4.4利用三角形全等測(cè)距離【例1】如圖所示,為了方便游客的觀賞,需要在人工湖兩側(cè)A,B兩點(diǎn)之間修建一條觀光步道,但無(wú)法直接量出A,B兩點(diǎn)之間的距離,現(xiàn)有足夠長(zhǎng)的米尺,請(qǐng)你利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí),設(shè)計(jì)一種方案,大致測(cè)出A,B兩點(diǎn)之間的距離,并說(shuō)明理由。根據(jù)“SAS”構(gòu)造全等三角形解:如圖所示,在點(diǎn)A,B一側(cè)的池塘邊的平地上取一點(diǎn)P,連接AP并延長(zhǎng)到點(diǎn)C,使PC=PA,連接BP并延長(zhǎng)到點(diǎn)D,使PD=PB,連接CD。在△PAB和△PCD中,因?yàn)镻A=PC,∠APB=∠CPD,PB=PD,所以△PAB≌△PCD(SAS)。所以AB=CD。故量取CD的長(zhǎng)度,即為A,B兩點(diǎn)之間的距離。【新知鞏固】1.(2024連平期末)如圖所示,亮亮想測(cè)量某湖A,B兩點(diǎn)之間的距離,他選取了可以直接到達(dá)點(diǎn)A,B的一點(diǎn)C,連接CA,CB,并作BD∥AC,截取BD=AC,連接CD,他說(shuō),根據(jù)三角形全等的判定定理,可得△ABC≌△DCB,所以AB=CD,他用到的三角形全等的判定定理是()A.SAS B.AAS C.SSS D.ASAA2.數(shù)學(xué)課上老師布置了“測(cè)量錐形瓶?jī)?nèi)部底面的內(nèi)徑”的探究任務(wù),善思小組想到了以下方案:如圖所示,用螺絲釘將兩根小棒AD,BC的中點(diǎn)O固定,只要測(cè)得C,D之間的距離,就可知道內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度,此方案依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí)是

。

SAS3.學(xué)習(xí)了《三角形》后,王老師給同學(xué)們布置了一個(gè)任務(wù):請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案,測(cè)量出如圖所示的零件的厚度x(該零件厚度處處均勻),并說(shuō)明方案的可行性。解:找兩根長(zhǎng)度相等的木棒,在中點(diǎn)O處固定,按如圖所示的方法放置,測(cè)量CD和EF的長(zhǎng),即可求出x。全等三角形【例2】如圖所示,A,B兩建筑物位于河的兩岸,需想辦法測(cè)得它們之間的距離。請(qǐng)把你的設(shè)計(jì)畫在圖上并說(shuō)明理由。根據(jù)“ASA”或“AAS”構(gòu)造解:如圖所示,從B點(diǎn)出發(fā)沿河岸畫一條射線BF,在BF上截取BC=CD,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB,使E,C,A在同一直線上,則DE的長(zhǎng)就是A,B之間的距離。理由如下:因?yàn)镈E∥AB,所以∠CAB=∠CED。在△ABC和△EDC中,因?yàn)椤螩AB=∠CED,∠ACB=∠ECD,BC=DC,所以△ABC≌△EDC(AAS)。所以AB=ED。所以DE的長(zhǎng)就是A,B之間的距離。(1)數(shù)學(xué)方法:構(gòu)造全等三角形,把難以測(cè)量或無(wú)法測(cè)量的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為容易測(cè)量的;(2)解題步驟:①畫圖,構(gòu)造全等三角形;②說(shuō)明三角形全等;③得出結(jié)論。【新知鞏固】1.要得知某一池塘兩端A,B的距離,發(fā)現(xiàn)其無(wú)法直接測(cè)量,兩同學(xué)提供了如下間接測(cè)量方案。方案Ⅰ:如圖(1)所示,先過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AB,再在BF上取C,D兩點(diǎn),使BC=CD,接著過(guò)點(diǎn)D作BD的垂線DE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則測(cè)量DE的長(zhǎng)即可。方案Ⅱ:如圖(2)所示,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB,再由點(diǎn)D觀測(cè),用測(cè)角儀在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C,使∠BDC=∠BDA,則測(cè)量BC的長(zhǎng)即可。對(duì)于方案Ⅰ、Ⅱ,說(shuō)法正確的是()A.只有方案Ⅰ可行B.只有方案Ⅱ可行C.方案Ⅰ和Ⅱ都可行D.方案Ⅰ和Ⅱ都不可行C2.如圖所示,小明與小紅玩蹺蹺板游戲,如果蹺蹺板的支點(diǎn)O(即蹺蹺板的中點(diǎn))至地面的距離是50cm,當(dāng)小紅從水平位置CD下降30cm時(shí),小明離地面的高度是

cm。

803.小明利用一根長(zhǎng)3m的竿子來(lái)測(cè)量路燈的高度AB。他的方法如下:如圖所示,在路燈前選一點(diǎn)P,使BP=3m,并測(cè)得∠BPA=70°,然后把豎直的竿子CD(CD=3m)在BP的延長(zhǎng)線上左右移動(dòng),使∠CPD=20°,此時(shí)測(cè)得BD=11.2m。請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù),計(jì)算出路燈的高度AB。解:因?yàn)椤螩PD=20°,∠BPA=70°,∠CDP=90°,所以∠DCP=90°-∠CPD=90°-20°=70°。所以∠DCP=∠BPA=70°。在△CPD和△PAB中,因?yàn)椤螩DP=∠PBA,CD=PB,∠DCP=∠BPA,所以△