專題二幾何最值問題類型1

由垂線段最短求最值模型1：“一動一定”型（一個動點＋一個定點）典例1（2023·亳州二模）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N.典例1圖（1）

∠MDN的度數是

90°

?.（2）

若AB＝6，AC＝8，連接MN，則當線段MN最短時，求線段AM的長.90°[思路點撥]（1）

根據有三個直角的四邊形是矩形，可證得四邊形DMAN是矩形，因此∠MDN＝90°.（2）

連接AD，根據矩形的對角線相等，可知AD＝MN.當線段MN最短時，線段AD也最短，因此當AD⊥BC時，AD最短，此時MN最短.結合等面積法與相似三角形可求得此時線段AM的長.

典例1圖答案典例1圖跟蹤訓練?

?

第1題

123456789101112131415161718192021222324模型2：“兩動一定”型（兩個動點＋一個定點）典例2（2023·池州貴池模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，動點M，N分別在邊AB，BC上，則CM＋MN的最小值是（

D

）典例2圖DA.2B.2C.6D.3[思路點撥]作點C關于AB的對稱點E，連接EB，EM，EN，過點E作EF⊥BC于點F.先根據軸對稱將CM＋MN轉化為EM＋MN，再根據兩點之間線段最短和垂線段最短，可知EM＋MN≥EN≥EF，故CM＋MN的最小值為EF的長，結合三角函數求出EF的長即可.跟蹤訓練?

?

A.2＋2B.＋3C.2＋2D.＋4第2題B類型2

利用“兩點之間，線段最短”求最值模型1：“一線兩定”型（一個動點＋兩個定點）（1）

異側線段和的最小值問題

典例3圖[思路點撥]連接CE，交AD于點F'.根據兩點之間線段最短，當動點F與點F'重合時，EF＋CF的值最小，即為CE的長.利用勾股定理即可求解.2

跟蹤訓練?

?3.（2023·阜陽太和一模）如圖，P是矩形ABCD內的任意一點，連接PA，PB，PC，PD，得到△PAD，△PAB，△PBC，△PCD，設它們的面積分別是S1，S2，S3，S4，則下列結論中，錯誤的是（

D

）A.若S1＝S3，則點P在AB的垂直平分線上B.S2＋S4＝S1＋S3C.若AB＝4，BC＝3，則PA＋PB＋PC＋PD的最小值為10D.若△PAB∽△PDA，且AB＝4，BC＝3，則PA＝2.5第3題D（2）

同側線段和最小值問題（將軍飲馬）

典例4圖[思路點撥]連接CP，CE，易證△ABP≌△CBP，得AP＝CP，當E，P，C三點共線時，CP＋PE取得最小值，為CE的長，利用勾股定理即可求解.

跟蹤訓練?

?4.（2023·馬鞍山模擬）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，點P在BC上運動.當PA＋PD取得最小值時，△APD的邊AP上的高為（

B

）A.B.C.D.第4題B模型2：“一點兩線”型（兩個動點＋一個定點）典例5如圖，∠AOB＝30°，M，N分別為射線OA，OB上的動點，P為∠AOB內一點，連接OP，PM，PN，MN.若OP＝5，則△PMN的周長的最小值為

5

?.

典例5圖[思路點撥]分別作點P關于OA，OB的對稱點C，D，連接CD，分別交OA，OB于點M，N，此時△PMN的周長取得最小值.結合軸對稱即可求出△PMN的周長的最小值.5跟蹤訓練?

?5.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在邊AB，BC上分別找一點E，F，使△DEF的周長最小，此時∠EDF的度數為

112°

?.第5題112°類型3

圓中的最值問題（含“隱”圓）模型1：點和圓的最值問題典例6（2023·安慶岳西模擬）如圖，E是邊長為4的正方形ABCD的邊CD上的一個動點，F是以BC為直徑的半圓O上的一個動點，連接AE，EF，求AE＋EF的最小值.[思路點撥]延長AD到點G，使得AD＝DG，連接OG，交CD于點M，交半圓于點N，則AE＋EF的最小值即為GN的長，根據GN＝OG－ON并結合勾股定理即可求解.

典例6圖答案跟蹤訓練?

?

第6題

模型2：線和圓的最值問題

典例7圖DA.B.C.2D.3

跟蹤訓練?

?7.如圖，在平面直角坐標系中，☉P經過點A（8，0），O（0，0），B（0，6）.若D是☉P上的一動點，則當點D到弦OB的距離最大時，sin∠BOD的值是（

D

）A.B.3C.D.第7題D模型3：定點定長構造輔助圓求最值

典例8圖

[思路點撥]連接AN，AM，以點A為圓心、AM長為半徑作圓，延長NA，與圓交于點M'，點M在以點A為圓心、AM長為半徑的圓上運動，則MN長的最大值為M'N的長，根據勾股定理分別算出AM，AN的長，則MN長的最大值為M'N＝AN＋AM'＝AN＋AM.跟蹤訓練?

?

第8題1＋

模型4：定弦定角構造輔助圓求最值典例9（2023·安慶迎江三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D為線段AC上一動點，連接BD，過點C作CH⊥BD于點H，連接AH，則AH長的最小值為（

D

）典例9圖DA.2B.4C.2－2D.2－2

跟蹤訓練?

?9.（2023·合肥廬陽一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，點P為△ABC的內心，連接AP，BP，O為AB的中點，將BO繞點B按順時針方向旋轉90°，得到線段BD，連接DP，則DP長的最小值為（

A

）A.5－5B.C.3－3D.5－第9題A模型5：利用四點共圓求最值典例10（2023·滁州全椒模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，延長BA至點D，連接CD，使得∠ADC＝45°，P為邊BC上一動點，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥CD于點F，連接EF，則EF長的最小值為（

C

）典例10圖CA.（＋）B.（＋）C.（3＋）D.（3＋）[思路點撥]連接DP，取DP的中點M，連接ME，MF，得P，F，D，E四點在以點M為圓心的圓上，∠EMF＝2∠ADC＝90°，當DP⊥BC時，DP的長取得最小值，MF的長也取得最小值，同時EF的長也取得最小值.由此計算即可求解.跟蹤訓練?

?10.如圖，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，求AD長的最大值.

第10題答案強化練習練習1線段最值問題1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P為直線AB上一動點，連接PC，則線段PC長的最小值是（

C

）A.4B.4.5C.4.8D.5第1題C12345678910111213142.如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分線MN交AB于點D，P是直線MN上的任意一點，則PA＋PC的最小值是（

B

）A.2B.3C.3.5D.4.5第2題B12345678910111213143.如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，P，Q分別是邊BC，AC上的動點，則AP＋PQ的最小值是（

B

）A.4B.C.5D.第3題B12345678910111213144.如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，E為邊AC上的動點，F為邊AB上的動點，則FE＋EB的最小值是（

B

）A.B.C.D.第4題B12345678910111213145.如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，點P在AD上，點Q在BC上，且AP＝CQ，連接CP，QD，則PC＋QD的最小值為（

D

）A.22B.24C.25D.26第5題D12345678910111213146.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分別是邊AB，AD上的動點.當△MCN的周長最小時，∠MCN的度數是（

D

）A.50°B.70°C.90°D.100°第6題D12345678910111213147.如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E在邊AB上且BE＝1，P，Q分別是邊BC，CD上的動點（均不與頂點重合）.當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是（

B

）A.B.C.D.第7題B12345678910111213148.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E為邊BC上的動點，F為CD的中點，連接AE，EF，則AE＋EF的最小值為

15

?.第8題151234567891011121314

第9題

1234567891011121314

第10題

123456789101112131411.如圖，河的兩岸有A，B兩個水文觀測點，為方便聯絡，要在河上修一座木橋MN（河的兩岸互相平行，MN垂直于河岸）.現測得A，B兩點到河岸的距離分別是5m，4m，河寬MN為3m，且A，B兩點之間的水平距離為12m，則AM＋MN＋NB的最小值是

18

?m.第11題181234567891011121314

第12題4123456789101112131413.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC于點C，P為BC上一動點，過點P作PQ⊥AB于點Q.若∠ABC＝45°，CD＝3，BC＝7，則DP＋PQ的最小值為

5

?.第13題

123456789101112131414.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，D是邊AC的中點，E是直線BC上一動點，將線段DE繞點D按逆時針方向旋轉90°，得到線段DF，連接AF，EF.在點E的運動過程中，求線段AF長的最小值.1234567891011121314

第14題答案第14題答案1234567891011121314練習2圓中的最值問題（含“隱”圓）1.在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC內部的一個動點，滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長的最小值為（

D

）A.B.1C.－3D.－2D123456789101112132.如圖，☉O的圓心O與正方形的中心重合.若☉O的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點到正方形邊上任意一點的距離的最小值為（

D

）A.B.2C.4＋2D.4－2第2題D123456789101112133.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P在矩形的內部，連接PA，PB，PC.若∠PBC＝∠PAB，則PC長的最小值是（

C

）A.6B.－3C.2－4D.4－4第3題C123456789101112134.如圖，☉O的半徑為4，將劣弧沿弦AB翻折，恰好經過圓心O，C為優弧AB上的一個動點，則△ABC面積的最大值是（

A

）A.12B.12C.4D.8＋8第4題A123456789101112135.如圖，正方形ABCD的邊長為2，P是射線AD上的一個動點，點Q在BP上，且滿足∠BCQ＝∠BPC，則線段CQ長的最小值為（

C

）A.B.1C.－1D.2－1第5題C12345678910111213

A.B.C.D.第6題