4.2角第1課時角1.你能從靜態和動態兩個方面闡述什么是角嗎？能從動態方面解釋平角、周角嗎？2.角有哪些表示方法？你能舉例說明嗎？3.角的度量單位是什么？如何換算？舉例說明。4.什么是方位角？你能用方位角表示方向嗎？在小學我們學習過角，請說說你對角的認識。你能在圖4-16中找到角嗎?角(angle)由兩條具有公共端點的射線組成(如圖4-17)。角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的(如圖4-18)。角的大小與邊的長短無關。射線OA

繞端點O旋轉，當終止位置OB

和起始位置OA

成一條直線時，形成什么角？OAB當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，形成平角。注意：平角的兩邊成一條直線，但不能說直線就是平角。1平角＝180°繼續旋轉，OB

和OA

重合時，又形成什么角？OA(B)注意：周角的兩邊重合成一條射線，但不能說射線就是周角。當終止位置OB和起始位置OA重合時，形成周角.1周角＝360°如圖4-19，一條射線繞它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫作平角(straightangle)。終邊繼續旋轉，當它又和始邊重合時，所成的角叫作周角(roundangle)。平角和周角：如圖4-20，通常可以用以下方式表示角：嘗試·思考(1)用適當的方式表示圖4-21中的每個角。∠BAC，∠CAD，∠BAD。(2)在圖4-21中，∠BAC，∠CAD和∠BAD能用∠A來表示嗎?都不能用∠A來表示，因為用單個大寫英文字母表示只適用于以這一點為頂點的角只有一個時，而這3個角都是以A為頂點。和線段一樣，在學習了角的表示方法后，我們也要學習如何度量角的大小。在小學我們已經知道：1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°。為了更精密地度量角，我們規定：

歸納度分秒×60×60×3600÷60÷60÷3600角的換算：1周角＝_____°1平角＝_____°1直角＝_____°1°＝_____'1'＝_____''1''＝

_____'1'＝_____°1''＝

_______°360180906060221周角＝___平角1平角＝___直角1周角＝___直角4例1計算：(1)1.45°等于多少分?等于多少秒?(2)1800″等于多少分?等于多少度?

觀察·思考圖4-22呈現了幾個城市在中國地圖上的大致位置。(1)分別表示以北京為中心的每兩個城市之間的夾角。(2)哈爾濱在北京的北偏東大約多少度?(1)分別表示以北京為中心的每兩個城市之間的夾角。北京和哈爾濱的夾角大約是45°，哈爾濱和上海的夾角大約是105，上海和福州的夾角大約是15°，福州和西安的夾角大約是60°，西安和北京的來角大約是135°.(2)哈爾濱在北京的北偏東大約多少度?哈爾濱在北京的北偏東大約45°.1.一個動物園的部分示意圖如圖所示。(1)海洋世界在大門的正東方向，你能說出它在大門的北偏東多少度嗎?解：海洋世界在大門的北偏東90°。(2)虎豹園、猴山、大象館分別在大門的北偏東(或南偏東)多少度?解：虎豹園在大門的南偏東0°，猴山在大門的北偏東0°，大象館在大門的北偏東48°。(3)在圖中連接各個景點與大門，并用適當的方式表示各角。解：∠BOD，∠BOA，∠BOC，∠DOA，∠DOC，∠AOC。(4)指出圖中的銳角、鈍角、直角、平角。解：∠BOD，∠DOA是銳角；∠DOC是鈍角；∠BOA，∠AOC是直角；∠BOC是平角。2.(1)0.25°等于多少分?等于多少秒?

(2)2700″等于多少分?等于多少度?解：0.25°＝60′×0.25＝15′；0.25°＝15′＝60″×15

＝900″

角角的概念角的分類角由兩條具有公共端點的射線組成(靜態定義)——銳角、直角、鈍角、平角、周角由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形(動態定義)角的表示方法用三個大寫英文字母或一個大寫英文字母表示用一個阿拉伯數字表示用一個希臘數字表示角的度量與單位換算——用量角器度量，單位：度、分、秒，1°＝60′，1′＝60″角的實際應用——方位角等第2課時角的比較1.你能用哪些方法比較兩個角的大小？舉例說明。2.什么是角的平分線？你能從文字語言和符號語言兩個方面說明嗎？3.你能估計一個角的大小嗎？會計算角的和、差嗎？還記得怎樣比較線段的長短嗎?類似地，你能比較圖4-23中每組角的大小嗎?與同伴進行交流。與比較線段的長短類似，如果直接觀察難以判斷，我們可以有兩種方法對角進行比較：一種方法是用量角器量出它們的度數，再進行比較；另一種方法是將兩個角的頂點及一條邊重合，另一條邊放在重合邊的同側比較大小。方法一度量法→用量角器量出它們的角度，再進行比較.BCAEFD70°30°∠ABC＞∠DEF方法二疊合法→將兩個角的頂點及一條邊重合，另一條邊放在重合邊的同側比較大小OBAO'DCO?C在∠AOB內部O?C與OA重合O?C在∠AOB外部OBA(D)(O′)COBA(O′)(D)（C）OBA(O′)(D)C∠AOB大于∠CO′D記作∠AOB＞∠CO′D∠AOB等于∠CO′D記作∠AOB=∠CO′D∠AOB小于∠CO′D記作∠AOB＜∠CO′D嘗試·思考根據圖4-25，求解下列問題:(1)比較∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE

的大小，并指出其中的銳角、直角、鈍角、平角。∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE，∠AOB

是銳角，∠AOC

是直角，∠AOD

是鈍角，∠AOE是平角.(2)試比較∠BOC和∠DOE

的大小。(3)小亮通過折疊的方法，使OD與OC重合，OE落在∠BOC

的內部，所以∠BOC＞∠DOE。你能理解這種方法嗎?用度量法比較，可得∠BOC＞∠DOE.能，此方法是用疊合法比較角的大小.(4)請在圖中畫出小亮折疊的折痕OF，∠DOF

與∠COF

有什么大小關系?F∠DOF

＝∠COF射線OF把∠COD進行了平分角平分線的定義：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線(anglebisector)。幾何語言：

反之也成立：如圖，∠AOC＝∠BOC

＝∠AOB(或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC).這時，射線OC

是∠AOB

的平分線.操作·思考(1)估計圖4-27中∠AOB，∠DEF

的度數。估計∠AOB≈60°，∠DEF≈105°(2)量一量，驗證你的估計。∠AOB＝62°，∠DEF＝105°回顧·反思回顧研究線和角的過程，你積累了哪些研究圖形的經驗?略1.如圖，在點陣中有三個角。(1)先估計每個角的大小，再用量角器量一量；解：估計略.兩個鈍角分別為135°，135°，銳角為45°。(2)找出三個角之間的等量關系。解：題圖中兩個鈍角相等，一個鈍角和一個銳角的和為180°

45°30°60°第3課時用尺規作角1.你能用盡規作一個角等于已知角嗎？2.回顧研究線和角的過程，你積累了哪些研究圖形的經驗？我們已經知道可以通過移動其中一個角的方法比較兩個角的大小。如何移動一個角呢?比如，如何將圖4-28(1)中的∠AOB

移動到圖4-28(2)的位置，使OA

與O′A′重合?這個角的大小由什么來決定?這個角的大小由另一條邊的位置決定。(1)請你用三角尺、量角器、圓規等工具解決這一問題。(2)如果只用尺規，如何解決這個問題?請你試一試，并與同伴進行交流。例2如圖4-29，已知∠AOB，用尺規作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB。作法：1.作射線O′A′(如圖4-29)。2.以點O

為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA

于點C，交OB

于點D。3.以點O′為圓心，以OC

的長為半徑作弧，交O′A′于點C。4.以點C′為圓心，以CD

的長為半徑作弧，交前面的弧于點D′。5.過點D′作射線O′B′。

∠A′O′B′就是所要作的角。操作·思考如圖4-30，已知∠AOB，∠EOF，用尺規作圖比較它們的大小。你是怎樣做的?分別以兩角的頂點O，O′為圓心，以相同長度的半徑畫一段圓弧，與∠AOB，∠EO′F

的兩邊分別相交于點M，N

及點P，Q，再將圓規尖移至點M

處，使另一腳落在點N處，在不改變圓規張角的條件下，將圓規尖移至點P

處。如圖1，若另一腳可與點Q

重合，則∠AOB＝∠EO′F；如圖2，若另一腳落在∠EO′F

的內部，則∠AOB＜∠EO′F；如圖3，若另一腳落在∠EO′F

的外部，則∠AOB＞∠EO′F.1.如圖，已知∠AOB，請用尺規作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB。解：如圖所示.∠A′O′B′即為所要作的角。角的比較角的比較觀察法移角方法度量法疊合法角的估計用尺規作圖角的平分線定義角度數量關系及相關計算習題4.2〉〉知識技能1.將圖中的角用不同方法表示出來，并填寫下表。∠BCE∠2∠BAC∠BAD∠52.計算：

(2)6000″等于多少分?等于多少度?

3.把兩個三角尺按如圖所示那樣拼在一起，試確定圖中∠B，∠E，∠BAD，∠DCE

的度數及它們的大小關系。解：∠B＝30°，∠E＝60，∠BAD＝180°－∠BAC

＝180°－60°＝120°，∠DCE＝90°.∠B＜∠E＜∠DCE＜∠BAD.4.如圖，直線m

外有一定點O，A

是m

上的一個動點，當點A從左向右運動時，觀察∠α

和∠β

是如何變化的，∠α

和∠β之間有關系嗎?解：∠α

先變大后變小，∠β

先變小后變大，在某個位置時∠α＝∠β，但始終有∠α＋∠β＝180°5.用尺規完成下列作圖：(1)如圖(1)，已知∠ABC，以點B

為頂點，射線BA為一邊，在∠ABC外作一個角，使它等于∠ABC；(1)BCA解：如圖，∠ABD即為所要作的角。D(2)如圖(2)，已知∠α，∠β，作一個角，使它等于∠α

與∠β

的和。解：如圖，∠AOB即為所要作的角。αβOBA〉〉數學理解6.借助一副三角尺的拼擺，你能畫出75°的角嗎?15°呢?你還能畫出哪些角?這些角有什么共同特征?解：能畫出75°和15°的角.還能畫出30°，45°，60°，90°105°，120°，135°，150°，165°等角，這些角的度數都是15的整數倍。7.小華在探究用尺規作與∠AOB

相等的∠A′O′B′時，提出了如圖所示的方法，小華的作法與本節的作法有什么區別?請你說說小華這樣做的道理。解：區別：小華的作法中OC

與OD

不相等.道理：在小華的作法中，雖然OC與OD

不相等，但是OC＝OC′，OD＝OD′，CD＝CD′，這與本節的作法實質上是一致的.〉〉問題解決8.(1)如圖，分別確定四個城市相應鐘表上時針與分針所成角的度數。30°0°120°90°(2)每經過1h，時針轉過多少度?每經過1min，分針轉過多少度?解：每經過1h，時針轉過30°；

每經過1min，分針轉過6°.(3)當時鐘指向上午10:10時，時針與分針的夾角是多少度?

※(4)請你的同伴任意報一個時間(精確到分)，你來確定時針與分針的夾角。略9.如圖(1)，∠AOC

和∠BOD

都是直角。(1)如果∠DOC＝28°，那么∠AOB

的度數是多少?解：因為∠AOC＝∠BOD＝90°，所以∠AOD＝∠BOC