答題），合計(jì)110分；試卷總分150分，考試時(shí)長120分鐘。與往年北京高考數(shù)學(xué)試題相比，本卷在結(jié)構(gòu)上延續(xù)了“一卷多題、能力立意”的方向，保持了相對(duì)穩(wěn)定的題型設(shè)置，如函數(shù)與方程、數(shù)列與不等式、三角與向量、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)以及立體幾何等知識(shí)模塊均有分布，做到了覆蓋面廣、考查內(nèi)容均衡。本次考試與過往試題的主要變化與差異有以下四點(diǎn)：1、題型與題量的變化本卷選擇題數(shù)量依舊為10道，每題4分，總分40分，與近幾年的北京卷保持一致。不過，在非選擇題部分，填空題位置與解答題的設(shè)置更融合，且對(duì)知識(shí)的交叉考查有了一定程度的加深，提升了問題情境的綜合性。2、知識(shí)覆蓋與命題特色試卷中的常規(guī)考點(diǎn)如函數(shù)的圖像變換、數(shù)列及其性質(zhì)、三角恒等變換、解析幾何等均有所覆蓋，并圍繞學(xué)生對(duì)概念實(shí)質(zhì)與數(shù)學(xué)方法的掌握情況進(jìn)行區(qū)分度設(shè)計(jì)。以高考評(píng)價(jià)體系中的“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”為指導(dǎo)，較好地銜接了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主干知識(shí)，也針對(duì)北京市學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn)，將選考內(nèi)容與必修內(nèi)容做了適度整合，著力考查學(xué)生綜合運(yùn)用多種思維模型解決問題的能力。3、難度與計(jì)算量的比較從整體難度來看，試卷難度層次分明。選擇題部分的前4～5題相對(duì)基礎(chǔ)，便于考生建立信心。而后續(xù)部分如幾何的綜合題與函數(shù)題，需要較強(qiáng)的邏輯分析及運(yùn)算推理能力，題目在計(jì)算量與思維量之間取得了平衡。與往年相比，高分段的區(qū)分度仍相對(duì)明顯，中等難度題的比例略有提高，能夠更好地檢測學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)內(nèi)容的掌握深度與熟練度。4、新情境與素養(yǎng)考查試卷中多次出現(xiàn)蘊(yùn)含現(xiàn)實(shí)背景或科技前沿情境的題目，例如關(guān)于“大語言模型訓(xùn)練數(shù)據(jù)量與時(shí)間的對(duì)數(shù)關(guān)系”考查了函數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算結(jié)合的綜合運(yùn)用；在立體幾何中也出現(xiàn)了帶有平行多邊形、三棱柱、棱錐組合體的復(fù)雜空間想象要求。通過這些題目的設(shè)置，檢驗(yàn)了學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際場景的能力，回應(yīng)了“學(xué)科素養(yǎng)”與“跨學(xué)科思維”的培養(yǎng)要求。與《高考評(píng)價(jià)體系》《課程標(biāo)準(zhǔn)》的契合度：1、課程標(biāo)準(zhǔn)要求的落實(shí)試卷充分體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)“函數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)、推理”四大核心知識(shí)領(lǐng)域的均衡分配。在函數(shù)部分，涉及一次函數(shù)與分段函數(shù)的圖像、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及對(duì)函數(shù)單調(diào)性、周期性的綜合考查；解析幾何部分涵蓋拋物線、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)性質(zhì)；統(tǒng)計(jì)與概率部分則突出對(duì)實(shí)際問題的建模與推斷。試題設(shè)計(jì)在易、中、難層層遞進(jìn)，將數(shù)學(xué)核心概念、思想與方法多角度呈現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)考綱要求的全面覆蓋。2、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新精神北京地區(qū)在近年來的高考命題中一直注重聯(lián)系社會(huì)熱點(diǎn)、產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新、科技前沿等元素，并將之與學(xué)科關(guān)鍵能力相結(jié)合。本套試卷對(duì)學(xué)生“運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題”提出了更高的期望：如考查極坐標(biāo)與向量分析、立體幾何與平面幾何的綜合、隨機(jī)抽樣及概率估計(jì)等內(nèi)容，均體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解與遷移能力，同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)校教學(xué)在知識(shí)講授過程中加強(qiáng)實(shí)踐與探究。3、對(duì)教學(xué)與評(píng)價(jià)的啟示試卷命題追求“雙基”與高階能力并重，要求一方面要扎實(shí)做好基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的訓(xùn)練；另一方面要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行探究式、研究型學(xué)習(xí)，以便在復(fù)雜問題情境下迅速辨明思路。對(duì)于學(xué)校而言，應(yīng)依據(jù)新課標(biāo)的理念，著力培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用多學(xué)科知識(shí)的能力與創(chuàng)新意識(shí)；對(duì)教師而言，應(yīng)繼續(xù)豐富教學(xué)方式，將數(shù)學(xué)思想方法（如分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想等）滲透到課堂教學(xué)與日常練習(xí)之中，為學(xué)生未來的學(xué)科發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的素養(yǎng)基礎(chǔ)。綜上所述，北京卷本套真題整體布局合理、梯度清晰，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與關(guān)鍵能力的考察兼顧得當(dāng)，注重?cái)?shù)學(xué)素養(yǎng)的多維度評(píng)價(jià)：既檢驗(yàn)了學(xué)生對(duì)課標(biāo)主體內(nèi)容的掌握情況，也引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)與生活實(shí)踐相融合，體現(xiàn)了選拔與育人的雙重功能。題目的新穎度和開放度有利于激發(fā)學(xué)生的思考深度和創(chuàng)新意識(shí)。對(duì)于后續(xù)教學(xué)，應(yīng)繼續(xù)夯實(shí)常規(guī)知識(shí)體系，并在此基礎(chǔ)上加強(qiáng)學(xué)生對(duì)新情境、新題型的分析與應(yīng)對(duì)能力，為未來的數(shù)理綜合素養(yǎng)培養(yǎng)奠定更為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。1、整體題型結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定仍分為選擇題、填空題、解答題三大部分，題量與分值配置（10道選擇題、5道填空題、6道解答題，共21題，總分150分）與上一年基本一致。考查知識(shí)點(diǎn)覆蓋代數(shù)、幾何、三角、數(shù)列、解析幾何、統(tǒng)計(jì)和概率等傳統(tǒng)模塊，題型未發(fā)生明顯變化，但試題情境設(shè)置更加貼近實(shí)際應(yīng)用。2、情境融合與考查深度有所增強(qiáng)如第9題引入“大語言模型訓(xùn)練數(shù)據(jù)量”的背景，第14題運(yùn)用“3D打印機(jī)零件”的空間幾何場景，第18題涉及“統(tǒng)計(jì)推斷與概率估計(jì)”，明顯增強(qiáng)了與現(xiàn)實(shí)科技熱點(diǎn)的結(jié)合。試題在計(jì)算與推理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)多知識(shí)點(diǎn)交叉，如數(shù)列與不等式、幾何與向量、正弦定理與三角恒等式等融合考查，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的綜合分析能力。3、對(duì)思維與能力要求進(jìn)一步提升多題通過建模、數(shù)據(jù)分析或函數(shù)性質(zhì)研究，考查學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化和多角度分析問題的能力。試題的設(shè)問更注重過程與細(xì)節(jié)，往往需要運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言、邏輯推理與圖形轉(zhuǎn)換等手段，鼓勵(lì)學(xué)生在解決問題中體現(xiàn)思維的條理性與創(chuàng)新性。總之，本卷題型結(jié)構(gòu)雖未發(fā)生重大調(diào)整，但在情境化設(shè)置、綜合考查深度、知識(shí)交叉度等方面有所提升，考生需要注重聯(lián)結(jié)多知識(shí)模塊、加強(qiáng)數(shù)理思維的綜合運(yùn)用。1、試卷整體結(jié)構(gòu)本試卷分為三大題型：選擇題：共10小題，第1～10題，每小題4分，共40分；填空題：共5小題，第11～15題，每小題5分，共25分；解答題：共6小題，第16～21題，共85分。全卷總分為150分，考試時(shí)長為120分鐘。整體來看，選擇題與填空題注重知識(shí)點(diǎn)的直接測查與運(yùn)用，解答題考查理解、綜合與推理能力。2、試題分值與考查內(nèi)容表題號(hào)分值題型考查內(nèi)容難易分析14選擇題集合及其運(yùn)算（交集），集合元素的求解容易24選擇題復(fù)數(shù)的模與代數(shù)運(yùn)算容易34選擇題雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率容易44選擇題函數(shù)圖象的伸縮變換容易54選擇題等差數(shù)列與等比數(shù)列的混合考查中等64選擇題不等式與特殊值驗(yàn)證中等74選擇題函數(shù)值域、充分條件與必要條件中等84選擇題三角函數(shù)的恒等變換與零點(diǎn)存在性分析中等94選擇題對(duì)數(shù)型函數(shù)（訓(xùn)練時(shí)間與訓(xùn)練數(shù)據(jù)量）的變化與增量計(jì)算中等104選擇題向量幾何與坐標(biāo)運(yùn)算，點(diǎn)的范圍確定略難115填空題拋物線頂點(diǎn)、焦點(diǎn)距離與方程參數(shù)求解容易125填空題復(fù)合函數(shù)求值與換元技巧中等135填空題三角函數(shù)值給定條件下的角度求解中等145填空題立體幾何多面體體積的綜合分析較難155填空題函數(shù)單調(diào)性與不等式恒成立的綜合探討較難1613解答題三角形邊角關(guān)系、正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用中等1714解答題四棱錐的空間幾何性質(zhì)、平面與線段中點(diǎn)連接、向量平行四邊形判斷中等1813解答題概率與統(tǒng)計(jì)（獨(dú)立事件、期望、頻率估計(jì)概率），對(duì)比不同學(xué)校答題正確率中等1915解答題橢圓方程及焦點(diǎn)性質(zhì)、直線切橢圓及三角形面積比較中等2015解答題函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)、切線幾何、函數(shù)圖象上下方位置關(guān)系、綜合求范圍較難2115解答題數(shù)列與坐標(biāo)網(wǎng)格中“相鄰”定義的新型問題，奇偶性與數(shù)學(xué)歸納分析困難整體來看，本套試卷對(duì)高中數(shù)學(xué)的各知識(shí)塊均有覆蓋，難度分配合理，能區(qū)分不同層次考生的能力水平。通過選擇、填空、解答題的形式層層深入，較好地考查了考生在概念掌握、技能運(yùn)用以及綜合思維方面的整體水平。在本次試卷的考查內(nèi)容中，函數(shù)與方程、數(shù)列、三角、平面幾何與立體幾何、解析幾何（含拋物線、橢圓、雙曲線等）以及統(tǒng)計(jì)與概率均有分布。其中，以下幾點(diǎn)值得特別關(guān)注和總結(jié)：1、回顧審題與知識(shí)框架在遇到集合與復(fù)數(shù)問題時(shí)，一定要明確每個(gè)集合或復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的取值范圍或模的計(jì)算方式。對(duì)于集合運(yùn)算，務(wù)必先找出具體元素然后再進(jìn)行交、并、補(bǔ)等操作。數(shù)列（包括等差數(shù)列和等比數(shù)列）常與方程或不等式結(jié)合出現(xiàn)，解題時(shí)可利用數(shù)列的通項(xiàng)和基本性質(zhì)快速鎖定公差、公比。解析幾何部分，雙曲線、橢圓、拋物線等都要熟悉其標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，注意不同題型中對(duì)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率、離心距的靈活考查。在立體幾何與空間向量部分，平行、垂直及距離計(jì)算是高頻考點(diǎn)，要著重把握“線面平行”“面面平行”的判定與體積運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)。三角函數(shù)部分要格外留意輔助角、正弦定理及余弦定理的運(yùn)用，以及t=tan概率與統(tǒng)計(jì)題型通常結(jié)合對(duì)數(shù)、對(duì)偶事件及分布列等基礎(chǔ)概念來考查建模能力。對(duì)“抽樣統(tǒng)計(jì)”類題目做好分類討論與列出事件概率的過程分析，是提高正確率的關(guān)鍵。2、常見易錯(cuò)與易混點(diǎn)容易忽視定義域限制。從而使最終答案超出題意。解函數(shù)方程或不等式，要先確保自變量滿足D。三角變形時(shí)，常出現(xiàn)符號(hào)失誤或?qū)瘮?shù)周期性的忽略，務(wù)必在每次解完后做一次簡要檢驗(yàn)，或先判斷函數(shù)對(duì)應(yīng)的周期區(qū)間。立體幾何中，平面與平面、平面與線的平行或垂直判定常有疏漏，需反復(fù)使用向量方法或幾何關(guān)系進(jìn)行印證。統(tǒng)計(jì)與概率部分，將“互斥”與“獨(dú)立”兩種情形混為一談，是常見錯(cuò)誤。要注意1?P(3、不同題型的復(fù)習(xí)重點(diǎn)與答題策略選擇題：先劃定可行范圍，再用排除法或簡易驗(yàn)證。緊扣題干信息，利用最值、特殊值或代入簡化是快速定位正確選項(xiàng)的關(guān)鍵。填空題：注意格式簡潔與準(zhǔn)確。遇到需要寫出所有解的題目，先確立主干思路（如先求出通解或通項(xiàng)），再精細(xì)化討論是否需要剔除不合法解。解答題：過程規(guī)范、邏輯清晰很重要。①作輔助線或加輔助變量時(shí)，要明確標(biāo)注或說明。②應(yīng)用向量或幾何方式解決立體問題，建議先畫示意圖。③在函數(shù)問題及不等式的求解中，強(qiáng)調(diào)每一步的理由，用恰當(dāng)?shù)挠浱?hào)（如令t替代sinx、cos④始終關(guān)注解的有效性與最終域的匹配。4、心理調(diào)適與考試心態(tài)保持自信與平穩(wěn)心態(tài)：切忌考試前猛攻太難題而喪失信心，也不要一直糾結(jié)細(xì)微漏洞導(dǎo)致精神緊張。規(guī)律作息、勞逸結(jié)合：適當(dāng)進(jìn)行體育鍛煉，保證睡眠。緊張復(fù)習(xí)之余可做簡單放松訓(xùn)練，例如深呼吸、冥想等。考試作答時(shí)，若遇到一時(shí)難以突破的題型，可先做標(biāo)記，迅速轉(zhuǎn)換到自己更有把握的題目，力爭將整體得分最大化。5、后續(xù)命題趨勢與復(fù)習(xí)側(cè)重從近年來趨勢看，考題會(huì)持續(xù)關(guān)注函數(shù)模型與實(shí)際應(yīng)用、復(fù)合函數(shù)不等式、立體幾何中線面關(guān)系的綜合，以及概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用背景題。建議深挖對(duì)數(shù)與指數(shù)類考題中常見的函數(shù)變形、多項(xiàng)式與對(duì)數(shù)方程混合求解的技巧，結(jié)合三角與數(shù)列交叉的綜合題型。2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)第一部分（選擇題

共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出．【詳解】由可得，，所以，故選：B.3.雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出，即可求出離心率．【詳解】由得，，所以，即，所以，故選：B．4.為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)變成原來的倍，縱坐標(biāo)不變 B.橫坐標(biāo)變成原來的2倍，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)變成原來的倍，橫坐標(biāo)不變 D.縱坐標(biāo)變成原來的3倍，橫坐標(biāo)不變【答案】A【解析】【分析】由，根據(jù)平移法則即可解出．【詳解】因?yàn)椋詫⒑瘮?shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來的倍，縱坐標(biāo)不變，即可得到函數(shù)的圖象，故選：A.5.已知是公差不為0的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（）A B. C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，且，所以，即，解得或（舍去），所以.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于BD，取，此時(shí)，，故BD錯(cuò)誤；對(duì)于C，由基本不等式可得，故C正確.故選：C.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“函數(shù)的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)值域概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.【詳解】若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t對(duì)任意，一定存在，使得，取，則，充分性成立；取，，則對(duì)任意，一定存在，使得，取，則，但此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋匾圆怀闪ⅲ凰浴昂瘮?shù)的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的充分不必要條件.故選：A.8.設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）A.8 B.6 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】由輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點(diǎn)即可求解.【詳解】函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，由可得，所以，即；又函數(shù)在上存在零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，所以，即；綜上，的最小值為4.故選：C.9.在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要時(shí)間（單位：小時(shí)），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加20小時(shí)；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加（單位：小時(shí)）（）A.2 B.4 C.20 D.40【答案】B【解析】【分析】由題給條件列出不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量時(shí)所需的時(shí)間，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)當(dāng)N取個(gè)單位、個(gè)單位、個(gè)單位時(shí)所需時(shí)間分別為,由題意，，，，因?yàn)椋裕裕援?dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加4小時(shí).故選：B.10.已知平面直角坐標(biāo)系中，，，設(shè)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)，求出，進(jìn)而可以用向量表示出，即可解出．【詳解】因?yàn)椋善椒娇傻茫裕裕郑矗裕矗蔬x：D.第二部分（非選擇題

共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可求的值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)到焦距的距離為，故，故，故答案為：.12.已知，則________；________．【答案】①.②.【解析】【分析】利用賦值法可求，利用換元法結(jié)合賦值法可求的值.【詳解】令，則，又，故，令，則，令，則，故故答案為：.13.已知，且，，寫出滿足條件的一組________，_________．【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)角的三角函數(shù)的關(guān)系可得角的等量關(guān)系，從而可得滿足條件的一組解.【詳解】因?yàn)椋缘慕K邊關(guān)于軸對(duì)稱，且不與軸重合，故且，即，故取可滿足題設(shè)要求；故答案為：；（答案不唯一）14.某科技興趣小組通過3D打印機(jī)的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個(gè)平行多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，若，則該多面體的體積為________．【答案】【解析】【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱和四棱錐后結(jié)合體積公式可求幾何體的體積.【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論：如果平面平面，平面平面，平面，則.證明：設(shè)，，在平面取一點(diǎn)，，在平面內(nèi)過作直線，使得，作直線，使得，因?yàn)槠矫嫫矫妫剩剩恚?下面回歸問題.連接，因?yàn)榍遥剩恚手苯翘菪闻c直角梯形全等，故，在直角梯形中，過作，垂足為，則四邊形為矩形，且為以為直角的等腰直角三角形，故，平面平面，平面平面，,平面，故平面，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，則，同理可證平面，而平面，故平面平面，同理平面平面，而平面平面，故平面，故，故四邊形為平行四邊形，故.在平面中過作，交于，連接.則四邊形為平行四邊形，且，故，故四邊形為平行四邊形，而平面，故平面，故平面平面，而，故，故幾何體為直棱柱，而，故,因?yàn)椋势矫妫矫妫势矫嫫矫妫谄矫嬷羞^作，垂足為，同理可證平面，而，故，故，由對(duì)稱性可得幾何體的體積為，故答案為：.15.關(guān)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，以下說法正確的有________．①存在在上單調(diào)遞增的函數(shù)，使得恒成立；②存在在上單調(diào)遞減的函數(shù)，使得恒成立；③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個(gè)；④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個(gè)．【答案】②③【解析】【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗(yàn)證后可判斷②③的正誤.【詳解】對(duì)于①，若存在在上的增函數(shù)，滿足，則，即，故時(shí)，，故，故即，矛盾，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，取，該函數(shù)為上的減函數(shù)且，故該函數(shù)符合，故②正確；對(duì)于③，取，此時(shí)，由可得有無窮多個(gè)，故③正確；對(duì)于④，若存在，使得，令，則，但，矛盾，故滿足的函數(shù)不存在，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，．（1）求c；（2）在以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求BC的高．①；②；③面積為．【解析】【分析】（1）由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；（2）若選①，可得都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理、平方關(guān)系求得，，進(jìn)一步由求得高，并說明此時(shí)三角形存在即可；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得，再根據(jù)余弦定理可求得，由此可說明三角形存在，且可由等面積法求解.【小問1詳解】因?yàn)椋裕烧叶ɡ碛校獾茫弧拘?詳解】如圖所示，若存在，則設(shè)其邊上的高為，若選①，，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋@表明此時(shí)三角形有兩個(gè)鈍角，而這是不可能的，所以此時(shí)三角形不存在，故邊上的高也不存在；若選②，，由正弦定理有，解得，此時(shí)，，而，，，所以，可以唯一確定，所以此時(shí)也可以唯一確定，這表明此時(shí)三角形是存在，且邊上的高；若選③，的面積是，則，解得，由余弦定理可得可以唯一確定，進(jìn)一步由余弦定理可得也可以唯一確定，即可以唯一確定，這表明此時(shí)三角形是存在的，且邊上的高滿足：，即.17.四棱錐中，與為等腰直角三角形，，E為BC的中點(diǎn)．（1）F為的中點(diǎn)，G為PE的中點(diǎn)，證明：平面PAB；（2）若平面ABCD，，求AB與平面PCD所成角的正弦值．【解析】【分析】（1）取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，只需證明即可；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，與為等腰直角三角形且，不妨設(shè)，..E、F分別為BC、PD的中點(diǎn)，，且.，，，∴四邊形FGMN為平行四邊形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；【小問2詳解】平面ABCD，以A為原點(diǎn)，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，，，取，，.設(shè)AB與平面PCD所成角為，則，即AB與平面PCD所成角的正弦值為.18.有一道選擇題考查了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人，甲校有80人答對(duì)，乙校有75人答對(duì)，用頻率估計(jì)概率．（1）從甲校隨機(jī)抽取1人，求這個(gè)人做對(duì)該題目的概率．（2）從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為做對(duì)的人數(shù)，求恰有1人做對(duì)的概率以及X的數(shù)學(xué)期望．（3）若甲校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，則有的概率做對(duì)該題目，乙校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，則有的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為，乙校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為，試比較與的大小（結(jié)論不要求證明）【解析】【分析】（1）用頻率估計(jì)概率后可得從甲校隨機(jī)抽取1人做對(duì)該題目的概率；（2）利用獨(dú)立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做對(duì)的概率及的分布列，從而可求其期望；（3）根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的方程，求出其解后可得它們的大小關(guān)系.【小問1詳解】用頻率估計(jì)概率，從甲校隨機(jī)抽取1人，做對(duì)題目的概率為.【小問2詳解】設(shè)為“從甲校抽取1人做對(duì)”，則，，設(shè)為“從乙校抽取1人做對(duì)”，則，，設(shè)為“恰有1人做對(duì)”，故依題可知，可取，，，，故的分布列如下表：故.【小問3詳解】設(shè)為“甲校掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生做該題”，因?yàn)榧仔Ｕ莆者@個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，故，即，故，同理有，，故，故.19.已知的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為4，（1）求橢圓方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線與直線，交于A，B．與的面積為，比較與的大小．【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出，再根據(jù)的關(guān)系求出，即可得到橢圓方程；（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出，再根據(jù)，即可得出它們的大小關(guān)系.法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關(guān)系得到，再根據(jù)三角形的面積公式即可解出.【小問1詳解】由橢圓可知，，所以，又，所以，，故橢圓方程為；【小問2詳解】聯(lián)立，消去得，，整理得，①，又，所以，，故①式可化簡為，即，所以，所以直線與橢圓相切，為切點(diǎn).設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，易知，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，，故．法二：不妨設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，則，，,又，所以，所以，，則，即，所以.20.函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸樘幍那芯€．（1）的最大值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，除點(diǎn)A外，曲線均在上方；（3）若時(shí)，直線過A且與垂直，，分別于x軸的交點(diǎn)為與，求的取值范圍．【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；（2）求出直線的方程，再構(gòu)造函數(shù)，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；（3）求出直線的方程，即可由題意得到的表示，從而用字母表示出，從而求出范圍.【小問1詳解】設(shè)，，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為.【小問2詳解】因?yàn)椋灾本€的方程為，即，設(shè)，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，而，所以