高州市2025年高考適應性考試數學全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內容：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解絕對值不等式，再用交集定義即可求得.【詳解】由可得，則，因，則.故選：A2.隨機變量，若，則實數的值為（）A.2 B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據正態曲線的對稱性可求解.【詳解】因為，所以隨機變量的正態曲線關于對稱，故，則.故選：C.3.已知圓，直線，若圓上有且僅有一點到直線的距離為1，則（）A2 B. C.±2 D.【答案】D【解析】【分析】利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】由題意有：圓心到直線的距離為2，所以，故選：D.4.已知向量，，且在方向上的投影向量為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的坐標運算求得，，利用投影向量的意義可得，求解即可.【詳解】因為向量，，所以，，所以在方向上的投影向量為，所以，解得.故選：C.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用切化弦可求得，利用誘導化式與二倍角的余弦公式可求的值.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.6.已知函數，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先討論當時，不等式轉化為，確定函數在時的單調性得最值即可得此時的取值范圍，再根據此范圍確定當時，函數的單調性，從而得最值得的取值范圍，綜合可得結論.【詳解】當時，不等式為，即，因為，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以；由于，則當時，函數在上單調遞減，所以，解得，所以；綜上，的取值范圍是.7.已知圓錐的母線長為定值，則該圓錐的體積最大時，其母線與底面所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設圓錐的底面半徑為，母線為，求出圓錐的高以及圓錐的體積，通過對求導判斷其單調性，可求得體積最大值及此時，即可求出答案.【詳解】如圖，設圓錐的底面半徑為，母線為，則圓錐的高為，則圓錐的體積為，記，則，由可得，由，可得，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，取得最大值，即圓錐的體積最大，此時，母線與底面所成的角即，其余弦值為.故選：A.8.已知函數滿足，，設，為數列的前項和，則使得成立的最小整數為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】由題意可得是以為首項，2為公比的等比數列，從而可得，利用錯位相減法可求得，可求解.【詳解】因為，所以，又，所以，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數列，所以，所以，所以所以，所以，所以，又，，所以使得成立的最小整數為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為關于的方程在復數范圍內的一個根，則（）A. B.C.為純虛數 D.為關于的方程的另一個根【答案】ABD【解析】【分析】根據復數乘法、除法運算法則及模長公式，可確定AC選項，再利用復數范圍內的求根公式可知復數是方程的根，則也是方程的根可確定D選項，再利用韋達定理確定B選項.【詳解】對A，，，故A正確；對C，，故C錯誤；對D，又為關于的方程，所以也是方程的根，故D正確；對B，，故B正確；故選：ABD10.已知隨機事件，滿足，，則下列說法正確的是（）A.若，相互獨立，則 B.若，相互獨立，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用獨立事件的乘法公式，條件概率公式可解AB選項，在的條件下，利用可求C選項，再利用全概率公式及對立事件概率公式可確定D選項.【詳解】對于AB選項，因為，相互獨立，則，，故A正確，B錯誤；對于C選項，若，，，故C正確；對于D選項，則，所以，故D正確；故選：ACD.11.拋物線的光學性質是指平行于拋物線對稱軸的光線通過反射后經過拋物線的焦點.且光線反射遵循反射基本定理，反射點處的切線與入射光線反射光線所成夾角的角平分線垂直.如圖，已知拋物線，一束光線從點出發平行于軸射入拋物線，經過兩次反射后平行射出，軸，設反射點分別為，，為坐標原點，過，分別作，的角平分線交于點，已知的最小值為2，則下列說法正確的是（）A. B.若，則直線的斜率為C.存在直線，使得，，，四點共圓 D.面積的最小值為1【答案】ABD【解析】【分析】A選項，設直線，聯立直線與拋物線方程，根據焦點弦長公式得，從而得到A正確；B選項，，從而解得，故B正確；C選項，先得到，若點，，，四點共圓，則，利用向量數量積公式得到因為，故C錯誤，D選項，作出輔助線，得到軸，，得到，求出最小值.【詳解】A選項，由題意得直線過焦點，設直線，聯立直線與拋物線方程可得設，則，所以，則，當且僅當時，等號成立，故，，故A正確；B選項，由A知，，則，解得，故B正確；C選項，，，所以，如果點，，，四點共圓，則，，，因為，故C錯誤，D選項，過點分別作⊥于點，⊥于點，⊥于點，因為，的角平分線交于點，所以，，故，設為的中點，連接，則軸，因為，所以，由A知，，由B知，，，顯然，當時，取得最小值，最小值為1，D正確，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數在上單調遞增，函數是定義在上的奇函數，且，則可以是________.（寫出一個滿足條件的函數即可）【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根據題意只要函數是上單調遞增的奇函數即可符合題意.【詳解】根據題意只要函數是上單調遞增的奇函數即可符合題意，所以，即可以是，故答案為：(答案不唯一).13.已知，為橢圓的左、右焦點，點，在上，若等邊三角形的重心為，則的離心率為________.【答案】【解析】【分析】不妨設焦點在軸上，由題意可得兩點關于軸對稱，由重心坐標公式可得，進而可求得的坐標，進而可得，，可求離心率.【詳解】不妨設焦點在軸上，故，的坐標分別為，，因為三角形是等邊三角形，所以兩點關于軸對稱，所以，因為三角形的重心為，所以，所以，又，所以，所以，所以，，所以，所以.故答案為：.14.兩個不透明的袋子中均裝有1個紅球，2個白球，2個黑球（除顏色外，質地大小均相同），從兩個袋子中同時取出1個球（取出的球不放回袋中），若兩球顏色相同，則記1分，否則記0分，則取球5次后，總得分大于2的概率為________.【答案】##【解析】【分析】先固定一個袋子中的取球順序為紅白白黑黑，再分得3分，4分，5分時第二外袋子的每種排列數可求概率.【詳解】不妨先固定其中一個袋子中的取球順序為紅白白黑黑，則另一個袋子的取球可能總數為，得分為3分的情況為：紅白黑黑白，其中第2，3位可交換順序，第4，5位可以交換順序，所以總數為，黑白白黑紅，其中第4，5位可以交換順序，白白黑黑紅，其中第2，3位可交換順序且黑白可以交換順序，所以總數為，得分為4分的情況不存在，得分為5分的情況為：紅白白黑黑，1種情況，所以總得分大于2的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.記的內角，，的對邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，且邊上的高為，求的周長．【答案】（1）或（2）6【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角，結合誘導公式及兩角和的正弦公式即可求解；（2）分類討論，利用等面積法及余弦定理即可求解．【小問1詳解】，又，所以又，所以，解得或，所以或．【小問2詳解】若，，由余弦定理得，，所以，所以的周長為；若，為直角三角形，斜邊上的高為，由斜邊中線長為斜邊一半，則斜邊上的中線為1，則該三角形不存在，故的周長為6．16.已知函數，.（1）若，求圖象在點處的切線方程；（2）若函數在上的最小值是，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據導數的幾何意義求解即可；（2）求導，分，結合區間討論函數的單調性，進而即可.【小問1詳解】當時，，則，則，又，所以函數在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】由，，則，當時，，則函數在上單調遞增，此時函數在上沒有最小值，不符合題意；當時，由，得，由，得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，若，即時，函數在上單調遞減，此時函數在上沒有最小值，不符合題意；若，即時，函數在上單調遞增，此時函數在上沒有最小值，不符合題意；若，即時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，解得.綜上所述，．17.如圖，在多面體中，是邊長為2的等邊三角形，平面，，，，，設為的中點．（1）證明：平面；（2）設為棱上的動點，求與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出點坐標，得到向量坐標，利用空間向量的數量積為0，證明線線垂直，從而得到線面垂直.（2）設出動點坐標得到線的方向向量，設平面法向量，由法向量垂直平面內任意兩個相交向量求出一個法向量坐標，然后由線的方向向量和面的法向量表示出線面角的正弦值.對于表達式進行整理化簡，構造函數通過二次函數對稱軸求函數的最大值.【小問1詳解】如圖，在平面ABC內過點作直線，∵平面，平面，∴，，∴以為坐標原點，分別為坐標軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，∵為的中點，∴，∴，，，∴，即，又∵平面，平面，，∴平面.【小問2詳解】設，即則，，，設平面的一個法向量，則，令，則，即，設直線與平面所成角為，則，令，當時，取最小值，即，即當時，取得最大值，，18.已知雙曲線的實軸長為，離心率為.（1）求雙曲線的標準方程：（2）過點的直線與的左、右兩支分別交于，兩點，點，直線與直線交于點.（i）證明：直線的斜率為定值；（ii）記，分別為，的面積，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據離心率和實軸長可得方程；（2）（i）設出直線的方程與雙曲線聯立，寫出韋達定理，求出的斜率，化簡可得答案；（ii）根據斜率相等把面積比轉化為線段比，結合韋達定理可求范圍.【小問1詳解】設焦距為，因為實軸長為，離心率為，所以，所以，故雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】（i）證明：當直線斜率為0時，，的方程為；令可得，此時的斜率為.當直線斜率不為0時，設，聯立，可得，因為直線與雙曲線的左右兩支交于兩點，所以，，設，則，且，解得.的方程為，令可得，所以的斜率為，化簡可得，由可得，所以；綜上可得，直線的斜率為定值.（ii）當直線斜率為0時，，兩個三角形相似，.當直線斜率不為0時，此時，所以，因為，所以，因為，所以，即或（舍），所以；綜上可得.19.若對于任意整數，，均有，則稱數列為數列.（1）設各項均為正整數且公差不為0的等差數列為數列，，求；（2）證明：當時，數列為數列；（3）證明：若數列的各項均為正數，當時（其中，為常數），數列不是數列.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（