世界上最高的山峰是珠穆朗瑪峰，其海拔大約是8848.86m，吐魯番盆地最低處的海拔大約是-154.31m。你能說出-154.31m的含義嗎?怎樣計(jì)算珠穆朗瑪峰的海拔和吐魯番盆地最低處的海拔相差多少呢?本章將在小學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上引人負(fù)數(shù)，將數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù)。你將經(jīng)歷從具體情境中抽象出負(fù)數(shù)的過程，理解有理數(shù)運(yùn)算的意義并進(jìn)行正確運(yùn)算，通過歸納、類比、轉(zhuǎn)化等發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論，提高運(yùn)算能力和推理能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)等。2.1認(rèn)識(shí)有理數(shù)第1課時(shí)有理數(shù)你能用小學(xué)學(xué)過的數(shù)，表示下面溫度計(jì)所指示的溫度嗎?零上5℃零下5℃＋5℃－5℃某班舉行知識(shí)競(jìng)賽，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)1題加1分，錯(cuò)1題扣1分，不回答得0分；每個(gè)參賽隊(duì)的基本分均為0分。下表是用圖2-1所示的表情表示的兩個(gè)參賽隊(duì)的答題情況。(1)你能用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎久總€(gè)隊(duì)答題得分的情況嗎?試完成下表。(2)如果用“＋1”表示答對(duì)1題的得分，用“－1”表示答錯(cuò)1題的得分那么你如何填寫(1)中的表?＋6＋8－30－20嘗試·交流(1)下表是2023年1月1日四個(gè)城市的氣溫情況。你能說出表中各數(shù)的實(shí)際意義嗎?負(fù)數(shù)表示零下正數(shù)表示零上(2)珠穆朗瑪峰的海拔大約是8848.86m，吐魯番盆地最低處的海拔大約是－154.31m。8848.86m，－154.31m的實(shí)際意義分別是什么?8848.86m表示高于海平面8848.86m－154.31m表示低于海平面154.31m(3)圖2-2展示了2023年7月我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格分類別同比漲幅情況，請(qǐng)你說一說－0.5%，2.4%等數(shù)的實(shí)際意義，并與同伴進(jìn)行交流。－0.5%表示下跌0.5%2.4%表示上漲2.4%“加分與扣分”“零上溫度與零下溫度”“高于海平面與低于海平面”“上漲量與下跌量”等都是具有相反意義的量。為了表示具有相反意義的量，我們可以把其中一個(gè)量規(guī)定為正的，把與這個(gè)量意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，并分別用“＋”“－”來表示。例如，“加3分”記為＋3分，“扣2分”就記為－2分。像＋3，＋15，＋2.4%，…都是正數(shù)，正數(shù)前面的“＋”可以省略不寫。像－2，－8，－0.5%，…都是負(fù)數(shù)。0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的正數(shù)在數(shù)量上相等，表示的意義相反。例1(1)某人轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，如果用＋5圈表示沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)了5圈，那么沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)了12圈怎樣表示?(2)在某次乒乓球質(zhì)量檢測(cè)中，如果一個(gè)乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02g記作＋0.02g，那么－0.03g表示什么?解：沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)了12圈記作－12圈；解：－0.03g表示乒乓球的質(zhì)量低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.03g；(3)某大米包裝袋上標(biāo)注著“凈含量：10kg±50g”，這里的“10kg±50g”表示什么?解：每袋大米的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量應(yīng)為10kg，但實(shí)際每袋大米可能有50g的誤差，即每袋大米的凈含量最多是10kg＋50g，最少是10kg－50g。思考·交流(1)選定一個(gè)身體高度作為標(biāo)準(zhǔn)，用正負(fù)數(shù)和0表示你們班每名同學(xué)的身高與選定的身高標(biāo)準(zhǔn)的差。你是怎樣表示的?從你的表示能看出誰最高嗎?以全班同學(xué)的平均身高為標(biāo)準(zhǔn)，超出的部分記作正數(shù)，不足的部分記作負(fù)數(shù)，其中最大的正數(shù)所對(duì)應(yīng)的同學(xué)最高。還有其他方法嗎？(2)你能將所學(xué)的數(shù)進(jìn)行分類嗎?與同伴進(jìn)行交流。整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)

(rationalnumber)。隨堂練習(xí)1.(1)如果零上5℃記作＋5℃，那么零下3℃記作什么?(2)東、西為兩個(gè)相反方向，如果－4m表示一個(gè)物體向西運(yùn)動(dòng)4m，那么＋2m表示什么?物體原地不動(dòng)記作什么?－3℃該物體向東運(yùn)動(dòng)2m；0m.(3)某倉庫運(yùn)進(jìn)面粉7.5t記作＋7.5t，那么運(yùn)出面粉3.8t記作什么?－3.8t.2.所有的正數(shù)組成正數(shù)集合，所有的負(fù)數(shù)組成負(fù)數(shù)集合，所有的整數(shù)組成整數(shù)集合，所有的分?jǐn)?shù)組成分?jǐn)?shù)集合。請(qǐng)把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：正數(shù)集合：{···}。負(fù)數(shù)集合：{···}。整數(shù)集合：{···}。分?jǐn)?shù)集合：{···}。

3，－7，0，15，

閱讀·欣賞負(fù)數(shù)小史在人類生活中，早就存在著收入與支出、贏利與虧本等具有相反意義的現(xiàn)象。中國(guó)是最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國(guó)家，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》在“方程”章中首次出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，如“賣所得的錢為正，買所付的錢為負(fù)，余錢為正，不足錢為負(fù)”；同時(shí)明確提出“正負(fù)術(shù)”，其實(shí)就是正負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則：“同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。”這是世界上至今發(fā)現(xiàn)的關(guān)于負(fù)數(shù)的最早最詳細(xì)的記載。等你學(xué)了有理數(shù)的加減運(yùn)算法則之后，你就能理解“正負(fù)術(shù)”的含義了。后來，我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉微(約225-約295)在為《九章算術(shù)》“正負(fù)術(shù)”作注時(shí)指出：“今兩算得失相反，要令正、負(fù)以名之。正算(籌)赤負(fù)算(籌)黑，否則以邪正為異。”也就是說，對(duì)兩個(gè)得失相反的量，要以正、負(fù)加以區(qū)別。用紅籌表示正，黑籌表示負(fù)，也可將算籌正放、斜放來區(qū)別。劉徽實(shí)際上揭示了正、負(fù)數(shù)的意義。在國(guó)外，負(fù)數(shù)概念的建立和使用，經(jīng)歷了一個(gè)曲折的過程。印度在628年左右出現(xiàn)了負(fù)數(shù)概念，并有了負(fù)數(shù)的運(yùn)算，不過他們總把負(fù)數(shù)解釋為負(fù)債。歐洲的數(shù)學(xué)家遲遲不承認(rèn)負(fù)數(shù)，認(rèn)為零是最小的數(shù)，而比零還小的數(shù)是不可思議的。歐洲最早承認(rèn)負(fù)數(shù)的是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒(RenéDescartes，1596-1650)，他承認(rèn)解方程中出現(xiàn)的負(fù)根，不過他稱之為“假根”。直到19世紀(jì)，負(fù)數(shù)在歐洲才獲得普遍承認(rèn)。正數(shù)和負(fù)數(shù)有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)根據(jù)前面的“+”“-”來區(qū)分正數(shù)和負(fù)數(shù)；0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)具有相反意義的量正數(shù)、負(fù)數(shù)概念分類第2課時(shí)相反數(shù)和絕對(duì)值

符號(hào)不同，數(shù)量相等

一個(gè)數(shù)的數(shù)量大小叫作這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

(absolutevalue)，如3和－3的絕對(duì)值都等于3，0的絕對(duì)值等于0。通常用|a|表示數(shù)a的絕對(duì)值，如3的絕對(duì)值記作|3|＝3，－5的絕對(duì)值記作|－5|＝5。例2求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值：

a的相反數(shù)為___________。－a嘗試·思考一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值與這個(gè)數(shù)有什么關(guān)系?正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。思考·交流(1)下表呈現(xiàn)了2023年1月1日四個(gè)城市的最低氣溫和最高氣溫。你能將這四個(gè)城市的最低氣溫從低到高進(jìn)行排列嗎?你是怎么比較的?結(jié)合生活常識(shí)可知，最低氣溫由低到高依次是－19℃，－7℃，－2℃，7℃。(2)你能仿照氣溫的比較將下列這組數(shù)按照從小到大的順序進(jìn)行排列嗎?－1，0，－3，2.5，－1.5，4。從小到大依次為－3，－1.5，

－1，0，2.5，4。(3)你認(rèn)為負(fù)數(shù)和正數(shù)應(yīng)怎樣比較大小?負(fù)數(shù)和0呢?兩個(gè)負(fù)數(shù)呢?與同伴進(jìn)行交流。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。有理數(shù)大小比較的法則：例3比較下列每組數(shù)的大小：

隨堂練習(xí)1.求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值：

2.比較下列每組數(shù)的大小：

有理數(shù)概念性質(zhì)：|a|是非負(fù)數(shù)相反數(shù)絕對(duì)值有理數(shù)的大小比較法則第3課時(shí)數(shù)軸(1)圖2-3中溫度計(jì)上顯示的溫度各是多少?＋5℃0℃－10℃(2)溫度計(jì)上的刻度有什么特點(diǎn)?零上溫度

零下溫度一大格表示10℃原點(diǎn)0℃(3)你能用直線上的點(diǎn)表示有理數(shù)嗎?(3)你能用直線上的點(diǎn)表示有理數(shù)嗎?0123﹣1﹣2﹣3原點(diǎn)單位長(zhǎng)度直線﹣44在一條水平直線上取一點(diǎn)(稱為原點(diǎn))表示0，選取某一長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，規(guī)定這條直線上向右的方向?yàn)檎较颍敲聪喾捶较蚓褪秦?fù)方向。原點(diǎn)右邊的點(diǎn)可以表示正數(shù)，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)可以表示負(fù)數(shù)。這樣，所有有理數(shù)就都可以用直線上的點(diǎn)表示了。0123﹣1﹣2﹣3原點(diǎn)直線﹣44像這樣，規(guī)定了原點(diǎn)(origin)、單位長(zhǎng)度(unitlength)和正方向(positivedirection)的直線稱為數(shù)軸

(numberline)。如圖2-4，通常將數(shù)軸畫成水平直線，并選擇向右的方向?yàn)檎较颉Ｏ褚粋€(gè)平放的溫度計(jì)。畫數(shù)軸的步驟如下：①畫直線畫一條直線(通常畫成水平位置)；②取原點(diǎn)③定方向在這條直線上取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，這點(diǎn)表示0；通常規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较颍⒂眉^表示出來；④確定單位長(zhǎng)度，標(biāo)數(shù)字選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上1，2，3，…；從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上－1，－2，－3，…。在這條數(shù)軸上，＋3可以用位于原點(diǎn)右邊3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示，－4可以用位于原點(diǎn)左邊4個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示。3個(gè)單位長(zhǎng)度4個(gè)單位長(zhǎng)度嘗試·思考

任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。0123﹣1﹣2﹣3﹣44﹣1.5例4(1)如圖2-5，數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C，D分別表示什么數(shù)?解：點(diǎn)A表示－2，點(diǎn)B表示2，點(diǎn)C表示0，點(diǎn)D表示－1；(2)畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)：

解：如圖2-6所示。觀察·思考

原點(diǎn)左側(cè)原點(diǎn)右側(cè)3個(gè)單位長(zhǎng)度3個(gè)單位長(zhǎng)度在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等。一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是這個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。思考·交流將例4(2)中的各數(shù)按照從小到大的順序排列，并用“＜”連接起來；觀察它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置(如圖2-6)，你有什么發(fā)現(xiàn)?與同伴進(jìn)行交流。隨堂練習(xí)1.畫出數(shù)軸，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)，并用“＞”將它們連接起來：

0123﹣1﹣2﹣3﹣44﹣551.50-0.5-232.在數(shù)軸上距離原點(diǎn)2個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示什么數(shù)?共有兩個(gè)點(diǎn)，這兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為＋2或－2.3.在數(shù)軸上表示下列各數(shù)及其相反數(shù)，并求出它們的絕對(duì)值：

如圖：

習(xí)題2.1〉〉知識(shí)技能1.舉出幾對(duì)具有相反意義的量，并分別用正負(fù)數(shù)表示。略.2.(1)如果節(jié)約電20kW·h記作＋20kW·h，那么浪費(fèi)電10kW·h記作什么?(2)如果－20.50元表示虧本20.50元，那么＋100.57元表示什么?(3)如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示什么?－10kW·h.減少6%.盈利100.57元3.下列各數(shù)中，哪些是正整數(shù)，哪些是負(fù)整數(shù)?哪些是正分?jǐn)?shù)，哪些是負(fù)分?jǐn)?shù)?哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)?

略.4.任意寫出5個(gè)正數(shù)和5個(gè)負(fù)數(shù)，并分別把它們填入所屬的集合內(nèi)。正數(shù)集合：{···}。負(fù)數(shù)集合：{···}。略.5.下面的說法是否正確?請(qǐng)將錯(cuò)誤的改正過來。(1)有理數(shù)的絕對(duì)值一定比0大；(2)有理數(shù)的相反數(shù)一定比0小；錯(cuò)誤，有理數(shù)的絕對(duì)值一定大于或等于0.錯(cuò)誤，有理數(shù)的相反數(shù)不一定比0小.(3)如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等；(4)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等。錯(cuò)誤.如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù).正確.

7.比較下列每組數(shù)的大小：

8.(1)指出圖中數(shù)軸上A，B，C，D，E各點(diǎn)分別表示的有理數(shù)，并用“＜”將它們連接起來；A：－3，B：3.5，C：2，D：0，E：0.5。－3＜0＜0.5＜2＜3.5.(2)在數(shù)軸上把下列各數(shù)表示出來，并比較它們的大小：

略.〉〉數(shù)學(xué)理解9.小麗說：“一個(gè)數(shù)，如果不是正數(shù)，必定就是負(fù)數(shù)。”你認(rèn)為她說的對(duì)嗎?為什么?不對(duì).0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).10.某種食品包裝袋上標(biāo)注質(zhì)量為450g，對(duì)6袋該種食品的實(shí)際質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)檢測(cè)結(jié)果如下(用正號(hào)表示超過標(biāo)注質(zhì)量，用負(fù)號(hào)表示低于標(biāo)注質(zhì)量)：－25，＋10，－20，＋30，＋15，＋40。哪袋食品的實(shí)際質(zhì)量更接近標(biāo)注質(zhì)量?為什么?第2袋食品的質(zhì)量更標(biāo)準(zhǔn)，它比標(biāo)注質(zhì)量多10g，與標(biāo)注質(zhì)量相差最小.11.某班8名學(xué)生的體重(單位：kg)分別為：52，51.5，49.5，50.5，45，56，47.5，42.5.請(qǐng)你設(shè)定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，用正數(shù)、負(fù)數(shù)或0表示他們的體重。能.以50為標(biāo)準(zhǔn)，所給數(shù)據(jù)可分別表示為＋2，＋1.5，

－0.5，

＋0.5，－5，＋6，－2.5，－