第第頁廣東省廣州市荔灣區2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、單選題1．已知(1+2A．2?i B．2+i C．?2+i2．已知向量a=(2，0)，b=A．1 B．0 C．?1 D．?23．一個小商店從一家食品有限公司購進10袋白糖，每袋白糖的標準質量是500g，為了了解這些白糖的質量情況，稱出各袋白糖的質量（單位：g）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，記10袋白糖的平均質量為x，標準差為s，則質量位于x?s與xA．6 B．7 C．8 D．94．已知事件A，B，且P(A)A．若B?A，則PB．若A，B互斥，則P(A∪BC．若A與B相互獨立，則P(A∪BD．若A與B相互獨立，則P(A5．已知a，b，c是同一平面內的三個向量，則（）A．若a∥b，bB．若a是非零向量，b≠c，則a?C．若a=(1，?1)，D．若a，b，c兩兩的夾角相等，且|a|=1，|b6．某小區從2000戶居民中隨機抽取100戶進行月用電量調查，發現他們的用電量都在50~350kW·h之間，進行適當的分組后（每組為左閉右開的區間），畫出頻率分布直方圖如圖所示．則（）A．小區用電量平均數為186.5，極差為300B．小區用電量中位數為171，眾數為175C．可以估計小區居民月用電量的85%分位數約為262.5D．小區用電量不小于250kW·h的約有380戶7．已知母線長為a的圓錐的側面展開圖為半圓，在該圓錐內放置一個圓柱，則當圓柱的側面積最大時，圓柱的體積為（）A．3128πa3 B．364π8．如圖，設Ox，Oy是平面內相交成θ角的兩條數軸，e1，e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量OP=xe1+ye2，則把有序數對A．(B．(C．(D．(二、多選題9．已知復數z1=x+yiA．(B．復平面內z2C．zD．復平面內滿足|z10．在一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數字1，2，3，4．連續拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次底面朝下的數字，記事件A=“兩次記錄的數字之和為偶數”，事件B=“第一次記錄的數字為偶數”；事件C=“第二次記錄的數字為偶數”，則（）A．P(A)C．P(A)11．已知函數f(A．函數f(x)B．函數f(x)C．函數f(x)D．函數f(x12．已知正方體ABCD?A1B1C1DA．EF⊥CB．直線EF與BC1C．直線EF與平面ABC1D．直線B1D與平面A1三、填空題13．若復數z在復平面內對應的點位于第二象限，且|z|=214．已知|a|=6，e=(0，1)，當向量a，e15．如圖，長方體木塊ABCD?A1B1C1D1中，BC=BB1=1，AB=2，E，F，G分別是線段16．如圖，已知直線l1//l2，A是直線l1，l2之間的一定點，并且點A到l1，l2的距離分別為h1，h2，B，C分別為直線四、解答題17．將函數g(x)=tan（1）解不等式g(x)（2）證明：tan(18．如圖，A，B兩點都在河的對岸（不可到達），為了測量A，B兩點間的距離，在A，B兩點的對岸選定兩點C，D，測得CD=a，并且在C，（1）求A，（2）設AC與BD相交于點O，記△AOD與△BOC的面積分別為S1，S19．如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=2，（1）證明PQ∥平面ABC；（2）求多面體B120．某品牌計算機售后保修期為1年，根據大量的維修記錄資料，這種品牌的計算機在使用一年內維修次數最多的是3次，其中維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%．（1）若某人購買1臺這種品牌的計算機，求下列事件的概率：A＝“在保修期內需要維修”；B＝“在保修期內維修不超過1次”；（2）若某人購買2臺這種品牌的計算機，2臺計算機在保修期內是否需要維修互不影響，求這2臺計算機保修期內維修次數總和不超過2次的概率．21．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，AC與BD相交于點O，E為CD的中點，PA=PB=2，∠PAD=∠PBC（1）證明：平面POE⊥平面ABCD；（2）當點A到平面PCD的距離最大時，求側面PAB與底面ABCD所成二面角的大小．22．某工藝品加工廠生產線一天能生產200件某款產品，該產品市場評級規定：工藝質量指標值大于或等于10的為A等品，小于10的為B等品．廠家將A等品售價定為160元/件，B等品售價定為140元/件．下表是檢驗員在現有生產線上隨機抽取的16件產品的工藝質量指標值：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得x=116i=116xi為了提高產品質量，該廠計劃通過增加生產工序來改進生產工藝，已知增加生產工序每年需花費30萬元，改進后該條生產線產能不變，但生產出的每件產品工藝質量指標值均提高0.05．（1）若將隨機抽取的16件產品中各等級產品的頻率視為概率，估計改進后該廠的年收益是否增加，并說明理由．（一年按365天計算）（2）根據隨機抽取的16件產品的工藝質量指標值，估計改進后該廠一天生產的所有產品的工藝質量指標值的平均數和方差．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由題意可得：z=4+3i1+2i=4+3i1-2i2．【答案】C【解析】【解答】由題意可知：a→+λb→=2+λ，-λ，

因為a+λb與b垂直，則3．【答案】B【解析】【解答】由題意可知：x=方差s2=110[(495?500)2所以質量位于x?s與x+s之間的白糖袋數有故答案為：B

【分析】根據題意求平均數和方差，進而可得x?s=496，4．【答案】D【解析】【解答】對于A：若B?A，則P(A∪B)=PA=0.7，P(AB)=PB=0.2，故A錯誤；

對于B：若A，B互斥，即A∩B=?，則P(A∪B)=PA+PB=0.9，P(AB)=0，故B錯誤；

對于C：若A與B相互獨立，則P(AB)=PAPB=0.14，5．【答案】B【解析】【解答】對于A：若b→=0→，則對任意a→，c→，均有a∥b，b∥c，但不一定有a∥c，故A錯誤；

對于B：因為a?b=a?c，等價于a→·(b→?c→)=0，等價于a⊥(b?c)，

所以a?b=a?c是a⊥(b?c)的充要條件，故B正確；

對于C：因為6．【答案】C【解析】【解答】有頻率分布直方圖可知每組的頻率分別為：0.12，0.18，0.3，0.22，0.12，0.06，

對于A：因為用電量最大為350，最小為50，所以極差為350-50=300，

小區用電量平均數為75×0.12+125×0.18+175×0.3+225×0.22+275×0.12+325×0.06=186，故A錯誤；對于B：因為第三組的頻率最大，小區用電量眾數為150+2002又因為0.12+0.18=0.3<0.5，0.12+0.18+0.3=0.6>0.5，可知小區用電量中位數在[150，200)，設為m，則0.3+(m?150)×0.0060=0.5，解得m=550對于C：因為0.12+0.18+0.3+0.22=0.82<0.85，0.12+0.18+0.3+0.22+0.12=0.94>0.85，則估計小區居民月用電量的85%分位數在[250，300)，設為x，則0.82+(x?250)×0.0024=0.85，解得x=262.5，故C正確；對于D：樣本中小區用電量不小于250kW·h的頻率為0.12+0.06=0.18，所以小區用電量不小于250kW·h的約有2000×0.18=360戶，故D錯誤.故答案為：C．

【分析】根據頻率分布直方圖求各組的頻率，進而結合眾數、平均數、中位數、極差和百分位數的概念逐項分析判斷.7．【答案】B【解析】【解答】設圓錐底面半徑為R，高為H，因為圓錐的側面展開圖為半圓，則2πR=12×2πa，解得R=12a設圓柱底面半徑為r，高為h，如圖所示，

因為hH=R?rR則圓柱的側面積S=2πrh=3當且僅當2r=a?2r，即r=a4時，等號成立，可得h=32(a?2×14

【分析】設圓錐底面半徑為R，高為H，根據題意結合側面展開圖為半圓可得R=12a，設圓柱底面半徑為r，高為h，再結合圓錐的結構特征可得h=328．【答案】D【解析】【解答】由題意可知：OM→=x1e1→可得MN→=x1-所以坐標系中M(x1(x故答案為：D.

【分析】根據題意可得OM→=x9．【答案】B,C【解析】【解答】對于A：取x=0，y=1，θ=0，則z1=i，z2=1，可知：z1+顯然(z對于B：因為z22=(cosθ+isinθ所以復平面內z22對應的點的集合是標準的單位圓，故B正確；

對于C：因為z1+z2=x+cosθ所以z1對于D：因為在復平面內z1，i對應的點為Px，y，C0，1，

由|故答案為：BC.

【分析】對于A：取特值檢驗；對于B：根據復數的乘法可得z210．【答案】A,B,D【解析】【解答】設a，b為連續連續拋擲這個正四面體木塊兩次的結果，其中a為第一次的結果，b第二次的結果，

可知拋擲這個正四面體木塊兩次，所得總的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，

共16個基本事件，事件A=”(1，1)，(1，3)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，2)，(4，4)“，共8個基本事件，事件B=”(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)“，共8個基本事件，事件C=”(1，2)，(1，4)，(2，2)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(4，2)，(4，4)“，共8個基本事件，事件AB=”(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)“，共4個基本事件，事件BC=”(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)“，共4個基本事件，事件AC=”(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)“，共4個基本事件，事件ABC=”(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)“，共4個基本事件，可知P(A)=P(B)=P(C)=8且P(A)P(B)P(C)=1故答案為：ABD.

【分析】根據題意列舉所有基本事件，以及事件A，B，C，AB，BC，AC，ABC包含的基本事件，結合古典概型運算求解，逐項分析判斷.11．【答案】B,C【解析】【解答】由題意可得：f(x)==cos對于A：因為fπ4=2cos3π4=-1對于B：因為f-3π8=2cos對于C：因為[?π8，3π8]，則2x+π4∈[0對于D：令x=0，則f(x+π2)=f(所以f(x+故答案為：BC.

【分析】根據三角恒等變換整理得fx=212．【答案】C,D【解析】【解答】對于A，取CD的中點為G，連接EG，設AC∩EG=O，連接D1因為O為EG，AC的中點，則EO∥AD，EO=1又因為F為A1D1可得EO∥FD1，EO=FD1，所以四邊形FD1OE是平行四邊形，則因為AD1=AC=CD1，可知△ACD1是正三角形，

且O是AC的中點，則∠OD1對于B：因為AB∥C所以四邊形ABC1D由選項A可知：EF∥D1O，所以直線EF與BC1所成的角為由選項A可知：△ACD1是正三角形，O是AC的中點，所以對于C：連接A1因為AB⊥平面AA1D又因為AD1⊥A1D，設AB=2，由F是A1D1的中點，所以F到平面AB所以直線EF與平面ABC1所成的角的正弦值為對于D，連接B1因為BB1⊥平面A1B1C1D1，則BB1⊥A1C1，

且A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1=所以直線B1D與平面A1故答案為：CD.

【分析】對于A：取CD的中點為G，連接EG，設AC∩EG=O，連接D1O，AD1，分析可知直線EF與CD1所成的角為∠OD1C（或其補角），進而分析求解；對于B：分析可知：直線EF與BC1所成的角為∠AD113．【答案】?1+3【解析】【解答】由題意可設：z=a+bi，a<0，b>0，因為|z|=a2+b2=2，所以故答案為：?1+3

【分析】根據復數的幾何意義以及模長公式分析求解.14．【答案】3【解析】【解答】由題意可得：e→=1，即e為單位向量，則a→·e→=6×1×32=33，

所以向量a在向量e15．【答案】3【解析】【解答】連接EG，EF，GF，A由題意可知：A1E∥DG，A1E=DG且A1D?平面EFG，EG?平面EFG，所以又因為DP∥平面EFG，A1D∩DP=D，所以平面且平面A1DP∩平面A1B1C1因為E，F分別是線段AB1，B1所以點D與滿足題意的點P構成的平面截長方體所得截面的面積為△DA由題意可得：DA1=可得邊DA1上的高為所以所得截面的面積為12故答案為：32

【分析】根據線面平行、面面平行的判定定理可得平面A1DP∥平面EFG，結合面面平行的性質可得A1P∥EF16．【答案】3【解析】【解答】由題意可知：DE⊥l1，DE⊥l2，設∠BAE=θ，

1.當點B，C位于直線DE同側時或直線DE上，則θ∈0，π3，因此△ABC的面積S△ABC=12×h1cosθ×h2cos(60°?θ)×32

=3h2.當B，C位于直線DE兩側時，則θ∈π3，π2，∠CAD=θ-60°，

因此△ABC的面積S△ABC=12×h1cosθ×h2cos(θ-60°)×32

=3h1h24cosθ1故答案為：33

【分析】設∠BAE=θ，分類討論B，C與直線DE的位置關系，用θ表示AB，AC，利用面積公式結合三角恒等變換整理得S△ABC17．【答案】（1）解：∵x∈[0因為tan(2x+π解得x∈[（2）證明：函數g(x)=tan(2x+tan(=1+故原等式成立.【解析】【分析】(1)以2x+π3為整體，結合正切函數運算求解；

(2)根據三角函數圖象變換可得f18．【答案】（1）解：在△ACD中，∠ADC=∠BDA+∠BDC=105°，∠ACD=45°，所以∠CAD=30°又CD=a，所以由CDsin30°=在△BCD中，∠BCD=∠ACB+∠ACD=105°，∠BDC=30°，所以∠CBD=45°又sin105°=所以由BDsin105°=在△ABD中，∠BDA=75°，cos所以A=2a則AB=8+2（2）解：在△COD中，∠ACD=45°，∠BDC=30°，則∠COD=105°由OCsin30°=ODsin所以在△AOD中，∠BDA=75°，sin則S△在△BOC中，∠BOC=180°?∠COD=75°，BO=BD?DO=則S△所以S1【解析】【分析】(1)在△ACD中，利用正弦定理可得AD=2a，在△BCD中，利用正弦定理可得BD=3+12a，在△ABD中，利用余弦定理運算求解；19．【答案】（1）證明：取AB的中點D，連接PD，CD，

在△ABB1中，因為P，D分別為AB1正三棱柱ABC?A1B因為Q為棱CC1的中點，所以CQ∥于是PD∥所以四邊形PDCQ為平行四邊形，從而PQ∥又因為CD?平面ABC，PQ?平面ABC，所以PQ（2）解：取BC的中點E，連接AE，因為AB＝AC，所以AE⊥BC，正三棱柱ABC?A1B1C1中，又BC∩BB1=B，BC點P為線段AB1的中點，則點P到平面BCC則多面體B1PCQ的體積【解析】【分析】(1)根據題意可得PQ∥CD，進而結合線面平行的判定定理分析證明；

(2)根據線面垂直的判定定理可得AE⊥平面BC20．【答案】（1）解：設Ak=“一年內需要維修k次”，k=0，因為一年內需要維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%，所以P(P(P(（2）解：這2臺計算機保修期內維修次數總和不超過2次，則兩臺均未維修或1臺維修0次另1臺維修1次，或1臺維修0次另1臺維修2次，或2臺各維修1次，所以，這2臺計算機保修期內維修次數總和不超過2次的概率為P=0.【解析】【分析】(1)設Ak=“一年內需要維修k次”，k=0，1，21．【答案】（1）證明：在四棱錐P?ABCD中，由正方形ABCD，得AD=BC，而PA=PB=2，∠PAD=∠PBC則△PAD≌△PBC，有PD=PC，又E為CD的中點，OD=OC而PE∩OE=E，PE，OE?平面POE，因此CD⊥平面所以平面POE⊥平面ABCD.（2）解：在四棱錐P?ABCD中，延長EO交AB于F，連接PF，如圖，由于正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為CD的中點，則F為AB的中點，有EF⊥AB，PF⊥AB，于是∠PFE是側面PAB與底面ABCD所成二面角，令由（1）知CD⊥平面PFE，而CD?平面PCD，則平面PFE⊥平面PCD，在平面PFE內過F作FH⊥PE于H，而平面PFE∩平面PCD=PE，于是FH⊥平面PCD又AB//CD，CD?平面PCD，AB?平面PCD，則因此點A到平面PCD距離等于點F到平面