圓周運動考點精講知識點1：圓周運動一、圓周運動及線速度1．圓周運動的概念運動軌跡為圓周或一段圓弧的機械運動，稱為圓周運動。圓周運動為曲線運動，故一定是變速運動。2．線速度（1）定義：做圓周運動的物體，通過的弧長與所用時間的比值叫作線速度的大小。用v表示。（2）表達式：v＝eq\f(Δs,Δt)，單位為米/秒，符號是m/s。（3）方向：線速度是矢量，物體經過圓周上某點時的線速度方向就是圓周上該點的切線方向。（4）物理意義：線速度是描述物體做圓周運動快慢的物理量，當Δt很小時，其物理意義與瞬時速度相同。（5）勻速圓周運動：如果物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等，這種運動叫作勻速圓周運動。二、角速度1．定義：如圖所示，物體在Δt時間內由A運動到B。半徑OA在這段時間內轉過的角Δθ與所用時間Δt之比叫作角速度，用符號ω表示。2．表達式：ω＝eq\f(Δθ,Δt)。3．國際單位：弧度每秒，符號rad/s。在國際單位制中角的度量單位為“弧度”，在利用公式ω＝eq\f(Δθ,Δt)計算角速度時，Δθ的單位是“弧度”。360°＝2π弧度。4．物理意義：角速度是描述物體繞圓心轉動快慢的物理量。5．勻速圓周運動是角速度不變的圓周運動。三、周期1．周期：做勻速圓周運動的物體，運動一周所用的時間叫作周期，用T表示，單位為秒(s)。2．轉速：物體轉動的圈數與所用時間之比，叫作轉速。通常用符號n表示，單位為轉每秒(r/s)或轉每分(r/min)。3．物理意義：描述物體做圓周運動的快慢。四、線速度與角速度的關系1．兩者關系：在圓周運動中，線速度大小等于角速度的大小與半徑的乘積。2．表達式：v＝ωr。知識點2：向心力一、向心力1．定義做勻速圓周運動的物體所受的合力總指向圓心，這個指向圓心的力叫作向心力。2．方向向心力的方向始終沿半徑指向圓心。（1）向心力的方向時刻在變，向心力是變力。（2）向心力只改變線速度的方向，不改變線速度的大小。3．公式：Fn＝mω2r或者Fn＝meq\f(v2,r)。4．效果力向心力是根據力的作用效果來命名的，凡是由某個力或者幾個力的合力提供的物體做勻速圓周運動的力，不管屬于哪種性質，都是向心力。二、變速圓周運動和一般曲線運動的受力特點1．變速圓周運動的合力變速圓周運動所受合外力并不嚴格指向運動軌跡的圓心。合外力一般產生兩個方面的效果：（1）合外力F跟圓周相切的分力Ft，此分力與物體運動的速度在一條直線上，改變線速度的大小。（2）合外力F指向圓心的分力Fn，此分力提供物體做圓周運動所需的向心力，改變物體速度的方向。2．一般曲線運動（1）曲線運動：運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動，稱為一般的曲線運動，如圖所示。（2）處理方法：將曲線分割成為許多很短的小段，這樣，質點在每一小段的運動都可以看作圓周運動的一部分。知識點3：向心加速度勻速圓周運動的加速度方向和大小1．向心加速度定義：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向圓心，我們把它叫作向心加速度。2．向心加速度方向：總沿半徑指向圓心，并且與線速度方向垂直。3．向心加速度的物理意義：描述線速度方向改變快慢的物理量。4．向心加速度的大?。海?）基本公式an＝eq\f(v2,r)＝ω2r。（2）拓展公式an＝eq\f(4π2,T2)·r＝ωv。知識點4：生活中的圓周運動一、火車轉彎1．火車在彎道上的運動特點火車在彎道上運動時實際上在做圓周運動，因而具有向心加速度，由于其質量巨大，需要很大的向心力。2．火車轉彎時向心力的來源分析（1）若轉彎時內外軌一樣高，火車轉彎時，外側車輪的輪緣擠壓外軌，火車的向心力由外軌對車輪輪緣的彈力提供(如圖所示)，由于火車的質量很大，轉彎所需的向心力很大，鐵軌和車輪極易受損。（2）若轉彎時外軌略高于內軌，根據轉彎處軌道的半徑和規定的行駛速度，適當調整內外軌的高度差，使轉彎時所需的向心力，由重力mg和支持力FN的合力提供，從而減輕外軌與輪緣的擠壓，如圖所示。二、汽車過拱形橋汽車過拱形橋汽車過凹形橋受力分析向心力Fn＝mg－FN＝meq\f(v2,r)Fn＝FN－mg＝meq\f(v2,r)對橋的壓力FN′＝mg－meq\f(v2,r)FN′＝mg＋meq\f(v2,r)結論汽車對橋的壓力小于汽車的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越小汽車對橋的壓力大于汽車的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越大三、航天器中的失重現象1．向心力分析：宇航員受到的地球引力與飛船座艙對他的支持力的合力為他提供向心力。mg－FN＝meq\f(v2,R)。2．失重狀態：當v＝eq\r(gR)時，座艙對宇航員的支持力為零，宇航員處于完全失重狀態。四、離心運動1．定義：物體沿切線方向飛出或做逐漸遠離圓心的運動。2．原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需向心力。1．如圖所示，B和C是一組塔輪，即B和C半徑不同，但固定在同一轉動軸上，其半徑之比為RB:RC=3:2，A輪的半徑大小與C輪相同，它與B輪緊靠在一起，當A輪繞過其中心的豎直軸轉動時，由于摩擦作用，B輪也隨之無相對滑動地轉動起來。a、b、c分別為三輪邊緣的三個點，則a、b、c三點在運動過程中的（）A．線速度大小之比為3:3:2 B．角速度之比為3:3:2C．轉速之比為2:3:2 D．周期之比為2:3:2【答案】A故選A。2．如圖所示，放在地球表面上的兩個物體甲和乙，甲放在南沙群島（赤道附近），乙放在北京。它們隨地球自轉做勻速圓周運動，下列說法正確的是（）A．甲的角速度小于乙的角速度B．甲的線速度大于乙的線速度C．甲的周期大于乙的周期D．甲的向心加速度等于乙的向心加速度【答案】BA．周期之比為 B．角速度之比為C．線速度之比為 D．向心加速度之比為【答案】D4．[多選]下列敘述中正確的是()A．離心運動是由于合力不足以提供向心力而引起的B．離心運動的軌跡一定是直線C．洗衣機的脫水筒是利用離心運動把濕衣服甩干的D．汽車轉彎時速度過大，會因離心運動造成交通事故【答案】ACD【解析】物體做離心運動的軌跡并不一定是直線。當做勻速圓周運動的物體受到的合力突然消失時，將做勻速直線運動；當物體受到的合力不為零但不足以提供向心力時，其運動軌跡是曲線，故B錯誤。5．[多選]乘坐游樂園中的翻滾過山車時，質量為m的人隨車一起在豎直面內旋轉，則()A．人在最高點時對座位仍可能產生壓力，但是壓力可能小于mgB．車在最高點時人處于倒立狀態，全靠保險帶拉住，沒有保險帶人就會掉下來C．人在最低點時對座位的壓力大于mgD．人在最低點時對座位的壓力等于mg【答案】AC【解析】若在最高點時人與座位間恰好沒有作用力，由重力提供向心力，臨界速度為v0＝eq\r(gr)，則當人在最高點的速度v＞eq\r(gr)時，人對座位就會產生壓力，當速度v<eq\r(2gr)時，壓力F＜mg，當速度v≥eq\r(gr)時，沒有保險帶，人也不會掉下來，故A正確，B錯誤；人在最低點時，加速度方向豎直向上，人處于超重狀態，人對座位的壓力大于mg，故C正確，D錯誤。6．[多選]用細繩拴著質量為m的小球，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，如圖所示。則下列說法正確的是()A．小球通過最高點時，繩子張力可以為0B．小球通過最高點時的最小速度是0C．小球剛好通過最高點時的速度是eq\r(gR)D．小球通過最高點時，繩子對小球的作用力可以與球所受重力方向相反【答案】AC【解析】設小球通過最高點時的速度為v。由合力提供向心力及牛頓第二定律得mg＋FT＝meq\f(v2,R)。當FT＝0時，v＝eq\r(gR)，故A正確；當v＜eq\r(gR)時，FT＜0，而繩子只能產生拉力，不能產生與重力方向相反的支持力，故B、D錯誤；當v>eq\r(gR)時，FT＞0，小球能沿圓弧通過最高點，可見，v≥eq\r(gR)是小球能沿圓弧通過最高點的條件，故C正確。7．[多選]如圖所示，A、B兩個小球質量相等，用一根輕繩相連，另有一根輕繩的兩端分別連接O點和小球B，讓兩個小球繞O點在光滑水平桌面上以相同的角速度做勻速圓周運動，若OB繩上的拉力大小為F1，AB繩上的拉力大小為F2，OB＝AB，則()A．A球的向心力為F1，B球的向心力為F2B．A球的向心力為F2，B球的向心力為F1C．A球的向心力為F2，B球的向心力為F1－F2D．F1∶F2＝3∶2【答案】CD【解析】小球在光滑水平桌面上做勻速圓周運動，設角速度為ω，在豎直方向上所受重力與桌面支持力平衡，水平方向不受摩擦力，繩子的拉力提供向心力。由牛頓第二定律，對A球有F2＝mr2ω2，對B球有F1－F2＝mr1ω2，已知r2＝2r1，各式聯立解得F1＝eq\f(3,2)F2，故C、D正確。8．[多選]如圖所示，兩個質量均為m的小木塊a和b(可視為質點)放在水平圓盤上，a與轉軸OO′的距離為l，b與轉軸的距離為2l，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是()A．b一定比a先開始滑動B．a、b所受的摩擦力始終相等C．ω＝eq\r(\f(kg,2l))是b開始滑動的臨界角速度D．當ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時，a所受摩擦力的大小為kmg【答案】AC【解析】小木塊a、b做勻速圓周運動時，由靜摩擦力提供向心力，即f＝mω2R。當角速度增加時，靜摩擦力增大，當增大到最大靜摩擦力時，發生相對滑動，對木塊a：fa＝mωa2l，當fa＝kmg時，kmg＝mωa2l，ωa＝eq\r(\f(kg,l))；對木塊b：fb＝mωb2·2l，當fb＝kmg時，kmg＝mωb2·2l，ωb＝eq\r(\f(kg,2l))，所以b先達到最大靜摩擦力，即b先開始滑動，選項A正確。兩木塊滑動前轉動的角速度相同，則fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa＜fb，選項B錯誤。當ω＝eq\r(\f(kg,2l))時b剛要開始滑動，選項C正確。當ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時，a沒有滑動，則fa＝mω2l＝eq\f(2,3)kmg，選項D錯誤。專題專題精講專題一：圓周運動的動力學問題1．分析物體的運動情況，明確圓周軌道在怎樣的一個平面內，確定圓心在何處，半徑是多大。2．分析物體的受力情況，弄清向心力的來源，跟運用牛頓第二定律解直線運動問題一樣，解圓周運動問題，也要先選擇研究對象，然后進行受力分析，畫出受力示意圖。3．由牛頓第二定律F＝ma列方程求解相應問題，其中F是指向圓心方向的合外力(向心力)，a是向心加速度，即eq\f(v2,r)或ω2r或用周期T來表示的形式?！纠?】如圖所示，一質量為的小球用長度均為兩輕繩、連接，繩的另一端固定在豎直細桿的點，繩的另一端固定在桿上距點為的點。當桿繞其豎直中心軸勻速轉動時，將帶動小球在水平面內做勻速圓周運動。不計空氣阻力，重力加速度為。（1）當繩剛好拉直（無彈力）時，求小球的線速度大小；【詳解】（1）圓周運動的半徑小球的合力提供向心力解得（2）豎直方向水平方向當小球做圓周運動的周期減小時，繩先達到最大拉力解得【例2】如圖所示是離心試驗器的原理圖，測試人的抗荷能力。被測者坐在椅子上隨平臺做勻速圓周運動，已知人的質量為m，圖中的直線AB的長度為L，與豎直方向成30°角，AC的長度為r，求：（1）向心加速度和角速度；（2）人對椅子的壓力?！驹斀狻浚?）以人為研究對象，因為人做勻速圓周運動，所以人所受重力和支持力的合力提供向心力，如圖所示由圖可知，向心力為再由牛頓第二定律可得解得根據聯立兩式并代入數據解得（2）以人為研究對象，因為人做勻速圓周運動，所以人所受重力和支持力的合力提供向心力，如圖所示由圖可知當分析向心力來源時采用正交分解法，坐標原點就是做圓周運動的物體，有一個坐標軸的正方向沿著半徑指向圓心。1．（多選）如圖所示，兩根長度相同的細線分別系有兩個完全相同的小球，細線的上端都系于O點，設法讓兩個小球在不同的水平面上做勻速圓周運動。已知L1跟豎直方向的夾角為60°，L2跟豎直方向的夾角為30°，下列說法正確的是（）A．細線L1和細線L2所受的拉力大小之比為∶1B．小球m1和m2的角速度大小之比為∶1C．小球m1和m2的向心力大小之比為3∶1D．小球m1和m2的線速度大小之比為3∶1【答案】AC【詳解】A．對任一小球進行研究，設細線與豎直方向的夾角為θ，豎直方向受力平衡，則FTcosθ=mg解得所以細線L1和細線L2所受的拉力大小之比為選項A正確；B．小球所受合力的大小為mgtanθ，根據牛頓第二定律得mgtanθ=mLω2sinθ得故兩小球的角速度大小之比為選項B錯誤；C．小球所受合力提供向心力，則向心力為Fn=mgtanθ小球m1和m2的向心力大小之比為選項C正確；D．兩小球角速度大小之比為∶1，由v=ωr故選AC。2．（多選）如圖所示，輕桿長為3L，在桿的A、B兩端分別固定質量均為m的球A和球B，桿上距球A為L處的點O裝在光滑水平轉動軸上，桿和球在豎直面內做勻速圓周運動，且桿對球A、B的最大約束力相同，則()A．B球在最低點較A球在最低點更易脫離軌道B．若B球在最低點和桿作用力為3mg，則A球在最高點受桿的拉力C．若某一周A球在最高點和B球在最高點受桿的力大小相等，則A球受桿的支持力、B球受桿的拉力D．若每一周做勻速圓周運動的角速度都增大、則同一周B球在最高點受桿的力一定大于A球在最高點受桿的力【答案】AC故選AC。4．如圖所示，一條輕繩長為L＝0.2m，一端連接一個質量m＝2kg的小球，另一端連接一個質量M＝1kg的滑塊。滑塊套在豎直桿上，它與豎直桿間的動摩擦因數為μ，現在讓小球繞豎直桿在水平面做勻速圓周運動，繩子與桿的夾角θ＝60°，滑塊恰好不下滑，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小g取10m/s。求：（1）小球轉動的角速度ω的大??；（2）滑塊與豎直桿間的動摩擦因數μ。【解析】（1）小球在水平面內做勻速圓周運動，輕繩的拉力和小球的重力的合力提供向心力，根據幾何關系可得小球做圓周運動的半徑R＝Lsinθ根據牛頓第二定律有mgtanθ＝mω2R解得ω＝10rad/s。（2）對小球，在豎直方向有Tcosθ＝mg對滑塊，在水平方向有Tsinθ＝N在豎直方向有μN＝Mg＋Tcosθ解得μ＝eq\f(\r(3),2)。5．如圖所示，用一根長為l＝1m的細線，一端系一質量為m＝1kg的小球（可視為質點），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為FT（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，結果可用根式表示）。求：（1）若要小球離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？（2）若細線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？【詳解】（1）若要小球剛好離開錐面，則小球受到重力和細線拉力如圖所示小球做勻速圓周運動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向運用牛頓第二定律及向心力公式得解得（2）當細線與豎直方向成60°角時，由牛頓第二定律及向心力公式有解得專題2：曲線運動綜合問題分析圓周運動和平拋運動是兩種典型的曲線運動，圓周運動與平拋運動結合的綜合問題，是考試的重點，也是難點，此類問題主要是水平面內的圓周運動與平拋運動的綜合或豎直面內的圓周運動與平拋運動的綜合考查。（1）水平面內的圓周運動與平拋運動的綜合問題此類問題往往先在水平面內做勻速圓周運動，后做平拋運動。首先明確水平面內勻速圓周運動的向心力來源，根據牛頓第二定律和向心力公式列式，平拋運動一般沿水平方向和豎直方向分解速度或位移，速度是聯系前后兩個過程的關鍵物理量，前一個過程的末速度是后一個過程的初速度。（2）豎直面內圓周運動與平拋運動的綜合問題此類問題有時物體先做豎直面內的變速圓周運動，后做平拋運動，有時物體先做平拋運動，后做豎直面內的變速圓周運動。豎直面內的圓周運動首先要明確是“輕桿模型”還是“輕繩模型”，然后分析物體能夠通過圓周最高點的臨界條件。速度也是聯系前后兩個過程的關鍵物理量?！纠?】(多選)如圖所示，一個固定在豎直平面上的光滑半圓形管道，管道里有一個直徑略小于管道內徑的小球，小球在管道內做圓周運動，從B點脫離后做平拋運動，經過0.3s后又恰好垂直與傾角為45°的斜面相碰。已知半圓形管道的半徑R＝1m，小球可看成質點且其質量為m＝1kg，g取10m/s2。則()A．小球在斜面上的相碰點C與B點的水平距離是0.9mB．小球在斜面上的相碰點C與B點的水平距離是1.9mC．小球經過管道的B點時，受到管道的作用力FNB的大小是1ND．小球經過管道的B點時，受到管道的作用力FNB的大小是2N【答案】AC【分析】小球恰好垂直與傾角為45°的斜面相碰，說明小球在C點豎直方向的分速度和水平分速度相等，代入公式即可；小球經過圓弧軌道的B點時做圓周運動，所受軌道作用力與重力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式可求得小球受管道的作用力?！窘馕觥扛鶕綊佭\動的規律和運動的合成可知tan45°＝eq\f(vy,vx)，則小球在C點豎直方向的分速度和水平方向分速度大小相等，即vx＝vy＝gt＝3m/s，則B點與C點的水平距離為x＝vxt＝3×0.3＝0.9m，A正確，B錯誤；小球在B點的速度為3m/s，根據牛頓第二定律，在B點，設軌道對小球的作用力方向向下，FNB＋mg＝meq\f(v\o\al(2,B),R)，代入解得FNB＝－1N，負號表示軌道對小球的作用力方向向上，C正確，D錯誤?！纠?】一個人用一根長1m，只能承受35N拉力的繩子，拴著一個質量為1kg的小球，在豎直面內做圓周運動，已知轉軸O離