高三年級考前保溫練習試題數學注意事項：1．答題前，考生務必在試卷、答題卡規定位置填寫本人準考證號、姓名等信息．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．非選擇題答案用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上相應位置書寫作答，在試卷上答題無效．3．考試結束，須本試卷和答題卡一并交回選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，所以.故選：C2．已知復數滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復數的除法運算可得答案.【詳解】由，得，所以，其虛部為．故選：C．3．某校學生會有男生8人，女生12人，現從男生中選出7人，從女生中選出11人參加志愿活動，則不同的選法種數為（

）A．48 B．96 C．144 D．192【答案】B【詳解】根據題意，從男生中選7人的選法種數為：.從女生中選11人的選法種數為：.所以總的選法種數為：.故選：B.4．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，．故選：A5．若函數為R上的奇函數，且當時，，則（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．2【答案】A【詳解】∵為R上的奇函數，∴，解得，∴時，；∴.故選：A6．在平面四邊形ABCD中，，將沿AC折起，使點到達點的位置，且三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】已知，且，將代入可得：，解得.取的中點，連接.則.在中，因為已知，（），根據勾股定理，且，所以平面設三棱錐的外接球的球心為，的外接圓的圓心為，因為是等邊三角形，所以為等邊的中心.在等邊中，是高（三線合一），，則，.設的外接圓的圓心為，在上，連接，因為，四邊形為矩形.設.在和中，根據勾股定理有，展開等式可得，解得.設三棱錐的外接球的半徑為，在中，根據勾股定理.將代入可得.根據球的表面積公式，可得表面積.故選：B.7．函數在一個周期內的圖象如圖所示，M、N分別是圖象的最高點和最低點，其中M點橫坐標為，O為坐標原點，且，則，的值分別是（

）A．， B．， C．2， D．1，【答案】A【詳解】解：根據題意知，，設，且，，解得，結合圖象，把兩點的坐標代入函數解析式中得，，解得．故選：．8．第14屆國際數學教育大會（ICME-International

Congreas

of

Mathematics

Education）在我國上海華東師范大學舉行.如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，這是中國古代八進制計數符號，換算成現代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制換算成十進制數，則換算后這個數的末位數字是（

）

A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【詳解】由進位制的換算方法可知，八進制換算成十進制得：，因為是10的倍數，所以，換算后這個數的末位數字即為的末尾數字，由可得，末尾數字為3.故選：B選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9．為加強青少年科學健身普及和健康干預，讓年輕一代在運動中強意志、健身心，某校舉辦一場籃球賽，其中每隊上場5人，每人得分情況如下表（單位：分），則下列結論正確的是（

）甲隊乙隊51023128881576A．運動員得分極差甲隊大于乙隊 B．運動員得分均值甲隊大于乙隊C．甲隊運動員得分的75%分位數為8 D．相較于甲隊，乙隊運動員實力更均衡【答案】ABD【詳解】對A，甲隊的極差為，乙隊的極差為，，A正確；對B，甲隊得分平均數，乙隊得分平均數，，B正確；對C，將甲隊的數據由小到大排列：，因為，所以甲隊運動員得分的75%分位數為，C錯誤；對D，由題可知，乙隊的得分更加集中，即相較于甲隊，乙隊運動員實力更均衡，D正確.故選：ABD10．數列滿足，記數列的前項和為，則（

）A． B．C．數列的前項和為 D．的最小值為【答案】AD【詳解】對于A，由，得①，當時，；當時，②，由①－②，得，解得，當時也成立，所以，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，數列的前項和為，故C錯誤；對于D，因為，當時，，當時，，且，故當或9時，的前項和取最小值，最小值為，故D正確.故選：AD.11．已知曲線，則下列結論正確的是（

）A．曲線不經過第三象限B．曲線的漸近線方程為和C．曲線在第二象限內的點的縱坐標的最小值為D．若圓與曲線交于A，B兩點，則直線AB的斜率小于【答案】ACD【詳解】對于選項A，當時，，，，而曲線方程為，所以曲線不經過第三象限，A選項正確.對于選項B，由，當時，，所以是曲線的漸近線；由變形為，當時，，，所以是曲線的漸近線.如圖所示，B選項錯誤.對于選項C：由可得，設.對求導得.令，即，則，解得.當時，，，所以，單調遞減；當時，，，所以，單調遞增.則在處取得最小值，，C選項正確.對于選項D：由C項可知兩點均在軸右側，設，，且，，兩式相加得.根據基本不等式可得，所以..因為，，所以，D選項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在的展開式中，常數項為60，則項的系數為．【答案】【詳解】因為，，所以，項為，故項的系數為．故答案為：13．降水量是指水平地面上單位面積的降水深度．用上口直徑為20cm、底面直徑為12cm，母線長為的圓臺型水桶來測量降水量，如果一次降水過程中用此桶接得的雨水是桶深的，則本次降雨的降水量是mm．【答案】29.6【詳解】設睡眠的半徑為，水深為，因為上口半徑為，底面半徑，則，故，雨水的體積為，又,故,故答案為：29.614．有15張撲克牌，牌面分別為1，2，…，10，J，Q，K，小王，大王.魔術師先按照牌面依次為1，2，…，10，J，Q，的順序將這12張牌背面朝上擺成一疊（牌面為1的牌在最上面），然后魔術師請一名觀眾將牌面為的牌背面朝上隨機插入已擺好的這疊牌（共12張）中的某個位置（不能把這張牌放在這疊牌的最上面或最下面），再把牌面為小王和大王的兩張牌中的一張背面朝上放在這疊牌（共13張）的最上面，另一張背面朝上放在這疊牌（共13張）的最下面，之后繼續由這名觀眾把這疊牌（共15張）按如下方式發牌：把最上面那張牌發到桌上，然后把下一張牌放到這疊牌（共14張）的最下面，之后再把最上面那張牌發到桌上，再把下一張牌放到這疊牌（共13張）的最下面，依此類推，直到這疊牌只剩下一張牌.這時，魔術師可以準確說出最后剩下的這張牌的牌面是.【答案】Q【詳解】把大王、小王擺放完后，將15張牌按照從上到下的順序依次編號為1，2，…，15，此時2號牌面為1，且14號牌面為Q，這時按題中發牌的規則開始發牌，記每一次把最上面的牌發到桌上且下一張放到最下面為一次操作，每完成一次操作后這疊牌的編號順序分別為：，，，，，，，，，，，14.故最后剩下的是編號為14的紙牌，根據之前的操作可知該牌的牌面為Q.故答案為：Q.解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．已知等差數列和等比數列滿足，，，.（1）求和的通項公式；（2）數列和中的所有項分別構成集合，，將的所有元素按從小到大依次排列構成一個新數列，求數列的前60項和.【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，由，∴，，∴，.（2）當的前60項中含有的前6項時，令，此時至多有項（不符）.當的前60項中含有的前7項時，令，且，，是和的公共項，則的前60項中含有的前7項且含有的前56項，再減去公共的三項.∴.16．某商場進行抽獎活動，設置摸獎箱內有紅球個，白球個，黑球個，小球除顏色外沒有任何區別.規定：摸到紅球記分，摸到白球記分，摸到黑球記分.抽獎人摸個球為一次抽獎，總分記為，若，則獲獎.方案一：從中一次摸個球，記錄分數后不放回.方案二：從中一次摸個球，記錄分數后放回.(1)若甲顧客按照方案一摸球記分，求甲顧客獲獎的概率；(2)若乙顧客按照方案一摸球記分，求第二次摸到紅球條件下，乙顧客獲獎的概率；(3)若丙顧客按照方案二摸球記分，求的分布列和數學期望.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，【詳解】（1）若，則甲顧客摸到個紅球個白球、或者是個紅球個白球個黑球，所以，.（2）摸到次紅球的概率為，摸到次白球的概率為，摸到次黑球的概率為，則的可能取值有、、、、、、，，，，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：故.17．如圖，在圓錐中，為底面圓的一條直徑，為底面圓周上不同于的兩點，圓錐母線長為.(1)若，平面與平面的交線為，證明：∥；(2)若與平面所成角的正切值為，求的長.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為為直徑，則，且，則且，又因為，則，即.且，平面，可知，且平面平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以.（2）方法一：由題意知，，如圖，以點為坐標原點，所在直線為軸，過與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，可知，設，則，可得，設平面的法向量為，則，令，則，可得，設與平面所成角為，則，可得，且，解得，即，整理得，解得，即；18．已知雙曲線的左頂點在直線上，的左焦點為，點.為的右支上一動點.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)過點且斜率為的直線與的左支交于D，E兩點，求的面積的最小值；(3)設為的左支上與不重合的一動點，若直線平分，證明：直線MN恒過定點.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1）依題意，點，設，由，得，解得，而，因此，雙曲線的方程為，所以雙曲線的漸近線方程為.（2）由（1）知，，直線的方程為，由消去得，解得，則，的面積最小，當且僅當點到直線的距離最小，平移直線與雙曲線的右支相切的切點到直線的距離最小，設切線方程為，由消去得，，解得，當時，直線與雙曲線的左支相切，不符合題意，因此，因此點到直線的距離為點到直線的距離，所以求的面積的最小值為.（3）依題意，直線斜率存在，設其方程為，，由為雙曲線的左支上與不重合的點，得，設點關于直線對稱點為，則，解得，由直線平分，得在直線上，而，則，即，整理得，由消去得，，，因此，整理得，而，解得，直線：過定點，所以直線MN恒過定點.19．已知函數和各有兩個零點.(1)求的取值范圍；(2)若一個函數有且僅有兩個零點，則稱這兩個零點的算術平均數為該函數的“完美點”.設和分別為和的“完美點”.（i）比較與的大小；（ii）證明：.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1）由，，得，，則，的零點等價于，的零點.，，當時，易知，均在區間單調遞增，且在單調遞減，故當時，，當時，，若有兩個零點，則，即.當時，，