5.3一元一次方程的應用第1課時如圖，用一塊橡皮泥先捏出一個“瘦高”的圓柱，然后再讓這個“瘦高”的圓柱“變矮”，變成一個“矮胖”的圓柱，請思考下列幾個問題：(1)在你操作的過程中，圓柱由“高”變“矮”，圓柱的底面直徑是否變化了?還有哪些量改變了?(2)在這個變化過程中，什么量沒有變化呢?某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm的圓柱形易拉罐飲料。經(jīng)市場調(diào)研決定對該產(chǎn)品外包裝進行改造，計劃將它的底面直徑減少為6cm。那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕?(1)這個問題中包含哪些量?它們之間有怎樣的等量關系?(1)這個問題中包含哪些量?它們之間有怎樣的等量關系?圓柱形易拉罐的直徑、高，改造后的直徑、高，易拉罐的容積.

(2)設新包裝的高度為xcm，你能借助下面的表格梳理問題中的信息嗎?3.3312x130.68π9πx(3)根據(jù)等量關系，你能列出怎樣的方程?列方程時，關鍵是找出問題中的等量關系。設新包裝的高度為xcm。根據(jù)等量關系，列出方程：____________________________。解這個方程，得

x＝________。因此，易拉罐的高度變?yōu)開______cm。

14.5214.52例1用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形。(1)如果該長方形的長比寬多1.4m，那么此時長方形的長、寬各為多少米?(2)如果該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米?此時的長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化?分析：本題涉及哪些量?它們之間有怎樣的等量關系?(3)如果該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，那么此時正方形的邊長是多少米?正方形的面積與(2)中長方形的面積相比又有什么變化?(1)如果該長方形的長比寬多1.4m，那么此時長方形的長、寬各為多少米?解：設此時長方形的寬為xm，則它的長為(x＋1.4)m。根據(jù)題意，得2(x＋1.4)＋2x＝10。解這個方程，得x＝1.8。1.8＋1.4＝3.2.此時長方形的長為3.2m，寬為1.8m。(2)如果該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米?此時的長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化?解：設此時長方形的寬為xm，則它的長為(x＋0.8)m。根據(jù)題意，得2(x＋0.8)＋2x＝10。解這個方程，得x＝2.1。2.1＋0.8＝2.9。此時長方形的長為2.9m，寬為2.4m，面積為2.9×2.1＝6.09(m2)，(1)中長方形的面積為3.2×1.8＝5.76(m2)。此時長方形的面積比(1)中長方形的面積增大6.09－5.76＝0.33(m2)。(3)如果該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，那么此時正方形的邊長是多少米?正方形的面積與(2)中長方形的面積相比又有什么變化?解：設正方形的邊長為xm。根據(jù)題意，得4x＝10。解這個方程，得x＝2.5。正方形的邊長為2.5m，面積為2.5×2.5＝6.25(m2)，比(2)中長方形的面積增大6.25－6.09＝0.16(m2)。思考·交流在上面的問題中，所列方程的兩邊分別表示什么量?列方程的思路是什么?與同伴進行交流。方程的左邊是長方形的周長，右邊是鐵絲長，解題思路是長方形的周長等于鐵絲長.1.一個梯形的下底比上底多6cm，高是8cm，面積為88cm，求這個梯形的上底和下底的長度。

利用一元一次方程解決一般幾何圖形問題一般幾何圖形問題的大致類別解決方案等體積變形以體積為不變量，用不同方式表示出體積，據(jù)此等量關系列方程求解等面積變形以面積為不變量，用不同方式表示出面積，據(jù)此等量關系列方程求解等周長變形以周長為不變量，用不同方式表示出周長，據(jù)此等量關系列方程求解第2課時古代數(shù)學問題把一些書分給幾名學生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么還少2本.共有多少本書？

共有多少名學生？《九章算術》“盈不足”章第一題：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問：人數(shù)、物價各幾何?題目大意：幾個人合伙買東西，若每人出8錢，則會多出3錢；若每人出7錢，則還少4錢。合伙人數(shù)、物品的價格分別是多少?(1)問題中有哪些已知量和未知量?它們之間有怎樣的等量關系?已知量：每人出的錢數(shù)，總錢數(shù)與物品價格的差；未知量：合伙人數(shù)、物品價格.等量關系：每人出的錢數(shù)×人數(shù)－多出的錢數(shù)

＝每人出的錢數(shù)×人數(shù)＋少出的錢數(shù)(2)設人數(shù)為x，其他未知量能用含x的代數(shù)式表示嗎?請完成下表。8x8x－3x7x7x＋4(3)根據(jù)等量關系，你能列出怎樣的方程?利用表格分析數(shù)量關系是一種有效方法。設人數(shù)為x。根據(jù)等量關系，列出方程：____________。解這個方程，得x＝_______。因此，人數(shù)為_______，物價為_________錢。8x－3＝7x＋47753如果設物價為y

錢，你能列出怎樣的方程?與同伴進行交流。

例2《九章算術》“盈不足”章第五題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問：人數(shù)、金價各幾何?題目大意：幾個人合伙買金，每人出400錢，會多出3400錢；每人出300錢，會多出100錢。合伙人數(shù)、金價各是多少?分析：設人數(shù)為

x你能把下表補充完整嗎?400x400x－3400x300x300x－100問題中的等量關系是怎樣的？每人出的較多錢數(shù)×人數(shù)－多出的錢數(shù)＝每人出的較少錢數(shù)×人數(shù)－多出的錢數(shù).解：設合伙人數(shù)為x，則金價可表示為(400x－3400)錢，還可表示為(300x－100)錢，根據(jù)等量關系，列出方程：400x－3400＝300x－100.解這個方程，得

x＝33。300×33－100＝9800。因此，人數(shù)為33，金價為9800錢。方程的兩邊就是金價的兩種不同的表達式。思考·交流(1)對于例2，如果設金價為y錢，能列出怎樣的方程?有關量每人出400錢每人出300錢金價y出錢總數(shù)人數(shù)y＋3400

yy＋100

設金價為y錢，則人數(shù)可表示為________________根據(jù)等量關系，列出方程：____________________

(2)對于例2，《九章算術》給出了一種算法：人數(shù)＝兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差；物價＝每人出的錢數(shù)×人數(shù)－剩余錢數(shù)。你能理解這種解法嗎?與方程的求解過程相比，有什么不同?與同伴進行交流。第二次出錢總數(shù)－物價＝第二次剩余錢數(shù)第一次出錢總數(shù)－物價＝第一次剩余錢數(shù)

①②①和②兩邊分別相減得到兩次出錢總數(shù)之差＝兩次剩余錢數(shù)之差所以人數(shù)＝兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差.兩次出錢總數(shù)之差＝兩次每人所出錢數(shù)之差×人數(shù)，1.隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤。問：人、銀各幾何?(選自《算法統(tǒng)宗》)題目大意：幾個人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則差8兩。有多少個人?有多少兩銀子?解：設有x

個人.由題意，得7x＋4＝9x－8.解這個方程，得x＝6.7×6＋4＝46(兩).因此，有6個人，46兩銀子.古代數(shù)學問題數(shù)學問題(一元一次方程)表格分析尋找等量關系第3課時小明每天早上要到距家1000m的學校上學。一天，小明以80m/min的速度出發(fā)，出發(fā)后5min，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)小明忘了帶語文書。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一條路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多長時間?追上小明時，距離學校還有多遠?(1)問題中有哪些已知量和未知量?已知量：小明家與學校的距離、小明的速度、爸爸的速度、小明先出發(fā)的時間；未知量：爸爸追小明所用的時間、爸爸追小明期間小明所走的路程、爸爸追小明的路程.(2)想象一下追及的過程，你能用一個圖直觀表示問題中各個量之間的關系嗎?小明先出發(fā)的路程＋爸爸追小明期間小明所走的路程＝爸爸追小明的路程小明先出發(fā)的路程爸爸追小明的路程爸爸追小明期間小明走的路程(3)你是怎樣列出方程的?與同伴進行交流。設爸爸追上小明用了xmin。當爸爸追上小明時，兩人所行路程相等，如圖5-3所示。根據(jù)等量關系，可列出方程：______________________________。解這個方程，得x＝___________。因此，爸爸追上小明用了_______min，此時距離學校還有__________m。根據(jù)相等量的兩種不同表達式就可以建立等量關系，列出方程了。80x＋80×5＝180x44280小明和小華兩人在400m的環(huán)形跑道上練習長跑，小明每分鐘跑260m，小華每分鐘跑300m，兩人起跑時站在跑道同一位置。(1)如果小明起跑后1min小華才開始跑，那么小華用多長時間能追上小明?(2)如果小明起跑后1min小華開始反向跑，那么小華起跑后多長時間兩人首次相遇?例3分析：本題涉及哪些量?你能畫圖說明小明和小華跑步的情形嗎?在問題(1)和(2)中，兩人所走的路程分別有什么關系?(1)如果小明起跑后1min小華才開始跑，那么小華用多長時間能追上小明?解：設小華用xmin追上小明，根據(jù)等量關系，可列出方程：260＋260x＝300x。解這個方程，得x＝6.5.因此，小華用6.5min追上小明。(2)如果小明起跑后1min小華開始反向跑，那么小華起跑后多長時間兩人首次相遇?解：設小華起跑后xmin兩人首次相遇，根據(jù)等量關系，可列出方程：260x＋300x＝400－260。解這個方程，得x＝0.25.因此，小華起跑后0.25min兩人首次相遇。思考·交流用一元一次方程解決實際問題的一般步驟是什么?與同伴進行交流。用一元一次方程解決實際問題的一般步驟如圖5-4所示：回顧·反思回顧本節(jié)一元一次方程應用的學習，對于如何尋找等量關系列方程，你積累了哪些經(jīng)驗?1.今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺。問：幾何?(選自《孫子算經(jīng)》)題目大意：有一根木材，不知道它的長度，用一根繩子來量，繩子長出4尺5寸；將這根繩子對折來量，繩子差1尺。這根木材有多長?解：設這根木材的長為x尺.x＋4.5＝2(x－1).解這個方程，得x＝6.5.因此，這根木材長6尺5寸.閱讀·思考有人曾經(jīng)做過一個很有趣的實驗：100名飛行員在草坪上整齊地排列，把他們的眼睛都蒙起來，然后叫他們一直向前走。起初，他們走得還比較直；接著一些人漸漸向右偏轉，另一些人向左偏轉，逐漸轉起圈來，最后他們又踏上了自己已走過的路徑。實際上，很久以前人們就已經(jīng)注意到：在荒漠中沒有攜帶指南針的旅行家，也不太能走成直線方向，而是繞著圓圈打轉，接連多次回到他的出發(fā)點。“瞎轉圈”的道理上面的現(xiàn)象看起來仿佛有點神秘，其實道理并不復雜。人走路的時候，只有兩腿肌肉工作得完全相同，他才可以不需要用眼睛就能走成直線。但實際上絕大多數(shù)人的雙腿肌肉發(fā)育得并不相同。舉例來說，一位步行者左腿比右腿邁的步子大，除非用眼睛來幫助修正走路的方向，否則他就要向右邊斜過去，直至走成兩個同心圓(如圖5-5)。

解決行程問題的基本步驟問題的已知條件畫出線段圖找出等量關系列方程并求解回答同向追及問題同地不同時：甲路程＝乙路程同時不同地：甲路程＋路程差＝乙路程相向相遇問題甲路程＋乙路程＝總路程習題5.3〉〉數(shù)學理解1.兩個圓柱體容器如圖所示，它們的底面直徑分別為4cm和8cm，高分別為39cm和10cm。先在右側容器中倒?jié)M水，然后將其倒入左側容器中。倒完以后，左側容器中的水面離容器口有多少厘米?小剛是這樣做的：設倒完以后，左側容器中的水面離容器口有xcm。列方程π×22×(39－x)＝π×42×10。解得x＝－1。請你對他的結果作出合理的解釋。解：說明左側容器的容積小于右側容器的容積，即π×22×39＜π×42×10，將右側容器中倒?jié)M水，往左側容器中倒時，將會有水溢出.(答案不唯一)2.試聯(lián)系生活實際編寫一道可以用一元一次方程解決的應用問題。略〉〉問題解決3.現(xiàn)有兩塊試驗田，第一塊試驗田的面積比第二塊試驗田面積的3倍還多100m2，這兩塊試驗田的面積共2900m2，兩塊試驗田的面積分別是多少?解：設第二塊試驗田的面積為xm2，則第一塊試驗田的面積為(3x＋100)m2.由題意，得x＋3x＋100＝2900.解這個方程，得x＝700.則3×700＋100＝2200(m2).因此，第一塊試驗田的面積為2200m2，第二塊試驗田的面積為700m2.4.如圖，小強將一個正方形紙片剪去一個寬為4cm的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為5cm的長條。如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為多少?解：設正方形紙片的邊長為xcm.由題意，得4x＝5(x－4).解這個方程得x＝20.4×20＝80(cm2).因此，每一個長條的面積為80cm2.5.如圖，某種卷筒紙的外直徑為14cm，內(nèi)直徑為6cm，每層紙的厚度為0.02cm。假如把這筒紙全部拉開那么這筒紙的總長度大約是多少米(π取3.14)?

6.某物流中轉站為提高工作效率，配置了快遞自動化智能分揀設備，現(xiàn)對一批中轉貨物進行分揀。若每