第第頁黑龍江省哈爾濱市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)z=a+A．1 B．0 C．?1 D．?22．某企業(yè)職工有高級職稱的共有15人，現(xiàn)按職稱用分層抽樣的方法抽取30人，有高級職稱的3人，則該企業(yè)職工人數(shù)為（）A．150 B．130 C．120 D．1003．（理科）在正方體ABCD?A1BA．90° B．60° C．45° D．30°4．設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量m=?e1A．0 B．12 C．1 5．拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，觀察向上一面的點數(shù)，則下列是互斥事件但不是對立事件的是（）A．“大于3點”與“不大于3點” B．“大于3點”與“小于2點”C．“大于3點”與“小于4點” D．“大于3點”與“小于5點”6．已知三個不同的平面α，β，γ和直線m，n，若α∩γ=mA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知平面向量a=(1A．若λ=0，則B．若a∥bC．若a與b的夾角為鈍角，則λD．若λ=?1，則a在b上的投影向量為8．在△ABC中，已知sinA+sinA．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形二、多選題9．下列各復(fù)數(shù)中，模長為1的有（）A．1 B．2?i C．1?i 10．為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史、育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)的值為0.05B．估計成績低于60分的有25人C．估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75D．估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為8611．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a?b=2bA．C=2B B．B的取值范圍是(C．B=2C D．cb的取值范圍是12．如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱錐A-A．存在某個位置，使AB⊥CDB．存在某個位置，使ACC．當(dāng)三棱錐A-BCDD．當(dāng)AB＝AD時，CM+FM的最小值為4+2三、填空題13．某工廠現(xiàn)對一批零件的性能進行抽檢，第一次檢測每個零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后進行第二次檢測，第二次檢測合格的概率是0.9，如果第二次檢測仍不合格，則作報廢處理.則每個零件報廢的概率為.14．在△ABC中，BE=λEC，且AE15．一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75°，距離126海里，燈塔C在A的北偏西30°，距離為123海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東60°方向，則cos16．四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，CD=BC=2，若二面角A-CD-B的大小為60°，則四面體ABCD的外接球的體積為．四、解答題17．已知|a|=2，|b|=4，（1）若a//b，求（2）若a+b與a垂直，求18．某小區(qū)所有248戶家庭人口數(shù)分組表示如下：家庭人口數(shù)1234567家庭數(shù)21294950463518（1）求該小區(qū)家庭人口數(shù)的中位數(shù)；（2）求該小區(qū)家庭人口數(shù)的方差.（精確到0.1）19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2a（1）求角A；（2）若△ABC的面積為320．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，（1）判斷多面體ABEDB（2）求多面體ABEDB（3）求證：平面BC1E21．一只口袋里有形狀、大小、質(zhì)地都相同的4個小球，這4個小球上分別標記著數(shù)字1，2，3，4．甲、乙、丙三名學(xué)生約定：（i）每人不放回地隨機摸取一個球；（ii）按照甲、乙、丙的次序依次摸取；（iii）誰摸取的球的數(shù)字最大，誰就獲勝．用有序數(shù)組(a，b（1）列出樣本空間，并指出樣本空間中樣本點的總數(shù)；（2）求甲獲勝的概率；（3）寫出乙獲勝的概率，并指出甲、乙、丙三名同學(xué)獲勝的概率與其摸取的次序是否有關(guān)．22．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為矩形，AB＝PD＝2，AD=22（1）求證：AC⊥平面POB；（2）設(shè)平面PAB與平面PCD的交線為l．①求證：l∥②求l與平面PAC所成角的大小．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因為z=a+i1-i=a+i1+i1-i1+i2．【答案】A【解析】【解答】高級職稱的共有15人，被抽取高級職稱為3人，抽樣比為：315=15

設(shè)該企業(yè)職工人數(shù)為m，

則有30m=15，

3．【答案】B【解析】【解答】如下圖，連接AD1，CD1，BC1，

∵E，F(xiàn)分別為棱BC和棱CC1∴EF//BC1；

又∵正方體中BC1//AD1；

∴EF//AD1；

∴∠D1AC為異面直線AC和EF所成的角或其補角；

由正方體ABCD?A1B1C1D1的性質(zhì)可知，AC=AD1=CD1，【分析】E，F(xiàn)分別為棱BC和棱CC1的中點，則EF//BC1//AD1，∠D1AC為異面直線AC和EF所成的角或其補角，再AC=AD4．【答案】C【解析】【解答】∵向量m=?e1+ke2(k∈R又∵e1，e∴-1=-λk=λ，解得k=1，

故答案選：C.

【分析】根據(jù)向量m=?e1+k5．【答案】B【解析】【解答】互斥事件：事件A與事件B不可能同時發(fā)生，強調(diào)的是“不同時發(fā)生”。

對立事件：事件A、B中必定而且只有一個發(fā)生。除了A就是B，沒有第三種可能。

根據(jù)定義，

對于A，事件“大于3點”與事件"點數(shù)為4或點數(shù)為5或點數(shù)為6”相等，事件“不大于3點”與事件“點數(shù)為1或點數(shù)為2或點數(shù)為3”相等，所以事件“大于3點”與"不大于3點"不可能同時發(fā)生，且兩事件的和事件為必然事件，所以事件“大于3點”與事件“不大于3點”是互斥事件，且是對立事件，A錯誤；

對于B，事件“小于2點”與事件“點數(shù)為1”相等，所以事件“大于3點”與"小于2點"不可能同時發(fā)生，但它們的和事件不是必然事件，所以事件“大于3點”與事件"小于2點"為互斥事件，但不是對立事件；B正確；

對于C，事件“小于4點”與事件"點數(shù)為1或點數(shù)為2或點數(shù)為3"相等，所以事件“大于3點”與"小于4點"不可能同時發(fā)生，且兩事件的和事件為必然事件，所以事件“大于3點”與事件"小于4點"是互斥事件，且是對立事件，C錯誤；

對于D，事件“小于5點”與事件“點數(shù)為1或點數(shù)為2或點數(shù)為3或點數(shù)為4”相等，事件“大于3點”與"小于5點"可能同時發(fā)生，所以事件"大于3點”與事件“小于5點"不是互斥事件，D錯誤；

故答案選：B.

【分析】互斥事件：事件A與事件B不可能同時發(fā)生，強調(diào)的是“不同時發(fā)生”；對立事件：事件A、B中必定而且只有一個發(fā)生，除了A就是B，沒有第三種可能；根據(jù)互斥事件和對立事件的定義逐項判斷即可.6．【答案】A【解析】【解答】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知：

如下圖，當(dāng)"α//β"時，有"m//n"，故充分性成立；

如下圖，當(dāng)m//n時，a、β可能相交，故必要性不成立.

∴“α//β”是“m//n”的充分不必要條件.

故答案選：A.

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可判斷充分性；反之，當(dāng)m//n時，α，β可能相交，故必要性不成立。7．【答案】D【解析】【解答】平面向量a=(1對于A，當(dāng)λ=0時，a→=(1，0對于B，a∥b，則有1--2對于C，a與b的夾角為鈍角，∴a?·b?<0∴a?由B選項知，當(dāng)λ≠-12時，a?與b對于D，當(dāng)λ=-1時，a?·b∴a?在b?上的投影向量為故答案為：D.【分析】由向量的坐標運算可判斷選項A；由向量共線的坐標運算可判斷選項B；由向量夾角的坐標運算可判斷選項C；計算a?·b?，b?8．【答案】B【解析】【解答】由sinA+sinB=cosA+cosB，得sinA-cosA=-sinB+cosB，

即2sinA-π4=-2sinB-π4，

又∵A，B∈(0，π)，

∴A-π4∈-π4，9．【答案】A,D【解析】【解答】對于A，由題可得|1|=1，故A正確；對于B，由題可得2?i對于C，由題可得1?i對于D，由題可得i=02【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式，逐項判定，即可求解.10．【答案】C,D【解析】【解答】對于A，由題可得(a+2a+3a+3a+5a+6a)×10=1，解得a=0.005，故A正確；對于B，估計成績低于60分的人數(shù)為：1000×(2a+3a)×10=50000a=250人，故B錯誤；對于C，由眾數(shù)的定義知，由直方圖可估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75，故C正確；對于D，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為m，根據(jù)百分位數(shù)的定義則有：(90-m)×5×0.005+0.005×10=1-85%=0.15，

解得：m=86，故D正確.故答案選：ACD.【分析】由所有組頻率之和為1可求得a，再根據(jù)頻率直方圖中頻數(shù)、眾數(shù)及百分位數(shù)的求法可得結(jié)果.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】∵a-b=2bcosC，

∴由正弦定理可得sinA-sinB=2sinBcosC，

即sin(B+C)-2sinBcosC=sinB，

即sinCcosB-cosCsinB=sin(C-B)=sinB，

又∵△ABC為銳角三角形，

∴0<A<π2，0<B<π2，0<C<π2，

∴C-B=B，即C=2B，故A正確，C錯誤：

又∵0<B<π2，0<2B<π2故答案選：ABD.【分析】由三角形的正弦定理和兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡可得C=2B，可判斷AC；再由銳角三角形的定義可判斷B；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】A、當(dāng)?ABC⊥底面BDC時，

∵DC⊥BC，DC?平面BDC，平面ABC∩平面BDC=BC，

∴DC⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴AB⊥CD，A正確；

B、假設(shè)存在存在某個位置，使AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB=B，BD，AB?平面ABD，∴AC⊥平面ABD，

∵CD?平面ABD，∴AC⊥CD，∴?ACD是以CD為斜邊的直角三角形，

由題意知CD=2，BC=CDtan60°=23，AC=BCsin45°=6>CD，∴不存在某個位置，使AC⊥BD，B錯誤；

C、易知當(dāng)?ABC垂直底面BDC時，三棱錐A-BCD體積取得最大值進而求解AD與平面ABC成角的正切值判斷C；

D、利用側(cè)面展開圖求解判斷D。

【分析】A：當(dāng)?ABC垂直底面BDC可判斷；

B：假設(shè)存在，則AC⊥平面ABD，∴?ACD13．【答案】0.02【解析】【解答】設(shè)事件"第一次檢測零件合格"為A，事件"第二次檢測零件合格"為B，則事件“零件報廢”可表示為AB∵P(A)=0.8，P(B)=0.9，∴P(A)=0.2，P(B)=0.1，∴P(AB故答案為：0.02.

【分析】利用對立事件概率公式和概率乘法公式求解即可.14．【答案】1【解析】【解答】AE→=AB→+BE→15．【答案】1【解析】【解答】如下圖，在△ABD中，∠BAD=75°，∠ADB=60°，AB=126∵ABsin∠ADB=AD在△ACD中，∠CAD=30°，AC=123，AD=24，

由余弦定理可得C則cos∠CDA=

【分析】先根據(jù)正弦定理求出AD，再根據(jù)余弦定理求出cos∠CDA即可.16．【答案】20【解析】【解答】因AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，即有AB⊥CD，而BC⊥CD，AB∩AB，BC?平面則CD⊥平面ABC，AC?平面ABC，CD⊥AC，因此∠ACB是二面角A?CD?B的平面角，即∠ACB=6則AB=23，而BD=22，有由于△ACD，△即四面體ABCD的外接球是以點O為球心，R=5所以四面體ABCD的外接球體積是V=4故答案為：20

【分析】根據(jù)給定條件，求出棱AB長，再確定幾何體的外接球球心，求出球半徑即可計算作答.17．【答案】（1）解：∵a//b，∴θ=0當(dāng)θ=0時，a當(dāng)θ=π時，∴a?（2）解：∵a+b與a垂直，∴(a即|a|2+又0≤θ≤π，【解析】【分析】（1）根據(jù)a//b可知a→，b→的夾角θ為0或者π，再分情況利用a→?b→=|a18．【答案】（1）解：由題可得2482=124，

∵21+29+49=99<124，（2）解：該小區(qū)家庭人口數(shù)平均為x=該小區(qū)家庭人口數(shù)的方差為：S2【解析】【分析】（1）中位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；利用中位數(shù)的定義確認最中間的數(shù)即可；

（2）方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù)；利用方差的定義求解即可.19．【答案】（1）解：由2asin(π又A+B+C=π，所以2所以2sin整理得sinC因為C∈(0，π)又A∈(0，（2）解：因為△ABC的面積S=12由余弦定理可得a2當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3即a2≥9，故a的最小值為3.【解析】【分析】（1）運用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡已知等式，求得cosA，進而求得角A；

20．【答案】（1）解：多面體ABEDB因為棱柱的側(cè)面必為平行四邊形，故棱柱的面至少有3個平行四邊形，而多面體ABEDB（2）解：易知三棱柱ABC?A1B三棱錐A?A1B易知三棱錐C1?BCE的體積等于三棱錐故多面體ABEDB1C（3）解：因為D，E分別是A1C1所以四邊形BB所以BE∥B1D．又BE?平面AB1D，B易知C1D//所以C1E//AD，又C1E?平面AB1D而BE∩C1E=E，BE，C所以平面BC1E【解析】【分析】（1）利用已知條件和棱柱的概念判斷即可；

（2）利用間接法求多面體的體積，即VABEDB1C1=VABC-A1B1C1-VA-A