第六講:萬有引力及應用一、開普勒三定律1．內容定律內容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上例題、下列關于行星繞太陽運動的說法中正確的是例題、下列關于行星繞太陽運動的說法中正確的是()A．所有行星都在同一橢圓軌道上繞太陽運動B．離太陽越近的行星運動周期越短C．行星在橢圓軌道上繞太陽運動的過程中，其速度與行星和太陽之間的距離有關，距離小時速度小，距離大時速度大D．行星繞太陽運動時，太陽位于行星軌道的中心處答案B開普勒第二定律(面積定律)對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一個與行星無關的常量2．理解(1)．行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理．(2)．開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動．例題、如圖所示，兩球間的距離為r0，兩球的質量分布均勻，質量分別為m1、m2，半徑分別為r1、r2，則兩球間的萬有引力大小為()A.eq\f(Gm例題、如圖所示，兩球間的距離為r0，兩球的質量分布均勻，質量分別為m1、m2，半徑分別為r1、r2，則兩球間的萬有引力大小為()A.eq\f(Gm1m2,r02)B.eq\f(Gm1m2,r12)C.eq\f(Gm1m2,r1＋r22)D.eq\f(Gm1m2,r1＋r2＋r02)答案D二、萬有引力定律1、表達式：F＝Geq\f(m1m2,r2)2、適用條件(1)公式適用于質點間的相互作用．當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點．(2)質量分布均勻的球體可視為質點，r是兩球心間的距離．例題、萬有引力定律能夠很好地將天體運行規律與地球上物體運動規律具有的內在一致性統一起來.用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的質量為m例題、萬有引力定律能夠很好地將天體運行規律與地球上物體運動規律具有的內在一致性統一起來.用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的質量為m的小物體的重力，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果.已知地球質量為M，引力常量為G.將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體.下列說法正確的是()A.在北極地面稱量時，彈簧測力計讀數為F0＝Geq\f(Mm,R2)B.在赤道地面稱量時，彈簧測力計讀數為F1＝Geq\f(Mm,R2)C.在北極上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數為F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D.在赤道上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數為F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)答案AC1、考慮天體自轉地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力F向．(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg＋mω2R.(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg.(3)在一般位置：萬有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和．2、不考慮天體自轉由于物體隨地球自轉角速度較小，所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg.3、星體表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉)：mg＝Geq\f(mM,R2)，得g＝eq\f(GM,R2).(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2)例題、美國的“例題、美國的“洞察”號火星探測器曾在2018年11月降落到火星表面．假設該探測器在著陸火星前貼近火星表面運行一周用時為T，已知火星的半徑為R1，地球的半徑為R2，地球的質量為M，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，則火星的質量為()eq\f(4π2R\o\al(13,)M,gR\o\al(22,)T2)B.eq\f(gR\o\al(22,)T2M,4π2R\o\al(13,))C.eq\f(gR\o\al(12,),G)D.eq\f(gR\o\al(22,),G)答案A答案BD1．萬有引力等于重力已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R.(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質量M＝eq\f(gR2,G).(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).2．萬有引力充當向心力測出衛星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T.(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2).(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).(3)若衛星繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2).故只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．針對訓練題型1：開普勒定律1．火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據開普勒行星運動定律可知（）A．太陽位于木星運行軌道的中心 B．火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等 C．火星與木星公轉周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方 D．相同時間內，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積【解答】解：A、第一定律的內容為：所有行星分別沿不同大小的橢圓軌道繞太陽運動，太陽處于橢圓的一個焦點上。故A錯誤；B、第二定律：對每一個行星而言，太陽行星的連線在相同時間內掃過的面積相等。行星在此橢圓軌道上運動的速度大小不斷變化，故B錯誤；C、若行星的公轉周期為T，則常量K與行星無關，與中心體有關，故C正確；D、第二定律：對每一個行星而言，太陽行星的連線在相同時間內掃過的面積相等，是對同一個行星而言，故D錯誤；故選：C。2．飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動，其周期為T．如果飛船要返回地面，可在軌道上的某一點A處，將速率降低到適當數值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運動，橢圓和地球表面在B點相切，如圖所示，如果地球半徑為R0，求飛船由A點到B點所需的時間．【解答】解：根據題意得橢圓軌道的半長軸r＝．根據開普勒第三定律得，＝，因為r＝，解得T′＝T．則飛船由A點到B點的運動時間t＝＝T．答：飛船由A點到B點所需的時間是T．題型2：萬有引力理解3．下列關于萬有引力的說法正確的是（）A．萬有引力是普遍存在于宇宙空間中所有具有質量的物體之間的相互作用 B．重力和引力是兩種不同性質的力 C．當兩物體間有另一質量不可忽略的物體存在時，則這兩個物體間萬有引力將增大 D．當兩個物體間距為零時，萬有引力將無窮大【解答】解：A、萬有引力是普遍存在于宇宙空間中所有具有質量的物體之間的相互作用，具有普遍性，故A正確；B、重力源自于萬有引力，是同種性質的力，故B錯誤；C、根據萬有引力定律，兩個質點間的萬有引力的大小與它們質量的乘積成正比，與其余物體無關，故C錯誤；D、當兩個物體間距為零時，兩個物體不能簡化為質點，萬有引力定律不再適用，故D錯誤。故選：A。4．有一質量為M半徑為R的密度均勻球體，在距離球心O為2R的地方有一質量為m的質點，現在從M中挖去一半徑為的球體，如圖所示，（1）求剩下部分對m的萬有引力F為多大？（2）若挖去的小球中填滿原來球的密度的2倍的物質，則質點m所受到的萬有引力為多大？【解答】解：（1）沒挖去前，球體對質點m的萬有引力，根據m＝，可知挖去部分的質量是球體質量的，則挖去部分對質點m的引力＝，則剩下部分對m的萬有引力F＝。（2）若挖去的小球中填滿原來球的密度的2倍的物質，該物質的質量為，則該物質對質點m的萬有引力，所以質點所受的萬有引力＝。答：（1）剩下部分對m的萬有引力F為；（2）質點m所受到的萬有引力為。題型3：萬有引力與重力的關系5．某行星的自轉周期T＝6h，用彈簧測力計在該行星的“赤道”和“兩極”處測同一物體的重力，彈簧測力計在赤道上的讀數比在兩極上的讀數小10%（行星視為球體）。（1）求行星的平均密度；（2）設想該行星自轉角速度加快到某一值時，在“赤道”上的物體會“飄”起來，求此時的自轉周期。【解答】解：（1）放在行星兩極處的物體，其萬有引力等于重力，即G＝mg赤道上的物體萬有引力提供了其向心力及重力，即在赤道上，我們把物體所受到的萬有引力分解為自轉所需的向心力和重力G＝mg'+mR則mg﹣mg'＝0.1G＝mR所以該行星的質量M＝行星的密度ρ＝＝代入數據解得ρ≈3.0×103kg/m3。（2）對物體原來有0.1G＝mR，當物體“飄”起來時有G＝mR，聯立解得T1＝T＝×6h≈1.9h。答：（1）行星的平均密度是3.0×103kg/m3。（2）此時的自轉周期是1.9h。6．地球的半徑為R，地球表面處物體所受的重力為mg，近似等于物體所受的萬有引力，關于物體在下列位置所受萬有引力大小的說法中，正確的是（）A．離地面高度R處為4mg B．離地面高度R處為 C．離地面高度2R處為 D．離地面高度處為4mg【解答】解：AB、由于近似等于物體所受的萬有引力，得：＝mg則當物體離地面高度R時的萬有引力：F引＝＝，故AB錯誤。C、離地面高度2R時的萬有引力：F引＝＝，故C正確。D、離地面高度R時的萬有引力：F引＝＝，故D錯誤。故選：C。7．如圖所示，火箭內平臺上放有測試儀，火箭從地面啟動后，以加速度豎直向上勻加速運動，升到某一高度時，測試儀對平臺的壓力為啟動前壓力的．已知地球半徑為R，g為地面附近的重力加速度．求火箭此時離地面的高度h．【解答】解：由牛頓第二定律可知：mg﹣mg′＝m解得：mg′＝mg﹣mg＝mg；根據萬有引力提供向心力：＝mg′；在地球表面的物體受到的重力等于萬有引力：G＝mg；聯立解得：h＝R答：火箭此時離地面的高度為R．題型4：萬有引力定律應用8．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面處的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，則該星球的質量將是地球質量的（）A．倍 B．4倍 C．16倍 D．64倍【解答】解：根據萬有引力等于重力，列出等式：＝mgg＝，其中M是地球的質量，r應該是物體在某位置到球心的距離。根據密度與質量關系得：M＝ρ?πR3，星球的密度跟地球密度相同，＝＝＝4＝＝64故選：D。9．宇航員在地球表面某一高度以一定初速度水平拋出一小球，經過時間t，小球落至地面；若他在某星球表面以相同高度和初速度水平拋出同一小球，需經過時間5t，小球落至星球表面．（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空氣阻力不計）（1）求該星球表面附近的重力加速度g′；（2）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星：R地＝1：4，求該星球的質量與地球質量之比M星：M地．【解答】解：（1）由h＝得，g＝．h相同，則g與t2成反比，則解得g′＝0.4m/s2．（2）地球表面有，解得M＝星球的半徑與地球半徑之比為R星：R地＝1：4，則星球的質量與地球質量之比M星：M地＝1：400．答：（1）該星球表面附近的重力加速度為0.4m/s2．（2）星球的質量與地球質量之比為1：400．10．假設“天問一號”繞火星做勻速圓周運動，若其線速度的平方與軌道半徑倒數的圖象如圖中實線，該直線斜率為k，已知萬有引力常量為G，r0火星的半徑，