互感電路與諧振電路

5.1

互感（1）互感載流線(xiàn)圈之間通過(guò)彼此的磁場(chǎng)相互聯(lián)系的物理現(xiàn)象稱(chēng)為磁耦合。+_11′22′●自感磁通鏈線(xiàn)圈1中的電流產(chǎn)生的磁通設(shè)為在穿越自身的線(xiàn)圈時(shí)，所產(chǎn)生的磁通鏈設(shè)為此磁通鏈稱(chēng)為自感磁通鏈?！窕ジ写磐ㄦ溨械囊徊糠只蛉拷绘溇€(xiàn)圈2時(shí)產(chǎn)生的磁通鏈，設(shè)為，稱(chēng)為互感通磁鏈同樣，線(xiàn)圈2中的電流也產(chǎn)生自感磁通鏈和互感磁通鏈線(xiàn)圈2的磁通鏈為:

耦合線(xiàn)圈中的磁通鏈等于自感磁通鏈和互感磁通鏈兩部分的代數(shù)和。線(xiàn)圈1

的磁通鏈為:（2）互感系數(shù)

當(dāng)周?chē)臻g是各向同性的線(xiàn)性磁介質(zhì)時(shí)，每一種磁通鏈都與產(chǎn)生它的電流成正比?；ジ写磐ㄦ溩愿写磐ㄦ湥荷鲜街蠱12和M21稱(chēng)為互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)互感。互感用符號(hào)M表示，單位為H。M=M12=M21兩個(gè)耦合線(xiàn)圈的磁通鏈可表示為：=

L1i1±M

i2=±Mi1

+L2i2

上式表明，耦合線(xiàn)圈中的磁通鏈與施感電流成線(xiàn)性關(guān)系，是各施感電流獨(dú)立產(chǎn)生的磁通鏈疊加的結(jié)果。為了便于反映“增助”或“削弱”作用和簡(jiǎn)化圖形表示，采用同名端標(biāo)記方法。（3）同名端●同名端的引入M前的±號(hào)是說(shuō)明磁耦合中，互感作用的兩種可能性?！?”號(hào)表示互感磁通鏈與自感磁通鏈方向一致，稱(chēng)為互感的“增助”作用；“-”號(hào)則相反，表示互感的“削弱”作用。=

L1i1±Mi2=±Mi1

+L2i2●同名端(dottedterminals)

對(duì)兩個(gè)有耦合的線(xiàn)圈各取一個(gè)端子，并用相同的符號(hào)標(biāo)記，這一對(duì)端子稱(chēng)為“同名端”。當(dāng)一對(duì)施感電流從同名端流進(jìn)（或流出）各自的線(xiàn)圈時(shí)，互感起增助作用。**11′22′+—u1+—u2耦合線(xiàn)圈電路模型**11′22′+—u1+—u2

設(shè)L1和L2的電壓和電流分別為u1、i1和u2、i2，且都取關(guān)聯(lián)參考方向，互感為M，則有：令自感電壓互感電壓（4）互感電壓u12是變動(dòng)電流i2在L1中產(chǎn)生的互感電壓，u21是變動(dòng)電流i1在L2中產(chǎn)生的互感電壓。所以耦合電感的電壓是自感電壓和互感電壓疊加的結(jié)果。互感電壓前的“+”或“-”號(hào)的正確選取是寫(xiě)出耦合電感端電壓的關(guān)鍵，說(shuō)明

如果互感電壓“+”極性端子與產(chǎn)生它的電流流進(jìn)的端子為一對(duì)同名端，互感電壓前應(yīng)取“+”號(hào)， 反之取“-”號(hào)。選取原則可簡(jiǎn)明地表述如下：左圖電壓、電流關(guān)系式為：(五)互感電壓的等效受控源表示法當(dāng)施感電流為同頻正弦量時(shí)，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，電壓、電流方程可用相量形式表示:(六)耦合系數(shù)（couplingcoefficient）

工程上為了定量地描述兩個(gè)耦合線(xiàn)圈的耦合緊疏程度，把兩線(xiàn)圈的互感磁通鏈與自感磁通鏈的比值的幾何平均值定義為耦合因數(shù)，記為k k的大小與兩個(gè)線(xiàn)圈的結(jié)構(gòu)、相互位置以及周?chē)沤橘|(zhì)有關(guān)。改變或調(diào)整它們的相互位置有可能改變耦合因數(shù)的大小。5.2含互感（mutualinductance）電路的計(jì)算（一）兩個(gè)互感線(xiàn)圈的串聯(lián)（1）反向串聯(lián)R1L1R2L2Mu1u2uiR1+R2L1+L2

-2M無(wú)互感等效電路R1L1R2L2Mu1ui對(duì)正弦穩(wěn)態(tài)電路，可采用相量形式表示為R1+R2L1+L2

-2M

反向串聯(lián)時(shí)，每一條耦合電感支路阻抗和輸入阻抗都比無(wú)互感時(shí)的阻抗?。娍棺冃。@是由于互感的削弱作用，它類(lèi)似于串聯(lián)電容的作用，常稱(chēng)為互感的“容性”效應(yīng)。u1u2R1R2L1-ML2-Mu（2)順向串聯(lián)每一耦合電感支路的阻抗為：而R1L1R2L2Mu1u2u（二）并聯(lián)R1R201R1R21（1)同側(cè)并聯(lián)01×jω(L1-M)jωMjω(L2-M)R1R201R1R210(2)異側(cè)并聯(lián)-jωMjω(L1+M)jω(L2+M)耦合線(xiàn)圈并聯(lián)等效電路同名端相接時(shí)，用M前上方符號(hào)，異名端相接時(shí)，用M前下方符號(hào)。5Ωj7.5Ω3Ωj6Ωj12.5ΩK+-例：電壓U=50V，求當(dāng)開(kāi)關(guān)K打開(kāi)和閉合時(shí)的電流。解：當(dāng)開(kāi)關(guān)打開(kāi)時(shí)兩個(gè)耦合電感是順向串聯(lián)=1.52/-75.96°A5Ωj7.5Ω3Ωj6Ωj12.5ΩK+-當(dāng)開(kāi)關(guān)閉合時(shí)兩個(gè)耦合電感相當(dāng)于異側(cè)并聯(lián)利用去耦法，原電路等效為5Ω3Ω+-j13.5Ω-j6Ωj18.5Ω7.79/-51.50°A5Ω3Ω+-j13.5Ω-j6Ωj18.5Ω5Ωj7.5Ω3Ωj6Ωj12.5ΩK+-計(jì)算AB兩點(diǎn)間的電壓ABABB5.3

空心變壓器(air-coretransformer)（一）變壓器的結(jié)構(gòu) 變壓器是電工、電子技術(shù)中常用的電氣設(shè)備，它是由兩個(gè)耦合線(xiàn)圈繞在一個(gè)共同的心子上制成。（1）原邊回路（或初級(jí)回路） 一個(gè)線(xiàn)圈作為輸入，接入電源后形成的一個(gè)回路。（2）副邊回路（或次級(jí)回路） 另一線(xiàn)圈作為輸出，接入負(fù)載后形成另一個(gè)回路。（3）心子 空心變壓器的心子是非鐵磁材料制成的。R1R211′22′（二）空心變壓器的電路模型負(fù)載設(shè)為電阻和電感串聯(lián)。RLjXL+_++(2)電路方程(1)電路模型（3）原邊等效電路令Z11=R1+jωL1，稱(chēng)為原邊回路阻抗

Z22=R2+jωL2+RL+jωXL，稱(chēng)為副邊回路阻抗

ZM=jωMY11=1/Z11Y22=1/Z22

R1R211′22′RLjXL+_Z11=R1+jωL1

Z22=R2+jωL2+RL+jωXL

ZM=jωM Y11=1/Z11 Y22=1/Z22

++第一個(gè)式子中的分母是原邊的輸入阻抗其中稱(chēng)為引入阻抗，它是副邊的回路阻抗通過(guò)互感反映到原邊的等效阻抗。引入阻抗的性質(zhì)與Z22相反，即感性（容性）變?yōu)槿菪裕ǜ行裕?-Z11原邊等效電路（4）從副邊看進(jìn)去的含源一端口的一種等效電路得到此含源網(wǎng)絡(luò)2-2′端口開(kāi)路電壓戴維寧等效阻抗Zeq=R2+jωL2+(ωM)2Y11RLjXL22′+-Zeq5.4

理想變壓器(idealtransformer)（一）理想變壓器的電路模型u1u2n:1i1i2N1N2（1）電路模型N1i1+N2i2=0（2）原、副邊電壓和電流的關(guān)系n=N1/N2，稱(chēng)為理想變壓器的變比(transformationratio)。u1u2n:1i1i2N1N2（二)理想變壓器的功率即輸入理想變壓器的瞬時(shí)功率等于零，所以它既不耗能也不儲(chǔ)能，它將能量由原邊全部傳輸?shù)捷敵?，在傳輸過(guò)程中，僅僅將電壓電流按變比作數(shù)值變換。得u1i1+u2i2=0據(jù)空心變壓器如同時(shí)滿(mǎn)足下列3個(gè)條件，即經(jīng)“理想化”和“極限化”就演變?yōu)槔硐胱儔浩?。?）空心變壓器本身無(wú)損耗（2）耦合因數(shù)k=1（3）L1、L2和M均為無(wú)限大，但保持（三）空心變壓器轉(zhuǎn)變?yōu)槔硐胱儔浩鳎ㄋ模┳杩棺儞Q

理想變壓器對(duì)電壓、電流按變比變換的作用，還反映在阻抗的變換上。在正弦穩(wěn)態(tài)的情況下，當(dāng)理想變壓器副邊終端2-2′接入阻抗ZL時(shí)，則變壓器原邊1-1′的輸入阻抗n2ZL即為副邊折合至原邊的等效阻抗，5.5串聯(lián)諧振電路

在同時(shí)含有L和C的交流電路中，如果總電壓和總電流同相，稱(chēng)電路處于諧振狀態(tài)。此時(shí)電路與電源之間不再有能量的交換，電路呈電阻性。串聯(lián)諧振：L

與C

串聯(lián)時(shí)u、i

同相并聯(lián)諧振：L

與C

并聯(lián)時(shí)u、i

同相

研究諧振的目的，就是一方面在生產(chǎn)上充分利用諧振的特點(diǎn)，(如在無(wú)線(xiàn)電工程、電子測(cè)量技術(shù)等許多電路中應(yīng)用)。另一方面又要預(yù)防它所產(chǎn)生的危害。諧振的概念：同相

由定義，諧振時(shí)：或：即諧振條件：諧振時(shí)的角頻率串聯(lián)諧振電路（1）諧振條件RLC+_+_+_+_（2）諧振頻率根據(jù)諧振條件：或電路發(fā)生諧振的方法：(1)電源頻率f

一定，調(diào)參數(shù)L、C使fo=f；(2)電路參數(shù)LC

一定，調(diào)電源頻率f，使f=fo

或：（3）串聯(lián)諧振特怔①

阻抗最小可得諧振頻率為：當(dāng)電源電壓一定時(shí)：②電流最大電路呈電阻性，能量全部被電阻消耗，和相互補(bǔ)償。即電源與電路之間不發(fā)生能量互換。③同相④諧振感抗和容抗不為零：稱(chēng)為特性阻抗(characteristicimpedance)⑤電壓關(guān)系諧振時(shí)各元件的電壓相量分別為：

串聯(lián)諧振電路對(duì)不同頻率的選擇能力電流：為諧振時(shí)電流；為品質(zhì)因素；為激勵(lì)電壓角頻率與諧振角頻率比值。UC、UL將大于電源電壓U當(dāng)時(shí)：有：由于可能會(huì)擊穿線(xiàn)圈或電容的絕緣，因此在電力系統(tǒng)中一般應(yīng)避免發(fā)生串聯(lián)諧振，但在無(wú)線(xiàn)電工程上，又可利用這一特點(diǎn)達(dá)到選擇信號(hào)的作用。令：表征串聯(lián)諧振電路的諧振質(zhì)量品質(zhì)因數(shù)，所以串聯(lián)諧振又稱(chēng)為電壓諧振。注意諧振時(shí):與相互抵消，但其本身不為零，而是電源電壓的Q倍。相量圖：如Q=100,U=220V,則在諧振時(shí)所以電力系統(tǒng)應(yīng)避免發(fā)生串聯(lián)諧振。（4）諧振曲線(xiàn)◆串聯(lián)電路的阻抗頻率特性

阻抗隨頻率變化的關(guān)系。容性感性0電流隨頻率變化的關(guān)系曲線(xiàn)。Q值越大，曲線(xiàn)越尖銳，選擇性越好。Q大Q小分析：諧振電流

電路具有選擇最接近諧振頻率附近的電流的能力——稱(chēng)為選擇性。fR

通頻帶：諧振頻率上限截止頻率下限截止頻率Q大通頻帶寬度越小(Q值越大)，選擇性越好，抗干擾能力越強(qiáng)。Q小△?=?2－?1

當(dāng)電流下降到0.707Io時(shí)所對(duì)應(yīng)的上下限頻率之差，稱(chēng)通頻帶。即：串聯(lián)諧振應(yīng)用舉例接收機(jī)的輸入電路：接收天線(xiàn)：組成諧振電路電路圖

為來(lái)自3個(gè)不同電臺(tái)(不同頻率)的電動(dòng)勢(shì)信號(hào)；調(diào)C，對(duì)所需信號(hào)頻率產(chǎn)生串聯(lián)諧振等效電路+-最大則例1：已知：解：若要收聽(tīng)節(jié)目，C應(yīng)配多大？+-則：結(jié)論：當(dāng)C調(diào)到204pF

時(shí)，可收聽(tīng)到

的節(jié)目。(1)例1：

已知：所需信號(hào)被放大了78倍+-

信號(hào)在電路中產(chǎn)生的電流有多大？在C

上產(chǎn)生的電壓是多少？(2)已知電路在解：時(shí)產(chǎn)生諧振這時(shí)5.6并聯(lián)諧振電路（1)

諧振條件+-實(shí)際中線(xiàn)圈的電阻很小，所以在諧振時(shí)有則：1.

諧振條件2.

諧振頻率或可得出：由：3.并聯(lián)諧振的特征(1)

阻抗最大，呈電阻性(當(dāng)滿(mǎn)足

0L

R時(shí))(2)恒壓源供電時(shí)，總電流最?。缓懔髟垂╇姇r(shí)，電路的端電壓最大。(3)支路電流與總電流

的關(guān)系當(dāng)

0L

R時(shí)，

1支路電流是總電流的Q倍電流諧振相量圖例2：已知：解：試求