人教版2024·八年級上冊13.2.1三角形的邊

第十三章

三角形

學

習

目

標123探索并掌握三角形的三邊關系，能運用該關系判斷三條線段能否組成三角形，或已知兩邊求第三邊的取值范圍.通過實驗操作，理解三角形穩定性的原理，能解釋其在生活中的應用.在探究過程中，經歷觀察、猜想、驗證的數學活動，發展推理能力與幾何直觀，體會數學與生活的聯系.1.填空

如右圖：線段

，

，

是三角形的邊；

點

，

，

是三角形的頂點；

，

，

是三角形的角.ABCabcABBCCAABC∠A∠B∠C復習引入

路線1：從點B到點A，再從點A到點C，長度：BA+AC.

路線2：從點B直接到點C，長度：BC.BA+AC和BC的大小關系如何？

任意畫一個△ABC，從點B出發，沿三角形的邊到點C，有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關系？能證明你的結論嗎？

在從點B到點C的線路中，由點B先到點A再到點C的線路，比由點B直接到點C的線路長，即BA+AC＞BC.從B到A呢？有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關系？ACB新知探究ACB

這利用了在小學我們學過的“三角形兩邊的和大于第三邊”的結論.你能推理證明嗎？

證明：

對于任意一個△ABC，如果把其中任意兩個頂點(例如B，C)看成定點，由“兩點之間，線段最短”，可得

AB+AC＞BC

①

同理可得，

AC+BC＞AB②AB+BC＞AC③你能得出什么結論呢？

結論：三角形兩邊的和大于第三邊.新知探究

思考：對不等式②③進行移項，你還能得出什么結論？

AC+BC＞AB②AB+BC＞AC③BC＞AB-AC

BC＞AC-AB

你又能得出什么結論呢？

結論：三角形兩邊的差小于第三邊.ACB

總結：

第三邊取值范圍：_________＜第三邊＜_________.兩邊之差兩邊之和新知探究

思考：上面的結論表明了三角形三邊之間的關系.反過來，對于三條線段，當它們滿足什么條件時，這三條線段能組成三角形?

一般地，如果三條線段中任意兩條線段的和大于第三條線段，那么這三條線段能組成三角形;如果三條線段中有兩條線段的和小于或等于第三條線段，那么這三條線段不能組成三角形.新知探究

分析：(1)6+9＞3，9-6=3；6+3=9，6-3＜9；3+9＞6，9-3=6.

不能組成三角形.1.下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？

(1)6cm、9cm、3cm；

(2)4cm、5cm、3cm.(2)4+5＞3，5-4＜3；5+3＞4，5-3＜4；4+3＞5，4-3＜5.

能組成三角形.小試牛刀

例

用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形.(1)如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少?(2)能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎?為什么?

分析：(1)主要考查等腰三角形兩條腰相等.

解：(1)設底邊長為xcm,則腰長為2xcm，則

x+2x+2x=18.

解得x=3.6.

所以，三角形三邊的長分別為3.6cm,7.2cm,7.2cm.典例精析

例

用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形.(1)如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少?(2)能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎?為什么?

分析：(2)邊長是4cm的這條邊有可能是底邊，也有可能是腰，所以，需要分情況討論.

解：(2)①如果4cm長的邊為底邊，設腰長為xcm,則4+2x=18.

解得x=7.典例精析

例

用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形.(1)如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少?(2)能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎?為什么?

解：(2)②如果4cm長的邊為腰，設底邊長為ycm,則2×4+y=18.

解得y=10.

因為4+4＜10,不符合“三角形兩邊的和大于第三邊”,所以不能圍成腰

長是4cm的等腰三角形.

由以上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形.這里運用了數學中的什么思想？分類討論典例精析

在日常生活中，三角形的形狀隨處可見，并且工程建筑中經常采用三角形的結構，如圖的屋頂鋼架結構等，其中的道理是什么?

探究

如圖，將三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？不會你能得到什么性質呢？

可以發現，三角形木架的形狀不會改變，這就是說，三角形是具有穩定性的圖形.新知探究

三角形的穩定性有著廣泛的應用，下圖表示其中一些例子.你能再舉一些例子嗎?新知探究1.下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cmD．4cm，5cm，6cm2.用一根小木棒與兩根長度分別為3cm、5cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以是（）A．9cmB．7cm

C．2cm

D．1cmBD分析：1.考查三角形的三邊關系.2.考查三角形第三邊的取值范圍.隨堂檢測3.若一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則第三邊的長可能是()A．2B．4C．6D．2或4B分析：考查等腰三角形的概念及三角形的三邊關系.隨堂檢測4.在日常生活中，我們通常采用如圖的方法（斜釘上一塊木條）來修理一張搖晃的椅子，請用數學知識說明這樣做的依據是：

．三角形具有穩定性隨堂檢測5.有長為9cm，6cm，4cm，3cm的四根木條，選其中三根組成三角形，則選擇方法有()A．1種B．2種C．3種D．4種分析：分情況討論，

①6cm，4cm，3cm

②9cm，4cm，3cm

③9cm，6cm，3cm

④9cm，6cm，4cmB隨堂檢測1.已知三角形兩邊的長分別為7和4，第三邊的長是整數，這個三角形周長的最小值是______.15分析：先求出第三邊的取值范圍，根據兩邊之差＜第三邊＜兩邊之和，可得，3＜第三邊＜11.∵第三邊的長是整數,∴第三邊的長可以為：4、5、6、7、8、9、10.∵三角形的周長最小,∴第三邊取最小值4.拓展提升1.三角形三邊的關系：三角形兩邊的和_____第三邊.三角形兩邊的差_____第三邊.第三邊取值范圍：_________＜第三邊＜_________.2.三角形具有

.小于兩邊之差兩邊之和大于穩定性課堂小結1.如圖，要使五邊形木架不變形，需要再釘上木條的根數至少為（

）A.1B.2C.3D.6B分析：如圖，構成三角形，利用三角的穩定性.課后作業2.若三角形的兩邊長分別是3和8，第三邊長為奇數，求第三邊的長.解：設第三邊長為x，根據三角形的三邊關系，可得8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11．又因為x為奇數，所以x=7或9，即第三邊的長為7或9.課后作業1.已知a、b、c為三角形的三邊長，化簡：|b+c-a|+|b