第五章

多目標決策分析

第一節多目標決策的目標準則體系一、

目標準則體系的意義

在決策分析中，決策問題要達到的目的稱為決策目標，用數值表示決策方案實現某個目標程度的標準和法則，稱為決策準則。

在多目標決策問題中，其目標或者經過逐層分解，

或者依據決策主體要求和實際情況需要，形成的多層次結構的子目標系統，使得在最低一層子目標可以用單一準則進行評價，稱之為目標準則體系。第一節多目標決策的目標準則體系構造目標準則體系應注意的原則：一是系統性原則。二是可比性原則，三是可操作性原則。二、目標準則體系的結構（一）單層次目標準則體系各個目標都屬于同一層次，每個目標無須分解就可以用單準則給出定量評價。第一節多目標決策的目標準則體系圖5-1單層次目標準則體系總目標目標m目標m-1目標2目標1……第一節多目標決策的目標準則體系（二）序列型多層次目標準則體系目標準則體系的各個目標，均可以按序列分解為若干低一層次的子目標，各子目標又可以繼續分解，這樣一層層按類別有序地進行分解，直到最低一層子目標可以按某個準則給出數量評價為止。第一節多目標決策的目標準則體系（三）非序列型多層次目標準則體系某一層次的各子目標，一般不單是由相鄰上一層次某子目標分解而成，各子目標也不能按序列關系分屬各類。相鄰兩層次子目標之間，僅按自身的屬性建立聯系，存在聯系的子目標之間用實線連結，無實線連結的子目標之間，不存在直接聯系。這類目標準則體系稱為非序列型多層次目標準則體系。第一節多目標決策的目標準則體系三、評價準則和效用函數在多目標決策中，制定了目標準則體系，不同的目標用不同的評價準則衡量。因此，必須將不同度量單位的準則，化為無量綱統一的數量標度，并按特定的法則和邏輯過程進行歸納與綜合，建立各可行方案之間具有可比性的數量關系。第一節多目標決策的目標準則體系多目標決策中均可以由目標準則體系的全部結果值所確定。可行方案在每一個目標準則下，確定—個結果值，對目標準則體系，就得到一組結果值，并經過各目標準則的效用函數，得出一組效用值。這樣，任何一個可行方案在總體上對決策主體的滿意度，通過這些效用值按照某種法則并合而得，滿意度是綜合評價可行方案的依據。第一節多目標決策的目標準則體系四、目標準則體系風險因素的處理

多目標決策的風險因素，應該在目標準則體系中對涉及風險因素的各子目標分別加以處理。對存在風險因素的所有目標準則都分別作這樣的技術處理。于是，風險型多目標問題就轉化為確定型多目標問題。第二節多維效用并合方法一、多維效用并合模型在圖5-2中，設H表示可行方案的總效用值，即滿意度v1，v2，...，vi

，表示第二層子目標的效用值，如此類推，w1，w2，...，wj

表示倒數第二層各子目標的效用值；u1，u2，...，us表示最低一層各準則的效用值。符號“●”表示按某種規則和邏輯程序進行的效用并合運算。效用并合過程從下到上，逐層進行。Hv1w2w1v2w4w3viwkwk-1u2u1ulul-1..............................usus-1...圖5-2序列型多層次目標準則體系第二節多維效用并合方法最低一層各準則的效用，經過并合得到

第三層子目標的效用并合得到第二層各目標的并合效用值第二節多維效用并合方法最后，可行方案ai

的滿意度多維效用并合的最滿意方案為a*，其滿意度第二節多維效用并合方法二、多維效用并合規則在多目標決策中，根據決策目標的不同屬性，效用并合采取不同方式進行。（一）距離規則二維效用并合的距離規則滿足如下條件：當二效用同時達到最大值時，并合效用達到最大值；當二效用同時取最小值時，并合效用取零效用值；二效用之一達到最大值，均不能使并合效用達到最大值。二維效用平面上其余各點效用值，與該點與并合效用最大值點的距離成正比例。這種并合規則稱之為距離規則。第二節多維效用并合方法設二維效用函數公式(5-2)可以推廣到多維情形，

成本和效益的效用并合應該按距離規則進行，由公式（5-3）知，并合效用函數第二節多維效用并合方法（二）代換規則二維效用并合的代換規則適合如下情況：二效用對決策主體具有同等重要性，只要其中一個目標的效用取得最大值，無論其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也達到最高水平，與二效用均達到最高水平一樣。

第二節多維效用并合方法代換規則的二維效用并合公式為

推廣到多維情形，n維效用并合的代換規則公式為第二節多維效用并合方法（三）加法規則二維效用并合的加法規則適用于如下情況：二效用的變化具有相關性，對并合效用的貢獻沒有本質差異，并且可以互相線性地補償，即一目標效用的減少可以由另一目標效用值的增加得到補償。第二節多維效用并合方法加法規則n的維并合效用公式為加法規則的二維效用并合公式為第二節多維效用并合方法（四）乘法規則乘法規則適用于如下情況：二目標效用對于并合效用具有同等重要性，相互之間完全不能替代，只要其中任意一個目標效用值為0，無論另一個目標效用取值多大，并合效用值均為0。第二節多維效用并合方法第二節多維效用并合方法第二節多維效用并合方法（五）混合規則混合規則適用于各目標效用之間較為復雜的關系，是代換、加法和乘法三規則更為一般的情況。混合規則的二維效用并合公式其中，≥－1稱為形式因子。當≠0時，經過簡單恒等變形，公式（5—13）可以化為較為規范的形式第二節多維效用并合方法第二節多維效用并合方法三、多維效用并合方法應用實例多維效用并合方法是多目標決策的一種實用方法，在經濟管理、項目評價、能源規劃、人口控制等方面有著廣泛的應用。這里介紹的“我國總人口目標”實例是西安交通大學系統工程研究所已完成的研究課題，引用已發表的部分資料。

第二節多維效用并合方法當今世界，人類活動與人類賴以生存的生態環境有著密切的關系，人口增長和生態環境是否相適應，人口增長和經濟發展是否相協調，越來越引起世界各國的關注。社會經濟的可持續發展，是我國面向2l世紀經濟發展的戰略任務。計劃生育，控制人口增長是我國的基本國策。第二節多維效用并合方法我國總人口目標問題，多年來一直眾說紛紜，根據我國國情、經濟實力、環境資源和社會發展等諸因素，科學分析我國總人口目標，關系到我國的國計民生和社會經濟的長期穩定發展。應用多維效用并合方法，成功地對這個復雜的社會經濟問題進行研究，科學分析了我國總人口目標方案，為我國人口政策制定提供科學的依據。第二節多維效用并合方法一、問題經過統計分析測算，我國人口發展周期應是人均壽命70年，制定控制人口目標，宜以100年為時間范圍。需要確定100年內，我國人口控制最合理的總目標是多少。第二節多維效用并合方法二、方案對我國總人口目標的14個方案進行決策分析，即我國總人口分別控制為2億，3億。4億，5億，6億，7億，8億，9億，10億，11億，12億，13億，14億，15億14個人口方案，分別記為ai,其滿意度分別為Hi(i=1,2,…,14)。第二節多維效用并合方法

三、目標準則體系各國對比u9我國人口總目標HV1V2吃用v1實力v2用w2吃w1糧食u1魚、肉u2空氣u4水u5能源u6土地u3最低總和生育率u8CNPu7圖5－3目標準則體系第二節多維效用并合方法四、評價準則和效用1、糧食、魚和肉合并為一項N（人口)o1u112.664.8圖5－4糧食目標準則的效用函數第二節多維效用并合方法2、土地3、水54ou3N1056.7圖5－5土地目標準則的效用函數1ou4N4.5圖5－6水目標準則的效用函數1第二節多維效用并合方法4、能源ou5N11.5圖5－7能源目標準則的效用函數1第二節多維效用并合方法5、總和生育率βminu81o37N圖5－8βmin目標準則的效用函數第二節多維效用并合方法五、多維效用并合過程（1）u1（糧食）、u2（魚、肉）兩者宜用乘法規則。（2）u3（土地）、u4（空氣）、u5（水）宜用乘法規則。（3）u6（能源）、u7（GNP）宜用乘法規則。（4）u8（βmin）、u9（各國對比）宜用乘法規則。

第二節多維效用并合方法第二節多維效用并合方法第三節層次分析方法

美國運籌學家T.L.Saaty于20世紀70年代提出的AHP決策分析法（AnalyticHierarchyProcess，簡稱AHP方法），是一種定性與定量相結合的決策分析方法。AHP決策分析法，是解決復雜的非結構化的經濟決策問題的重要方法，是計量經濟學的主要方法之一。第三節層次分析方法一、基本原理（一）遞階層次模型將具有共同屬性的元素歸并為一組，作為結構模型的一個層次，同一層次的元素既對下一層次元素起著制約作用，同時又受到上一層次元素的制約。可以將層次分為三種類型：第三節層次分析方法（1）最高層：只包含一個元素，表示決策分析的總目標，也稱為總目標層。（2）中間層：包含若干層元素，表示實現總目標所涉及到的各子目標，也稱為目標層。（3）最低層：表示實現各決策目標的可行方案、措施等，也稱為方案層。第三節層次分析方法（二）層次元素排序的特征向量法在復雜的問題決策中，只要引入合理的度量標度，通過構造判斷矩陣，就可以用這種方法來度量每個要素的相對重要性，從而為有關決策提供依據。對于社會、經濟和管理等領域中的決策問題，通過建立層次結構模型，在相鄰兩層次之間，構造兩兩元素比較的判斷矩陣，用特征向量法求出層次單排序，最終完成遞階層次解析過程。第三節層次分析方法物體測重原理設有n個物體A1，A2，…，An，它們的重量分別記為w1，w2，…，wn，現將每個物體的重量兩兩進行比較如下：表5－2兩兩進行比較物體的重量A1A2┅AnA1w1/w1w1/w2┅w1/wnA2w2/w1w2/w2┅w2/w2┇┅┅┇┅Anwn

/w1wn

/w2┅wn

/wn第三節層次分析方法寫成矩陣的形式A稱為判斷矩陣。第三節層次分析方法若取重量向量w=(w1,w2,┅,wn)T,則有Aw=nw，w是判斷矩陣A的特征向量，n是特征值。將物體測重原理應用于層次分析法，以上層為準則，通過兩兩比較，構造判斷矩陣，然后通過求解最大特征值對應的特征向量，得到相應的優先權重。第三節層次分析方法HG11G12G1n-1G1nA1A2An-1An............………最高層中間層最低層G21G22G1k-1G1k層次結構圖第三節層次分析方法

例如，以H為決策準則，對G11，G12，...，G1n進行兩兩比較，得判斷矩陣A=(aij)n×n

，這里的元素的aij

＞0（i，j＝1，2，…，n）表示G1i，

G1j比較的結果。第三節層次分析方法二、判斷矩陣（一）判斷矩陣的構造設n個元素(方案或目標)對某一準則存在相對重要性，根據特定的標度法則，第i個元素(i＝1，2，…，n)與其它元素兩兩比較判斷，其相對重要程度為aij

（i，j＝1，2，…，n），這樣構造的n階矩陣用以求解各元素關于某準則的優先權重，稱為權重解析判斷矩陣，簡稱判斷矩陣，記作A=(aij)n×n

第三節層次分析方法構造判斷矩陣的關鍵，在于設計一種特定的比較判斷兩元素相對重要程度的標度法則，使得任意兩元素相對重要程度有一定的數量標準。T.L.Saaty教授引用的1—9標度方法，其各級標度的含義如表5-2所示。第三節層次分析方法標度定義含義1同樣重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素同樣重要3稍微重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素稍微重要5明顯重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素明顯重要7強烈重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素強烈重要9極端重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素極端重要2、4、6、8相鄰標度中值表示相鄰兩標度之間折中時的標度上列標度倒數反比較元素i對元素j的標度為aij，反之為1/aij表5-2各級標度的含義第三節層次分析方法（二）判斷矩陣的一致性檢驗判斷矩陣的一致性指標，記作其中，n為判斷矩陣的階數，λmax

為判斷矩陣的最大特征值。一般來說，C.I

越大，偏離一致性越大，反之，偏離一致性越小。另外，判斷矩陣的階數n越大，判斷的主觀因素造成的偏差越大，偏離一致性也就越大。反之，偏離一致性越小。當階數n≤2時，C.I=0，判斷矩陣具有完全的一致性。第三節層次分析方法

一致性比率，記作C.R=C.I/R.I

用一致性比率C.R檢驗判斷矩陣的一致性，當C.R越小時，判斷矩陣的一致性越好。一般認為，當C.R≤0.1時，判斷矩陣符合滿意的一致性標準，層次單排序的結果是可以接受的，否則，需要修正判斷矩陣，直到檢驗通過。第三節層次分析方法判斷矩陣的一致性檢驗步驟是：（1）求出一致性指標C.I=(λmax-n)/(n-1)（2）查表得到平均隨機一致性指標R.I；（3）計算一致性比率C.R=C.I/R.I

。當C.R.≤0.1時，接受判斷矩陣，否則，修改判斷矩陣。第三節層次分析方法三、遞階層次結構權重解析過程一）遞階權重解析公式AHP方法的目的，在于求出各方案對總目標G的優先權重，求解過程從上到下，在相鄰層次之間逐層進行，故稱為遞階權重解析。首先，討論相鄰兩層次間的權重解析。第k層子目標關于總目標G的組合優先權重向量為遞階層次結構模型如圖5-11

圖5-11遞階層次結構模型第三節層次分析方法三、遞階層次結構權重解析過程（一）遞階權重解析公式AHP方法的目的，在于求出各方案對總目標G的優先權重，求解過程從上到下，在相鄰層次之間逐層進行，故稱為遞階權重解析。首先，討論相鄰兩層次間的權重解析。第k層子目標關于總目標G的組合優先權重向量為第三節層次分析方法或者表示為分量形式其次，用公式將遞階權重解析過程表示出來，給出方案層關于總目標G的優先權重向量。表示方案層m個方案關于準則層個準則的優先權重向量，是m×s

矩陣；第三節層次分析方法最后，計算方案層各方案關于總目標G的優先權重

。這個優先權重記為于是，AHP方法遞階權重解析過程的計算公式為第三節層次分析方法（二）AHP方法的基本步驟1.建立層次結構模型將目標準則體系所包含的因素劃分為不同層次，如目標層、準則層、方案層等，構建遞階層次結構模型。

2.構造判斷矩陣按照層次結構模型，從上到下逐層構造判斷矩陣。

3.層次單排序及其一致性檢驗根據實際情況，用不同方法求解判斷矩陣最大特征值相對應的特征向量，經過歸一化處理，即得層次單排序權重向量。第三節層次分析方法4.層次總排序及其一致性檢驗層次總排序是從上到下逐層進行的。在實際計算中，一般按表格形式計算較為簡便。層次總排序檢驗的一致性指標，平均隨機一致性指標和一致性比率指標分別是第三節層次分析方法表5-6計算層次B的總排序權重值……………A1

A2…Am層次B總排序權值w1

w2…wmB1p11p12…

p1mB2p21p22…

p2mBnpn1pn2…

pnm層次A權重層次B┇第三節層次分析方法（三）AHP方法應用實例例5-2

某市中心有一座商場，由于街道狹窄，人員車輛流量過大，經常造成交通堵塞。市政府決定解決這個問題．經過有關專家會商研究，制定出三個可行方案：

1.在商場附近修建一座環形天橋；

2.在商場附近修建地下人行通道；

3.搬遷商場。

第三節層次分析方法決策的總目標是改善市中心交通環境。根據當地的具體條件和有關情況，專家組擬定5個目標作為對可行方案的評價準則：

1.通車能力；

2.方便群眾；

3.基建費用不宜過高；

4.交通安全；

5.市容美觀。試對該市改善市中心交通環境問題作出決策分析。第三節層次分析方法改善交通環境通車能力C1方便群眾C2天橋a1地道a2搬遷a3基建費用C3交通安全C4市容美觀C5圖5－12層次結構模型解：（1）建立層次結構模型；第三節層次分析方法(2)以總目標為準則，構造判斷矩陣計算判斷矩陣的最大特征值λmax=5.206及對應的特征向量w=(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059)T,計算C.R＝0.046<0.1,第三節層次分析方法同理以c1，c2，c3，c4，c5為準則構造判斷矩陣，并計算它們的最大特征值及對應的特征向量。第三節層次分析方法（3）層次總排序及一致性檢驗第三節層次分析方法改善交通環境通車能力C1方便群眾C2天橋a1地道a2搬遷a3基建費用C3交通安全C4市容美觀C5圖5－12層次結構模型注意:第三節層次分析方法注意：如果去掉C5與a3的連線，在準則C5下的判斷矩陣是2×2階，計算最大特征值對應的特征向量是二維的，此時應在對應的位置添加零，使得其變為三維向量。第四節DEA方法

DEA（DataEnvelopmentAnalysis）方法又稱為數據包絡分析方法，是對多指標投入和多指標產出的相同類型部門，進行相對有效性綜合評價的一種新方法，也是研究多投入多產出生產函數的有力工具。第四節DEA方法一、DEA模型（一）DEA模型概述DEA方法是評價多指標投入和多指標產出決策單元相對有效性的多目標決策方法，是美國著名運籌學家查思斯和庫伯教授于1978年首先提出的。在國外，DEA方法已經成功地應用于銀行、城市、醫院、學校及軍事項目等方面效率評價，在對相互之間存在激烈競爭的私營企業和公司的效率評價中，也顯示出巨大的優越性。DEA方法是以相對效率概念為基礎，特別適用于多指標投入和多指標產出決策單元的相對有效性評價。第四節DEA方法(投入）（產出）（二）C2R

模型及其基本性質x11

x12

┅x1nx21

x22┅x2n┇xm1

xm2┅xmnv11v22vm

my11

y12

┅y1ny21

y22┅y2n┇yp1

yp2┅xpnu11u22up

p12┅n第四節DEA方法xij表示第j個決策單元第i種投入指標的投入量，

xij>0；yrj表示第j個決策單元第r種產出指標的產出量，

yrj

>0；vi表示第i種投入指標的權系數，vi≥0；ur表示第r種產出指標的權系數，ur≥0；i=1，2，┅，n；j=1，2，┅，p第四節DEA方法對每個決策單元，都定義一個效率評價指標效率指標hj表示第j個決策單元多指標投入和多指標產出所取得的經濟效率，可以適當選擇權系數u，v，使得hj≤1。第四節DEA方法現建立評價第j0個決策單元相對有效的C2R模型第四節DEA方法模型（5-23）可以表示為矩陣形式記

（5-24）

有第四節DEA方法令，則化為線性規劃問題

(P)

第四節DEA方法線性規劃P的對偶規劃問題(D)

其中，松弛變量

第四節DEA方法（三）評價系統的DEA有效性定義5.1

如果線性規劃(P)的最優解滿足條件則稱決策單元j0為弱DEA有效。滿足條件定義5.2

如果線性規劃(P)的最優解

，則稱決策單元為DEA有效。

并且第四節DEA方法定理5.1

線性規劃(P)及其對偶規劃(D)都有可行解，因而都有最優解，并且最優值定理5.2

關于對偶規劃(D)，有：（1）如果(D)的最優值VD=1,則決策單元j0為弱DEA有效；反之亦然；

（2）如果(D)的最優值VD=1

，并且每個最優解都滿足條件，，則決策單元j0為DEA有效；反之亦然。第四節DEA方法定理5.3

決策單元的最優效率指標VP與投入指標值xij及產出指標值yij

的量綱選取無關。（四）評價系統有效性的判定考慮帶有非阿基米德無窮小量的模型(5-27)

第四節DEA方法其中，=（1，1，…，1），是元素均為1的m維向量，=（1，1，…，1）是元素均為1的p維向量。（）的對偶規劃為（5-28）

第四節DEA方法利用ε帶有的模型（Dε

），容易判斷決策單元DEA的有效性。為此，有以下定理。定理5.4

設ε為非阿基米德無窮小，線性規劃(Dε

)的最優解為λ0,s0-,s0+，θ0,有，（1）若＝l，則決策單元為弱DEA有效；（2）若＝l，并且＝0，＝0，則決策單元為DEA有效。

在實際操作中，只要取ε足夠小就可以了。第四節DEA方法（五）DEA有效決策單元的構造定義5.3

設λ0，s0-,s0+,θ0是線性規劃問題(Dε)的最優解．令

（5-29）稱為決策單元j0對應的(x0,y0)在DEA的相對有效面上的“投影”。

定理5.5設為決策單元j0對應的(x0,y0)在DEA的相對有效面上的投影。則新決策單元相對于原來的n個決策單元來說，是DEA有效的。

第四節DEA方法二、DEA有效性的經濟意義（一）生產函數和生產可能集1．生產函數在單投入和單產出的情況下，生產函數y=f(x)表示理想的生產狀態，即投入量x所能獲得的最大產出量y。因此，生產函數曲線上的點(x，y)所對應的決策單元，從生產函數的角度看，是處于技術有效狀態。生產函數圖形如圖5-16，圖5-16中，點A，C處于技術有效狀態。第四節DEA方法圖5-16生產函數xy第四節DEA方法2．生產可能集生產可能集定義為所有可能的生產活動構成的集合，記作T{x,y}。由于(xj,yj)是決策單元j的生產活動，于是有

(xj,yj)∈T,(i,j=1,2,┅,n)在C2R模型中，生產可能集應該滿足下面的四條公理。

第四節DEA方法即是說，如果x1，x2分別以λ,(1-λ)加權和作為投入量，則y1,y2以同樣的加權和作為產出量。公理5.1（凸性）對于任意，以及任意，均有

公理5.2（錐性）對于任意（x,y)∈T

，任意數λ≥0，均有

λ(x,y)=(λ

x,λ

y)即是說，如果以x的λ倍作為投入量，則產出量y是的同樣倍數。第四節DEA方法即是說，在原生產活動中，單方面的增加投入量或者減少產出量，生產活動總是可能的。公理5.3（無效性）對于任意（x,y)∈T

，公理5.4（最小性）生產可能集T是滿足公理1~4的所有集合的交集。第四節DEA方法由n個決策單元（）的生產活動所描述的生產可能集，滿足公理1~4是唯一確定的。這個生產可能集可以表示為

（5-30）

第四節DEA方法（二）DEA有效性的經濟意義用線性規劃模型（）評價決策單元的DEA有效性，模型第四節DEA方法為了清楚起見，考慮不含松弛變量的線性規劃模型

（5-31）

由于(x0,y0)∈T

，即（x0,y0）滿足條件第四節DEA方法線性規劃模型(D′)表示，在生產可能集內，當產出y0保持不變的情況下，盡量將投入量x0按同一比例減少。如果投入量x0不能按同一比例減少，即模型（D′）最優值V

D′=θ0=1在單投入和單產出的情況下，決策單元j0同時技術有效和規模有效。如果投入量x0能按同一比例減少，模型（D′）最優值V

D′=θ0>1，決策單元j0不是技術有效和規模有效。

第四節DEA方法(2)θ0=1，但至少有某個si0->0,(i＝1，2，┅，m),或者至少有某個sr0->0,(r＝1，2，┅，p)。決策單元j0不是DEA有效，其經濟意義是，決策單元j0不是技術效率有效，也不是規模有效。設模型（Dε）的最優解為θ0，λ0，s0-,s0+

。（1）θ0=1,且s0-=0,s0+

=0,決策單元j0不是DEA有效，其經濟意義是，決策單元j0不是技術有效和規模有效。(3)θ0<1，決策單元j0不是DEA有效，其經濟意義是，決策單元j0

的生產活動（x0,y0）既不是技術效率最佳，也不是規模收益最佳。第四節DEA方法（2）若，則決策單元規模收益遞增；（3）若，則決策單元規模收益遞減。（1）若，則決策單元規模收益不變；定理5.6

設線性規劃（Dε）的最優解為θ0，λ0，s0-，s0+

。（三）生產活動規模收益的判定第五節目標規劃方法

求解多目標線性規劃的方法很多，目標規劃是其中有效方法之一。其基本方法是，對每一個目標函數引進一個期望值。由于條件限制，這些目標值不盡然都能達到，引入正、負偏差變量，表示實際值與期望值的偏差，并將目標函數轉化為約束條件，與原有約束條件構成新的約束條件組。引入目標的優先等級和權系數，構造新的單一的目標函數，將多目標問題轉化為單目標問題求解。第五節目標規劃方法一、多目標線性規劃轉化為目標規劃問題的方法（一）期望值ek對于多目標線性規劃的每一個目標函數值Zk(k=1,2,┅,K)，根據實際情況和決策者的希望，確定一個期望值ek

。

第五節目標規劃方法（二）正負偏差變量

對每一個目標函數值，分別引入正、負偏差變量，且，。引入偏差變量之后，目標函數就變成了約束條件，成為約束條件組的一部分。原有的約束條件，也可以用引入偏差變量的辦法，將不等式約束變成約束，偏差變量起著松弛變量的作用。≥0

第五節目標規劃方法（三）達成函數（準則函數）目標規劃模型的目標函數稱為達成函數(準則函數)，通過構造達成函數，多目標問題就轉化為單目標問題。達成函數的一般形式是

（四）優先因子和權系數目標規劃的模型的一般形式是

第五節目標規劃方法第五節目標規劃方法目標規劃的建模步驟是：（1）假設決策變量；（2）建立約束條件；（3）建立各個目標函數；（4）確定各目標期望值，引入偏差變量，將目標函數化為約束方程；（5）確定各目標優先級別和權系數，構造達成函數。第五節目標規劃方法例5－9某廠生產A，B兩種型號的產品，需要消耗甲、乙兩種材料，其單位消耗、單位利潤和材料庫存如表5－8所示。市場對產品B的需求量大，要盡可能多生產，如何安排生產A，B型號產品，使廠家獲得利潤最大。根據市場需求情況，決策者確定首要目標是確保利潤755萬元，其次是產品B的產量不得低于目標值650萬件，試對廠家生產作出決策分析。第五節目標規劃方法表5－8單位消耗、單位利潤和材料庫存甲乙利潤AB0.50.10.30.30.71.0總量300180原料消耗產品第五節目標規劃方法第五節目標規劃方法本章小結在多目標決策問題中，采用目標準則體系將決策總目標經過逐層分解，形成多層次結構的子目標系統，使得最低一層子目標可以用單一準則進行評價。

多維效應并合方法從目標準則體系最低一層準則層開始按不同的并合準則并合它們的效用，得到倒數第二層子目標并合效用，以此做下去，最終得到可行方案對目標準則體系的總效用值。本章小結層次分析方法可以將復雜問題分解為若干層次和若個因素，在各因素之間進行簡單比較和計算，就可以得出不同方案重要性的權重，從而為決策方案的選擇提供依據。

DEA方法是一種新的多目標決策方法，特別適用于多指標投入和多指標產出決策單元的相對有效性評價，它不需要確定決策單元的數學模型，是非結構化的評價方法。DEA方法具有黑箱類型的特色，對經濟系統相對有效性評價獨具優勢。關鍵詞多目標決策分析(Multi-objectiveDecisionAnalysis)效用并合(UtilityCombine)層次分析法(LevelofAnalysis)數據包絡分析（DataEnvelopmentAnalysis）目標規劃(GoalProgramming)第五章多目標決策分析多目標決策分析教學目的：通過本章的學習，使學生了解單目標決策與多目標決策的區別與聯系，理解多目標問題的特點、要素，理解并掌握常用的多目標決策分析方法：AHP和目標規劃方法，結合項目決策分析理解多目標決策分析的應用。

教學重點和難點：本章主要介紹多目標決策的基本理論及多目標決策問題的要素，并結合著者進行企業績效評價的實例，介紹常用多目標決策求解方法DEA法和AHP法及其應用。并應用多目標決策方法對項目決策中項目與產品銜接策略進行了分析。難點：多目標決策與多目標評價、多目標決策問題的一般性表述、AHP法、目標規劃法。

課程導入我們面臨的是一種充滿競爭而又富于挑戰的復雜環境。在這樣的環境中，無論是高層制定戰略規劃或對策，中層對于經濟建設或生產經營的管理，以及基層具體工作安排等，都不得不權衡各方利益，考慮多種決策目標，同時，還不得不面臨國際、國內各種各樣的風險，也就是說必須要以一種系統、全面的觀念來做出決策。從這一意義上講，多目標決策更符合現實情況，在決策中更具有普遍性，因此，對它的研究具有十分重要的現實意義。

§5.1多目標決策的目標準則體系

1.多目標決策的概念：在現實生活和實際工作中遇到的更普遍的問題常常會有多個目標。如評價一個可能的就業職位優劣的問題就是典型的多目標決策問題。2.多目標決策的特點：①決策問題的目標多于一個。②多目標決策問題的目標間不可公度(non-commensurable)，即各目標沒有統一的衡量標準或計量單位，因而難以進行比較。③各目標間的矛盾性。3.多目標決策問題的分類：最常用的多目標決策問題的分類法是按決策問題中備選方案的數量來劃分。一類是多屬性決策問題(multi-attributedecisionmakingproblem)，另一類是多目標決策問題(multi-objectivedecisionmakingproblem),有些文獻也稱之為無限方案多目標決策問題(multi-objectivedecisionmakingproblemswithinfinitealternative)。4.幾個術語的含義：

(1)屬性(attribute):備選方案的特征、品質或性能參數。

(2)目標(objective):決策人所感覺到的比現狀更佳的客觀存在，用來表示決策人的愿望或決策人所希望達到的、努力的方向。在多目標決策問題中，目標是求極值(極大或者極小)的對象，即需要優化的函數式。

(3)目的(goal):目的是在特定時間、空間狀態下，決策人所期望的事情。目標給出預期方向，目的給出希望達到的水平或具體數值。

(4)準則(criterion):準則是判斷的標準或度量事物價值的原則及檢驗事物合意性的規則，它兼指屬性及目標。一、多目標決策概述1.多目標決策的示例1）宏觀經濟決策中的大型投資項目決策問題經濟評價：國民經濟評價：社會評價：環境評價：項目后評價：2）學校的擴建滿足入學要求：擴建費用最少：3）候選人選擇年齡和健康狀況：工作作風：品德：才能：4）學生畢業后的擇業選擇收入：工作強度：發展潛力：學術性：社會地位：地理位置：個人偏好：5）個人購物價格：尺寸：款式：材料：流行度：個人偏好：二、多目標決策的特點多目標性：目標的不可公度性：目標之間的矛盾性：定性指標與定量指標相混合：1）多目標性決策問題的多目標性，有示例所見，是顯而易見的。2）目標的不可公度性是指：量綱的不一致性，即各目標沒有統一的衡量標準或計量單位，因而難以比較。例如：投資項目評價3）目標之間的矛盾性如果多目標決策問題中存在某個備選方案，它能使所有目標達到最優，即存在最優解，此時，不存在目標間的矛盾性。一般情況下，各個備選方案在各目標間存在著某種矛盾。即如果采用一種方案去改進某一目標的值，很可能會使另一目標的值變壞。4）定性指標與定量指標相結合在多目標決策中：有些指標是明確的，可以定量表示出來，如：價格、時間、產量、成本、投資等。有些指標是模糊的、定性的，如候選人問題中，有變量：人的思想品德、工作作風、機制改革問題、市場應變能力。不能用求解單目標決策問題的方法求解多目標決策問題。三、多目標決策問題的分類1）多屬性決策問題（有限方案多目標決策問題）決策變量是離散的備選方案數量是有限的對備選方案進行評價后排定各方案的優劣次序，再從中擇優。2）多目標決策問題（無限方案多目標決策問題）決策變量是連續的備選方案是無限的用線性規劃理論，進行向量優化，選取最優方案多屬性決策問題和多目標決策問題，都是多準則決策問題。四、多目標決策的求解過程第一步，提出問題。第二步，闡明問題。第三步，構造模型。第四步，分析評價。第五步，擇優實施。1）提出問題第一步，提出問題。目標高度概括。2）闡明問題第二步，闡明問題。使目標具體化，要確定衡量各目標達到程度的標準。即屬性以及屬性值的可獲得性，清楚地說明問題的邊界與環境。3）構造模型第三步，構造模型。選擇決策模型的形式，確定關鍵變量以及這些變量之間的邏輯，估計各種參數，并在上述工作的基礎上產生各種備選方案。4）分析評價第四步，分析評價。利用模型并根據主觀判斷，采集或標定各備選方案的各屬性值，并根據決策規則進行排序或優化。5）擇優實施第五步，擇優實施。根據優化結果，選擇優化方案，付諸實施。五、多目標評價評價的類別評價的原則評價的實施價值判斷1）評價的類別評價或評估一類是對現存的已有系統或被評價對象進行的。該類評價以獲取評價結果作為目的，評價結果可以作為決策的依據，但是不必與決策發生直接的聯系。對一個方案進行評價，主要用于考核。另一類是對待建系統的評價。該類評價以獲取系統為目的、評價只是獲取系統的決策的依據。對多個方案進行評價，主要用于決策。2）評價的原則科學性：評價所用的方法要科學化，程序化。信息的管理要集中化、系統化。客觀性：應當盡量避免由于評價實施者的個人傾向或偏見造成評價結果的主觀隨意性。可比性：在確定評價對象和評價標準時，還應當注意只有在相類似的條件或基礎上才能進行相互間的比較有效性：在評價時，要力爭用最少費用取得盡可能好的結果。動態性：一是被評價對象的屬性往往是動態的，二是評價的指標是動態的。3）評價的實施評價應該分兩個階段進行：首先要搞清已有系統的實際性能和質量狀況或待建系統可達到的性能和質量狀況。其次是把這些性能和質量狀況與規定的標準相對照（比較），對系統的性能和質量作出判斷。4）價值判斷事實元素：用科學手段和方法，借助儀器儀表檢測，或通過變換成為可以檢測的元素。價值元素：無法用任何科學手段或儀器來檢測或處理。決策科學與自然科學區別：是否研究價值元素。決策科學與社會科學區別：是否對價值判斷進行量化。多目標決策所涉及的價值元素和需進行的價值判斷有：構造問題的時候，決策人的需要、企圖等主觀因素對所辨識問題的界限和決策問題環境、對確定決策問題的目標及相應屬性有著重要影響。系統建模中，選擇決策模型的形式、確定模型的關鍵變量也不可避免地涉及決策人的價值判斷。進行分析評價時，要選擇適當的決策原則，并由決策分析人員根據決策人的偏好結構即價值觀來進行分析和評價。在整個多目標評價和多目標決策問題的求解過程中，決策人的價值判斷始終在起作用，而決策人的偏好結構對最終結果的影響最為關鍵。六、多目標決策問題的要素

1.決策單元和決策人決策人是有能力改變系統的人，這里的能力指進行這種變化的責任與權力。決策單元則是由決策人、分析人員和作為信息處理器的人機系統構成。決策單元的功能是：接受輸入信息，產生內部信息，形成系統知識，提供價值判斷，做決定。

2.目標集及其遞階結構為了清楚地闡明目標，可以將目標表示成層次結構：最高層目標是促使人們研究該問題的原動力，但是它過于籠統，不便運算，需分解為具體而便于運算的下層目標。

3.屬性集和代用屬性屬性就是對基本目標達到程度的直接度量，也就是說對每個最下層目標要用一個或幾個屬性來描述目標的達到程度。當目標無法用屬性值直接度量時，用以衡量目標達到程度的間接量稱為代用屬性(proxyattribute)。

4.決策形勢一個多目標決策問題的基礎是決策形勢（或稱決策情況），它說明決策問題的結構和決策環境。為了說明決策形勢，必須清楚地識別決策問題的邊界和基本的組成，尤其是要詳細說明決策問題所需的輸人的類型和數量，以及其中哪些是可獲得的；說明決策變量集和屬性集以及它們的測量標度，決策變量之間、決策變量共屬性之間的因果關系；詳細說明方案集和決策環境的狀態。

5.決策規則在作決策時決策人力圖選擇“最好的”可行方案，這就需要對方案根據其所有屬性值排列優劣次序(或分檔定級)。而對方案排序或分檔定級的依據稱做決策規則。七、多目標決策問題的符號表示

1.多目標決策問題的一般性表述：完整地表達多目標決策問題（MODP）需要清楚地說明下列五個要素：①決策單元（DMU)，包括決策人（DM)；②目標集及其層次結構，或稱指標體系；③屬性集，如果目標與屬性之間的關系不是顯而易見的，則應說明目標與屬性間的關系；④

決策形勢（DS）；

⑤決策規則（DR）。

2.幾種典型多目標決策問題的符號表示：①

風險型多屬性決策問題②在確定性情況下采用滿意決策規則求解多屬性決策問題

③具有最優化決策規則的連續型多目標決策問題

3.兩類多目標決策問題的對照表§5.2

層次分析法（AHP法）層次分析法概述層次分析法的基本步驟層次分析法的應用層次分析法的發展(1)層次分析法概述層次分析法（AnalyticHierarchyProcess，簡稱AHP）是20世紀70年代由美國學者薩蒂最早提出的一種多目標評價決策法。將決策者對復雜系統的評價決策思維過程數學化,保持決策者思維的一致性。先分解后綜合的系統思想在決策中使用AHP法的優點：適用性選擇和判斷反映了對問題的認識簡潔性應用只需掌握簡單的數學工具特征:分解、判斷、綜合實用性定性與定量結合優化技術應用范圍廣系統性復雜問題系統的各個組成部分與相互關系(2)層次分析法的基本步驟建立層次結構模型；構造判斷矩陣；層次單排序及一致性檢驗；層次總排序及一致性檢驗。①建立層次結構模型多級遞階結構一般可以分成三層，即目標層，準則層和方案層。目標層：解決問題要想達到的目標。準則層：針對目標，評價各方案時所考慮的各個子目標（因素或準則），可以逐層細分。方案層：解決問題的方案。分解法：目的分目標(準則)

指標(子準則)……

方案解釋結構模型化方法(ISM法)例：購買某型號設備

在功能、價格、維護三個方面進行考慮例

挑選合適的研究工作

有三個單位表示愿意錄用某畢業生，該生根據已有信息建立了一個層次結構模型。

層次結構往往用結構圖形式表示，圖中標明上一層次與下一層次要素之間的聯系。如果上一層的每一要素與下一層次所有要素均有聯系，稱為完全相關結構。如上一層每一要素都有各自獨立的、完全不相同的下層要素，稱為完全獨立性結構由上述兩種結構結合的混合結構

完全相關結構

完全獨立性結構

混合結構

②判斷矩陣判斷矩陣是層次分析法的基本信息，也是計算各要素權重的重要依據。建立判斷矩陣假設在準則H下要素的權重分別為，即

表示以判斷準則H的角度考慮要素

對的相對重要程度。對于準則H，對下一層的n個要素進行兩兩比較，來確定矩陣的元素值應該滿足：

判斷尺度判斷矩陣中的元素是表示兩個要素的相對重要性的數量尺度，稱做判斷尺度，其取值如表所示。選擇1—9之間的整數及其倒數作為aij取值的主要原因是，它符合人們進行比較判斷時的心理習慣實驗心理學表明，普通人在對一組事物的某種屬性同時作比較、并使判斷基本保持一致時，所能夠正確辨別的事物最大個數在5～9判斷矩陣標度定義標度含義1兩個要素相比，具有同樣重要性3兩個要素相比，前者比后者稍微重要5兩個要素相比，前者比后者明顯重要7兩個要素相比，前者比后者強烈重要9兩個要素相比，前者比后者極端重要2，4，6，8上述相鄰判斷的中間值倒數兩個要素相比，后者比前者的重要性標度③相對重要度及判斷矩陣的最大特征值的計算(單排序)在應用層次分析法進行系統評價和決策時，需要知道Ai關于H的相對重要度，也就是Ai關于H的權重由于判斷矩陣A的最大特征值所對應的特征向量即為W，為此，可先求出判斷矩陣的最大特征值所對應的特征向量，再經過歸一化處理，即可求出Ai關于H的相對重要度求A的最大特征值和其對應的特征向量單位化權重向量W(a)求和法(算術平均法)

A的元素按列歸一化將歸一化后的各列相加將相加后的向量歸一化（b）方根法(幾何平均法)

A的元素按行相乘開n次方歸一化(c)特征根方法

由正矩陣的Perron定理可知存在且唯一，W的分量均為正分量，可以用冪法求出及相應的特征向量W。該方法對AHP的發展在理論上有重要作用。(d)最小二乘法

用擬合方法確定權重向量，使殘差平方和為最小，這實際是一類非線性優化問題。

普通最小二乘法

對數最小二乘法

求特征值：④相容性（一致性）判斷根據矩陣理論，判斷矩陣在滿足上述一致性的條件下，n階矩陣具有唯一非零的、也是最大的特征值

，其余特征值均為零。

W是矩陣A的對應于特征值n的特征向量。由于判斷矩陣的三個性質中的前兩個容易被滿足，第三個“一致性“則不易保證。如判斷矩陣A被判斷為A'有偏差，則稱A'為不相容判斷矩陣，這時就有

若矩陣A完全相容，則有λmax=n，否則λmax>n這樣就提示我們可以用λmax-n的關系來度量偏離相容性的程度。度量相容性的指標為C.I.

一般情況下，若C.I.≤0.10，就可認為判斷矩陣A'有相容性，據此計算的W'是可以接受的，否則重新進行兩兩比較判斷。一致性檢驗：判斷矩陣的維數n越大，判斷的一致性將越差，為克服一致性判斷指標隨n增大而明顯增大的弊端，于是引入修正值R.I.，見下表：

n12345678910R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.49R.I.是同階平均隨機一致性指標C.R.作為衡量判斷矩陣一致性的指標更為合理的

C.R.<0.1時，便認為判斷矩陣具有滿意的一致性⑤綜合重要度的計算最終歸結為最低層（方案、措施、指標等）相對于最高層（總目標）相對重要程度的權值或相對優劣的次序。

(3)層次分析法的應用例1購買某型號設備

在功能、價格、維護三個方面進行考慮對準則G的G-C矩陣G C1 C2 C3

W C1

1 5 3 λmax=3.038

0.6333 C2 1/5 1 1/3 C.I.=0.019 0.1061 C3

1/3 3 1 C.R.=0.03 0.2604 對準則C1的C1-P矩陣C1 P1 P2 P3

W P1 1 1/4 2λmax=3 0.1818 P2 4 1 8 C.I.=0 0.7272 P3 1/2 1/8 1 C.R.=0 0.0910 對準則C2的C2-P矩陣

C2P1P2 P3

W P1

14 1/3 λmax=3.018 0.2572 P2

1/41 1/8 C.I.=0.009 0.0738P3

3 8 1 C.R.=0.015 0.6690 對準則C3的C3-P矩陣

C3P1P2P3

W P1

1 1 1/3λmax=3.0290.1867