第42頁（共42頁）專題03平行四邊形一、平行四邊形1．平行四邊形的概念定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．平行四邊形的定義既是性質(zhì)，又是判定．（1）由定義知平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行；（2）由定義可以得出只要四邊形中的兩組對(duì)邊分別平行，那么這個(gè)四邊形就是平行四邊形．平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線．2．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對(duì)邊相等；（2）平行四邊形的對(duì)角相等；（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分．3．兩條平行線之間的距離定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離．性質(zhì)：（1）兩條平行線之間的距離處處相等；（2）夾在兩條平行線間的平行線段相等．4．平行四邊形的判定（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．5．三角形的中位線及其定理定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段（任意一個(gè)三角形都有三條中位線）．【注意】（1）三角形有三條中位線，每一條中位線與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．三角形的中位線定義為證明兩條直線平行、兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系提供了一個(gè)重要依據(jù)．（2）三角形的中位線與中線的區(qū)別：三角形的中位線是連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段，三角形的中線是連接三角形頂點(diǎn)與其對(duì)邊中點(diǎn)的線段．（3）當(dāng)遇到中點(diǎn)時(shí)，可考慮構(gòu)造三角形的中位線來解決問題，這種思路方法就是我們常說的“遇到中點(diǎn)想中位線”；相應(yīng)地，知道三角形的中位線也就等于知道了三角形兩邊的中點(diǎn)．二、矩形1．矩形的定義：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形，也稱為長(zhǎng)方形．（2）矩形的定義有兩個(gè)要素：①四邊形是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角．二者缺一不可．【注意】不要錯(cuò)誤地把定義理解為有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形，矩形是特殊的平行四邊形．2．矩形的性質(zhì)：（1）矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)，即對(duì)邊互相平行，對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分．（2）矩形的性質(zhì)：①矩形的對(duì)邊平行且相等；②矩形的對(duì)角相等且四個(gè)角都是直角；③矩形的對(duì)角線互相平分且相等；④矩形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)邊中點(diǎn)所確定的直線是它的對(duì)稱軸，矩形有兩條對(duì)稱軸．⑤矩形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．（3）矩形的兩條對(duì)角線將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形，因此在解決相關(guān)問題時(shí)，常常用到等腰三角形的性質(zhì)，并且分成的四個(gè)等腰三角形的面積相等．3．矩形的判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（3）對(duì)角線相等的四邊形是矩形．【注意】（1）判定矩形的常見思路（2）用定義判定一個(gè)四邊形是矩形必須滿足兩個(gè)條件：一是有一個(gè)角是直角；二是平行四邊形．也就是說，有一個(gè)角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件，它才是矩形．（3）用對(duì)角線判定一個(gè)四邊形是矩形，也必須滿足兩個(gè)條件：一是對(duì)角線；二是平行四邊形．也就是說，對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件，它才是矩形．4．直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【注意】定理的條件有兩個(gè)：一是直角三角形；二是斜邊上的中線．三、菱形1．菱形的定義：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．菱形必須滿足兩個(gè)條件：一是四邊形必須是平行四邊形；二是鄰邊相等．不要錯(cuò)誤地認(rèn)為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形．（2）菱形是除矩形外的又一種特殊的平行四邊形，即有一組鄰邊相等的平行四邊形．菱形的定義既是菱形的性質(zhì)，也是菱形的判定方法．2．菱形的性質(zhì)：（1）菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)．（2）菱形的四條邊都相等．（3）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．（4）菱形是軸對(duì)稱圖形，它的兩條對(duì)角線所在的直線即是它的對(duì)稱軸．【注意】菱形的兩條對(duì)角線不是對(duì)稱軸，對(duì)角線所在直線才是菱形的對(duì)稱軸．因?yàn)閷?duì)稱軸是直線，對(duì)角線是線段．菱形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，菱形被兩條對(duì)角線所分得的四個(gè)直角三角形全等．3．菱形的面積：（1）菱形的面積=底×高．（2）菱形的面積=兩條對(duì)角線乘積的一半．4．菱形的判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．（3）四條邊都相等的四邊形是菱形．（4）對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形．【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四邊形為基礎(chǔ)的，（3）和（4）是以四邊形為基礎(chǔ)的．四、正方形1．正方形的定義（1）有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：①有一組鄰邊相等的平行四邊形（即菱形）；②并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形（即矩形）．（3）正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性質(zhì)（1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，特別地：①正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；②正方形的兩條對(duì)角線相等并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平一組對(duì)角．（2）正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．3．正方形的判定（1）根據(jù)正方形的定義．（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形．（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形．（5）對(duì)角線相等的菱形是正方形．（6）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．（7）對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形．（8）既是矩形又是菱形的四邊形是正方形．考點(diǎn)01平行四邊形的性質(zhì)與判定1．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的性質(zhì)為證明線段平行或相等、角相等提供了新的理論依據(jù)；（2）平行四邊形的兩條對(duì)角線將平行四邊形分成的四個(gè)三角形中，相對(duì)的兩個(gè)三角形全等，且四個(gè)三角形的面積相等，相鄰兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差等于平行四邊形相應(yīng)的鄰邊之差；（3）利用對(duì)角線互相平分可以解決對(duì)角線或邊的取值范圍問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系“三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”來解決．2．平行四邊形的判定（1）平行四邊形的判定方法可作為“畫平行四邊形”的依據(jù)．（2）一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，有可能是等腰梯形．（3）一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形也不一定是平行四邊形．（4）兩組鄰邊分別相等或兩組鄰角分別相等都不能判定四邊形是平行四邊形．3．平行四邊形的性質(zhì)的條件和結(jié)論正好與判定的條件和結(jié)論相反，它們構(gòu)成互逆的關(guān)系．由平行四邊形這一條件，得到邊、角或?qū)蔷€的關(guān)系，這是平行四邊形的性質(zhì)；反之，由邊、角或?qū)蔷€的關(guān)系，得到平行四邊形的結(jié)論，這是平行四邊形的判定．【典例1】（2025春?新吳區(qū)期中）如圖，四邊形，對(duì)角線，且平分，為的中點(diǎn)．在上取一點(diǎn)，使，為垂足，取中點(diǎn)，連結(jié)．下列五句判斷：①；②；③；④連結(jié)，則四邊形是平行四邊形；⑤．其中判斷正確的是A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④【答案】【分析】根據(jù)含角直角三角形的性質(zhì)即可判定①；根據(jù)題意證明出，得到，然后利用三角形中位線的性質(zhì)即可判定②；延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，然后證明出，得到，然后得到是的中位線，得到，然后結(jié)合等邊對(duì)等角得到，然后結(jié)合即可判斷③；連接，證明出，得到，然后結(jié)合，即可證明出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可判斷④；由，，而，從而得到，即可判斷⑤．【解答】解：，但，，故①錯(cuò)誤；，，平分，，又，，，中點(diǎn)為，，故②正確；如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，，，是的中位線，，，故③正確；如圖所示，連接，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，故④正確；，，而，，故⑤錯(cuò)誤，綜上所述，其中判斷正確的是②③④．故選：．【典例2】（2025春?富錦市期中）如圖，在平行四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，連接、．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，求得，得到，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形是平行四邊形；（2）由△△，得到，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，根據(jù)勾股定理得到，，于是得到四邊形的面積平行四邊形的面積△的面積．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，、分別是、的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形；（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，、分別是、的中點(diǎn)，，△△，，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形的面積平行四邊形的面積△的面積．【典例3】（2025春?銅梁區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△中，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，，連接、，交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，求△的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)結(jié)合平行線的判定即可推出結(jié)論；（2）設(shè)，，則，在△與△中，由勾股定理得出方程組求解即可推出結(jié)果．【解答】（1）證明：，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，又，，又，四邊形是平行四邊形；（2）設(shè)，，四邊形是平行四邊形，，，在△與△中，由勾股定理得，，即，解得（負(fù)值舍去），，，，．考點(diǎn)02矩形的性質(zhì)與判定1．利用矩形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形，即：矩形＝平行四邊形＋一個(gè)內(nèi)角是直角．（2）矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)，即對(duì)邊互相平行，對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分．2．利用矩形的性質(zhì)求角度利用矩形的性質(zhì)得到四個(gè)角都是直角或?qū)蔷€相等且互相平分，進(jìn)而得到等腰三角形，從而可利用等腰三角形的性質(zhì)得到相等的角，最后求解．3．利用矩形的性質(zhì)求面積利用矩形的對(duì)稱性進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可根據(jù)面積的相等關(guān)系求解．4．判定矩形的常見思路【典例4】（2025春?延津縣期中）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為A． B．6 C． D．12【答案】【分析】連接，由矩形的性質(zhì)可得，，則，再由三線合一定理得到，由平行線的性質(zhì)得到，則，可得，再證明，得到，據(jù)此可求出答案．【解答】解：在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，如圖，連接，，，，，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，；，，，，，故選：．【典例5】（2025春?莒南縣期中）如圖，在△中，，是中線，是△的外角的平分線，，垂足為．（1）求證：四邊形是矩形；（2）與之間的關(guān)系是什么？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2），．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得，，則，再證明，然后證明，即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得，再證明是△的中位線，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：△中，，是中線，，，，為△的外角的平分線，，，即，，，四邊形是矩形；（2）解：，，理由如下：由（1）知，四邊形為矩形，，△中，是中線，，是△的中位線，，．【典例6】（2025春?廣州期中）如圖，在△中，，是的中點(diǎn)．過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）8．【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的判定，證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，證明即可；（2）根據(jù)勾股定理和矩形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：由題意得，，四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，即，四邊形為矩形；（2）解：是的中點(diǎn)．，，四邊形是矩形，．考點(diǎn)03菱形的性質(zhì)與判定1．利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，主要應(yīng)用以下性質(zhì)：（1）菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)．（2）菱形的四條邊都相等．（3）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．（4）菱形是軸對(duì)稱圖形，它的兩條對(duì)角線所在的直線即是它的對(duì)稱軸．2．菱形的對(duì)角線有獨(dú)有的特征，因此也有獨(dú)特的面積求法，能夠考查學(xué)生的幾何抽象能力和實(shí)際應(yīng)用能力，是中考考查的熱點(diǎn)題型．3．判定菱形的常見思路【典例7】（2025春?武漢期中）如圖，將兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重疊部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，對(duì)角線，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是A． B． C． D．【答案】【分析】過點(diǎn)作于，設(shè)、交點(diǎn)為．根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形是平行四邊形，推出四邊形是菱形；根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)作于，設(shè)、交點(diǎn)為．兩條紙條寬度相同，．，，四邊形是平行四邊形，，又．，四邊形是菱形；，，．，，，答：的長(zhǎng)是；故選：．【典例8】（2025春?阿城區(qū)期中）如圖，在平行四邊形中，、分別為邊、的中點(diǎn)，是對(duì)角線，，交的延長(zhǎng)線于，連接，．下列結(jié)論：①；②四邊形是菱形；③；④若，，那么．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②③．【分析】①根據(jù)題意可證明四邊形為平行四邊形，繼而可判斷出此項(xiàng)正確；②根據(jù)①的結(jié)論，再結(jié)合，為邊的中點(diǎn)得出可判斷出四邊形是菱形；③根據(jù)，，可得出結(jié)論；④根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論．【解答】解：①在平行四邊形中，、分別為邊、的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，，故①正確．②由①知四邊形為平行四邊形，，為邊的中點(diǎn)，，四邊形是菱形，故②正確．④，，，四邊形為矩形，，，，，，，，，，要使，則，而，，，不恒成立，不成立，故④錯(cuò)誤．故④不正確．③由④知，，為中點(diǎn)，，，故③正確．綜上可得：①②③正確．故答案為：①②③．【典例9】（2025春?東莞市校級(jí)期中）如圖，平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，且，，．（1）求證：四邊形是菱形．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定證明即可；（2）由菱形的性質(zhì)可得，，，可求，，即可得出答案．【解答】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，．，平行四邊形是矩形，．．平行四邊形是菱形；（2）解：由（1）得：四邊形是矩形，四邊形是菱形，，，，，，．考點(diǎn)04正方形的性質(zhì)與判定1．正方形的性質(zhì)正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，正方形的兩條對(duì)角線相等并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．2．正方形的判定（1）根據(jù)正方形的定義．（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形．（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形．（5）對(duì)角線相等的菱形是正方形．（6）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．（7）對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形．（8）既是矩形又是菱形的四邊形是正方形．【典例10】（2025春?南川區(qū)期中）如圖，在正方形中，是邊上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，平分，下列結(jié)論：①，②平分，③，④，正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】【分析】由“”可證△△，可得，，可得，故④正確，由等腰三角形的性質(zhì)可得，平分，故①②正確，由勾股定理可求，故③正確，即可求解．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形是正方形，．．平分，．．．是邊的中點(diǎn)，，在△和△中，，△△，，，故④正確，，，，平分，故①②正確，設(shè)，則，，，，，，故③正確；故選：．【典例11】（2025春?澧縣期中）如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，分別交，邊于點(diǎn)，．若，則的長(zhǎng)為．【答案】．【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，先證明△△，推出，利用勾股定理求出，即可求解．【解答】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖所示：四邊形是正方形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，在△和△中，，△△，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，．【典例12】（2025春?邗江區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形中，，，，，的垂直平分線交于，交于，交的延長(zhǎng)線于，若．（1）求證：四邊形是正方形；（2）求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解答過程；（2）8．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得，，則△是等腰直角三角形，進(jìn)而得，再根據(jù)，得，，進(jìn)而得，繼而得，由此可得，則四邊形是矩形，然后根據(jù)即可得出結(jié)論；（2）證明△是等腰直角三角形得，再根據(jù)正方形性質(zhì)得，，則，進(jìn)而得，則，由此得，，據(jù)此即可得的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接，如圖所示：是的垂直平分線，，，，△是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，又，矩形是正方形；（2）解：，，△是等腰直角三角形，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，．考點(diǎn)05三角形的中位線及其定理利用三角形的中位線不僅可以證明直線平行，也可以證明線段的倍分關(guān)系．【典例13】（2025春?博羅縣期中）如圖，是的中位線，若，，，則的周長(zhǎng)是A．15 B．30 C．24 D．7.5【答案】【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：是的中位線，，，，，的周長(zhǎng)，故選：．【典例14】（2025春?尋甸縣期中）如圖，，兩點(diǎn)被池塘隔開，、、三點(diǎn)不共線．設(shè)、的中點(diǎn)分別為、．若米，則A．30米 B．40米 C．50米 D．60米【答案】【分析】根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)、的中點(diǎn)分別為、，米，是△的中位線，（米，故選：．【典例15】（2024秋?寧強(qiáng)縣期末）如圖，是△的中位線，的平分線交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，若，，求的長(zhǎng)．【答案】的長(zhǎng)為8．【分析】根據(jù)中位線性質(zhì)求出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定求出，再求出的長(zhǎng)，最后可得答案．【解答】解：是△的中位線，，，是的平分線，，，，，，，，故的長(zhǎng)為8．考點(diǎn)06折疊問題解決折疊問題需要利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，往往圖形中會(huì)產(chǎn)生特殊圖形（如等腰三角形），再根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)即可解決問題．【典例16】（2024秋?吐魯番市期末）將長(zhǎng)方形紙片的兩個(gè)直角和沿直線、折疊，得到如圖，則互為余角的是A．與 B．與 C．與 D．與【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，角的計(jì)算逐一判斷即可．【解答】解：、根據(jù)題意得，與相等，故選項(xiàng)不符合題意；、根據(jù)題意得，與相等，故選項(xiàng)不符合題意；、根據(jù)題意得，與互補(bǔ)，故選項(xiàng)不符合題意；、由題意得：得，，，，與互為余角，故選項(xiàng)符合題意；故選：．【典例17】（2025春?靈寶市期中）如圖，在中，．，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊，得到，設(shè)與交于點(diǎn)，當(dāng)與的一邊垂直時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】2或6．【分析】如圖1，當(dāng)時(shí)，如圖2，當(dāng)時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖1，當(dāng)時(shí)，平行四邊形中，，，，將沿翻折，得到，，，，，，；如圖2，當(dāng)時(shí)，平行四邊形中，，，將沿翻折，得到，，，此時(shí)與點(diǎn)重合，，，．綜合以上可得的長(zhǎng)為2或6．故答案為：2或6．【典例18】（2025春?南昌期中）如圖，將一張矩形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，直接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：四邊形是菱形．【分析】由矩形與折疊的性質(zhì)，易證得是等腰三角形，即，即可證得，即可得四邊形是菱形．【解答】證明：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)，可得：，，，，，，四邊形為菱形．考點(diǎn)07動(dòng)點(diǎn)問題一般用時(shí)間t表示出線段長(zhǎng)度，根據(jù)平行四邊形的判定方法分析有關(guān)數(shù)量關(guān)系，列方程求解，必要時(shí)需分類討論．【典例19】（2025春?延津縣期中）如圖，在四邊形中，，，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，下列說法錯(cuò)誤的是A．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形 B．當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形 C． D．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形【答案】【分析】根據(jù)的值，分別計(jì)算出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形，矩形，以及菱形的性質(zhì)進(jìn)行判斷，，，選項(xiàng)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先求得，，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求解．【解答】解：動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，，，，，，，，在四邊形中，，，．當(dāng)時(shí)，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，故正確，不符合題意；．當(dāng)時(shí)，，，，又，則，四邊形是平行四邊形，故正確，不符合題意；．如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，四邊形是矩形，，，，在△中，，故正確，不符合題意；．當(dāng)時(shí)，，，則四邊形不是菱形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，故選：．【典例20】（2025春?東莞市校級(jí)期中）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著向點(diǎn)移動(dòng)，若過點(diǎn)作、，垂足分別為、，連接，則的長(zhǎng)最小為A． B． C．5 D．7【答案】【分析】連接、，依據(jù)，，，可得四邊形為矩形，借助矩形的對(duì)角線相等，將求的最小值轉(zhuǎn)化成的最小值，再結(jié)合垂線段最短，將問題轉(zhuǎn)化成求△斜邊上的高，利用面積法即可得解．【解答】解：如圖，連接，，，．四邊形是矩形，．四邊形為矩形．．要求的最小值就是要求的最小值．點(diǎn)從點(diǎn)沿著往點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)時(shí)，取最小值．在△中，，，，，，．的長(zhǎng)度最小為：．故選：．【典例21】（2024秋?丹東期末）如圖，在邊長(zhǎng)為8的菱形中，點(diǎn)，為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，若菱形面積為60，則的最小值為A．15 B．16 C．17 D．18【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，則，可得，根據(jù)，，得，得，得，根據(jù)菱形性質(zhì)和，可得△△，得，得，得取得最小值為17．【解答】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，則，，，，，，，，，，在△和△中，，△△，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值17．故選：．考點(diǎn)08直角三角形斜邊上的中線1．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．2．直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形，這兩個(gè)等腰三角形的面積相等．3．在直角三角形中，如果遇到斜邊的中點(diǎn)，可以考慮利用此性質(zhì)，注意直角邊上的中線不具備這一性質(zhì)．定理的條件有兩個(gè)：一是直角三角形；二是斜邊上的中線．【典例22】（2025春?瓦房店市期中）如圖，在△中，是斜邊的中線，且，，則的長(zhǎng)為A．5 B．6 C．8 D．10【答案】【分析】由勾股定理求出的長(zhǎng)，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到的長(zhǎng)．【解答】解：，，，，是斜邊的中線，．故選：．【典例23】（2025春?道里區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D為AB的中點(diǎn)，連接CD，則∠BCD＝度．【答案】50．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B＝50°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出CD＝AB＝BD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝180