專題16分解與合成模型和最短路徑問題【方法技巧與總結】分解與合成策略是復雜的排列組合問題最基本的解題策略之一，把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決，然后依據問題分解后的結構，用分類計數原理和分步計數原理將問題合成，從而得到問題的答案．【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復，只要有一個方格不同即為不同走法．現有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】如圖，①從入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②從入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③從入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④從入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤從入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥從入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦從入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧從入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8種，故選：B．例2．（2023·全國·高三專題練習）夏老師從家到學校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設夏老師家在處，學校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【答案】D故選：D.例3．（2023秋·廣東惠州·高三校考期末）如圖，某城市的街區由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．23條 B．24條 C．25條 D．26條【答案】D【解析】先假設是實線，故選：D例4．（2023·全國·高三專題練習）方形是中國古代城市建筑最基本的形態，它體現的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會生活規則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構造一個大正方體（由個大小相同的小正方體構成），若一只螞蟻從點出發，沿著竹棍到達點，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【解析】由題意可知，從到最少需要步完成，其中有步是橫向的，步是縱向的，步是豎向的，故選：D.例5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，某城市的街區由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．20條 B．21條 C．22條 D．23條【答案】D故選:D例6．（2023春·陜西延安·高二校考期末）某小區的道路網如圖所示，則由A到C的最短路徑中，經過B的走法有（

）A．6種 B．8種C．9種 D．10種【答案】C故選：C.【答案】B故選：B例8．（2023春·江蘇揚州·高二統考期中）如圖，在某城市中，?兩地之間有整齊的方格形道路網，其中、、、、是道路網中的個指定交匯處.今在道路網?處的甲?乙兩人分別要到?處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發直到到達?處為止.則下列說法正確的是（

）A．甲從到達處的方法有種B．甲從必須經過到達處的方法有種C．甲、乙兩人在處相遇的概率為D．甲、乙兩人在道路網中個指定交匯處相遇的概率為【答案】D故選：D.例9．（2023·高二課時練習）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復，則不同的參觀路線共有（

）A．6種 B．8種C．36種 D．48種【答案】D【解析】如圖所示，由題意知在A點可先參觀區域1，也可先參觀區域2或3，選定一個區域后可以按逆時針參觀，也可以按順時針參觀，所以第一步可以從6個路口任選一個，有6種結果，參觀完第一個區域后，選擇下一步走法，有4種結果，參觀完第二個區域，只剩下最后一個區域，有2種走法，根據分步乘法計數原理，共有6×4×2＝48(種)不同的參觀路線．故選：D例10．（2023春·廣東惠州·高二校考期中）下圖是某項工程的網絡圖(單位:天)，則從開始節點①到終止節點⑧的路徑共有（）A．14條 B．12條 C．9條 D．7條【答案】B故選：B例11．（2023·高二單元測試）如圖為某旅游區各景點的分布圖,圖中一條帶箭頭的線段表示一段有方向的路,試計算順著箭頭方向,從A到H不同的旅游路線的條數,這個數是()A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【解析】如果一條一條地去數,由于道路錯綜復雜,哪些已經算過,哪些沒有算過就搞不清楚了,所以我們換一種思路,用分析法試試.要到H點,需從F,E,G點走過來,F,E,G各點又可由哪些點走過來……這樣一步步倒推,最后歸結到A點,然后再反推過去得到如下的計算法:A到B,C,D的路線條數記在B,C,D圓圈內,B,C,D分別到F,E,G的路線條數亦記在F,E,G圓圈內,最后F,E,G內的路線條數之和即為從A到H的路線的總條數,如下圖所示.故答案為C.A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得從到需要走格，向上、向右分別走格，乙只能在對角線下方（包括）走，所以，乙的走法的所有可能情況為：故選：C.A．31條 B．36條 C．210條 D．315條【答案】CD綜上，王經理可以選擇的最近不同路線共有210條或315條.故選：CD.A．他從處到達處有12種走法B．他從處到達處有35種走法C．他從處經過處到達處有18種走法D．他從處經過處到達處有30種走法【答案】BC【解析】對于AB選項：對于CD選項：到有種走法，到有種走法故選：BC例15．（多選題）（2023春·湖北十堰·高二丹江口市第一中學校考階段練習）在某城市中，A，B兩地之間有如圖所示的道路網．甲隨機沿路網選擇一條最短路徑，從A地出發去往B地．下列結論正確的有（

）A．不同的路徑共有31條B．不同的路徑共有61條C．若甲途經C地，則不同的路徑共有18條D．若甲途經C地，且不經過D地，則不同的路徑共有9條【答案】ACD故選：ACD．例16．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中，，，是道路網中位于一條對角線上的4個交匯處.今在道路網M，N處的甲?乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達N，M處為止，則下列說法正確的有（

）A．甲從M到達N處的走法種數為120B．甲從M必須經過到達N處的走法種數為9C．甲，兩人能在處相遇的走法種數為36D．甲，乙兩人能相遇的走法種數為164【答案】BD故選：BD.A．甲從M到達N處的走法有70種B．甲從M必須經過到達N處的走法有12種C．若甲、乙兩人途中在處相遇，則共有144種走法D．若甲、乙兩人在行走途中會相遇，則共有1810種走法【答案】AD由B可知，甲從M必須經過到達N處的走法有36種，同理乙從N必須經過到達M處的走法也有36種，故選：AD．例18．（2023·高二課時練習）5400的正約數有______個【答案】48故答案為：48例19．（2023秋·上海嘉定·高二校考期中）正整數2022有______個不同的正約數．【答案】故答案為：.例20．（2023秋·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學校考期末）有一道路網如圖所示，通過這一路網從A點出發不經過C、D點到達B點的最短路徑有___________種.【答案】24【解析】如圖，由已知可得，應從點，先到點，再到點，最后經點到點即可.故答案為：24.【答案】7所以，從地到地不同的走法種數為.故答案為：例22．（2023春·湖北·高二校聯考期中）如圖為某地街道路線簡圖，甲從街道的A處出發，先到達B處與乙會和，再一起去到C處，可以選擇的最短路徑條數為___________．【答案】18故答案為：18．例23．（2023春·河北石家莊·高二統考階段練習）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中、、、、是道路網中位于一條對角線上的5個交匯處，今在道路網M、N處的甲、乙兩人分別要到N、M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達N、M處為止．若甲、乙兩人途中在處相遇，則共有______種走法（用數字作答）．【答案】256故答案為：256.【答案】210故答案為：210例25．（2023春·上海寶山·高二統考期末）640的不同正約數共有______個【答案】16所以640的不同正約數共有16個.故答案為：16【答案】18例27．（2023·全國·高三專題練習）如圖，甲從A到B，乙從C到D，兩人每次都只能向上或者向右走一格，如果兩個人的線路不相交，則稱這兩個人的路徑為一對孤立路，那么不同的孤立路一共有________對.（用數字作答）【答案】1750【解析】甲從A到B，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以從A到B共有種走法，乙從C到D，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以從A到B共有種走法，甲從A到D，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以從A到D共有種走法,乙從C到B，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以從C到B共有種走法,故答案為：1750例28．（2023·全國·高二專題練習）如圖所示，機器人明明從A地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從A移到B最近的走法共有_____種．【答案】80故答案為：80．例29．（2023春·河南·高二校聯考階段練習）30030能被______個不同正偶數整除．【答案】32依題意偶因數2必取，3，5，7，11，13這5個因數中任取若干個組成成積，故答案為：32.例30．（2023春·高二課時練習）如圖，一只螞蟻沿著長方體的棱，從頂點A爬到相對頂點C1，求其中經過3條棱的路線共有多少條？【解析】經過AB，有m1=1×2=2條；經過AD，有m2=1×2=2條；經過AA1，有m3=1×2=2條.根據分類加法計數原理，從頂點A到頂點C1經過3條棱的路線共有N=2+2+2=6條.例31．（2023秋·湖北武漢·高二武漢二中校考期末）用數字0、2、3、4、6按下列要求組數、計算：(1)能組成多少個沒有重復數字的三位數？(2)可以組成多少個可以被3整除的沒有重復數字的三位數？例32．（2023·高二課時練習）某城市由條東西方向的街道和條南北方向的街道組成一個矩形街道網，要從處走到處，使所走的路程最短，有多少種不同的走法？【解析】將相鄰兩個交點之間的街道稱為一段，例33．（2023·高二課時練習）如圖，某地有南北街道5條、東西街道6條．一郵遞員從該地東北角的郵局A出發，送信到西南角的B地，且途經C地，要求所走路程最短，共有多少種不同的走法？【解析】由題意可知，從A經C到B的最短路程，只能向西、向南運動；例34．（2023春·上海寶山·高二上海交大附中校考期中）（1）如圖1所示，某地有南北街道5條，東西街道6條，一郵電員從該地東北角的郵局出發，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少種不同的走法？（2）如圖2所示，某地有南北街道5條，東西街道6條，一郵電員從該地東北角的郵局出發，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，無法通行，要求所走的路程最短，共有多少種不同的走法？（3）如圖3所示，某地有南北街道5條，東西街道6條（注意有一段不通），一郵電員從該地東北角的郵局出發，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少種不同的走法？（4）如圖4所示，某地有南北街道5條，東西街道6條，已知地（十字路口）在修路，無法通行，且有一段路程無法通行，一郵遞員該地東北角的郵局出發，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，有多少種不同的走法？【解析】（1）