PAGE6-第2課時球與組合體對應學生用書P9學問點一球的有關概念及基本性質1．給出下列命題：①過球面上隨意兩點只能作球的一個大圓；②球的隨意兩個大圓的交點的連線是球的直徑；③用不過球心的平面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；④球面也可看作到定點的距離等于定長的全部點的集合；⑤半圓弧以其直徑所在的直線為軸旋轉所形成的曲面叫做球面．其中正確的個數是()A．4B．3C．2D．1答案A解析過球的直徑的兩端點可作多數個大圓，故①不正確；由球及球面的概念可知②③④⑤均正確，即正確的命題有4個．學問點二球的截面問題2．兩平行平面截半徑為5的球，若截面面積分別為9π和16π，則這兩個平面間的距離是()A．1B．7C．3或4D．1或7答案D解析本題中兩平行截面可在球心的同一側，也可在球心的兩側．如圖(1)所示，若兩個平行平面在球心的同側，則CD＝eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1．如圖(2)所示，若兩個平行截面在球心的兩側，則CD＝eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7．故選D．學問點三球面距離3．如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1的頂點均在同一個球面上，AB＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，則A，B兩點間的球面距離為________．答案eq\f(π,3)解析設球的半徑為R，由題知球的直徑等于長方體的體對角線長，即2R＝eq\r(AB2＋AA\o\al(2,1)＋BC2)＝2，所以R＝1，設O為球的球心，△ABO是邊長為1的正三角形，故A，B兩點間的球面距離為eq\f(π,3)×1＝eq\f(π,3)．學問點四組合體4．如圖，組合體(1)由基本幾何體________、________組成，組合體(2)由基本幾何體________、________、________組成．答案圓柱六棱柱圓錐圓柱長方體解析題圖(1)是由一個圓柱和一個六棱柱組成的；題圖(2)是由一個圓錐、一個圓柱和一個長方體組成的．對應學生用書P9一、選擇題1．如圖所示的組合體的組成是()A．棱柱、棱臺B．棱柱、棱錐C．棱錐、棱臺D．棱柱、棱柱答案B解析由圖知，組合體是由棱錐、棱柱組合而成．2．將一個等腰梯形圍著它較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體由下面哪些基本幾何體構成()A．一個圓臺和兩個圓錐B．兩個圓臺和一個圓錐C．兩個圓柱和一個圓錐D．一個圓柱和兩個圓錐答案D解析把等腰梯形分割成兩個直角三角形和一個矩形，由旋轉體的定義可知所得的幾何體的結構特征．3．若球的半徑為10cm，一個截面圓的面積是36πcm2，則球心到截面圓心的距離是()A．5cmB．6cmC．8cmD．10cm答案C解析由截面圓的面積是36πcm2，得截面圓的半徑為6cm，由公式得d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(102－62)＝8(cm)．4．下列圖形繞所給的直線為旋轉軸可以旋轉生成“游泳圈”型幾何體的是()答案C解析由“游泳圈”的結構可知選C．5．某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12πcm，該地球儀的半徑是()A．4eq\r(3)cmB．12cmC．16cmD．20cm答案A解析如圖所示，∵2πr＝12π，∴r＝6(cm)．設地球儀半徑為R，則eq\f(r,R)＝eq\f(6,R)＝sin60°，∴R＝4eq\r(3)(cm)．二、填空題6．棱長為a的正方體內切球的半徑為________．答案eq\f(a,2)解析正方體的六個面的中心為其內切球與正方體的公共點，故內切球的半徑為eq\f(a,2)．7．如圖，球O的半徑為2，圓O1是一小圓，OO1＝eq\r(2)，A，B是圓O1上兩點．若∠AO1B＝eq\f(π,2)，則A，B兩點間的球面距離為________．答案eq\f(2π,3)解析因為O1O＝eq\r(2)，OA＝OB＝2，由勾股定理得O1A＝O1B＝eq\r(2)，又∠AO1B＝90°，則AB＝2，所以在△AOB中，OA＝OB＝AB＝2，則△AOB為等邊三角形，那么∠AOB＝60°．由弧長公式得A，B兩點間的球面距離為eq\f(60π,180)×2＝eq\f(2π,3)．8．過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的截面，則截面的面積與球的一個大圓面積之比為________．答案eq\f(3,4)解析∵d＝eq\f(1,2)R，∴α＝30°，∴r＝Rcos30°＝eq\f(\r(3),2)R，∴eq\f(S截,S大圓)＝eq\f(πr2,πR2)＝eq\f(3,4)．三、解答題9．描述下列幾何體的結構特征．解圖①所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體；圖②所示的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓錐得到的組合體；圖③所示的幾何體是在一個圓柱中間挖去一個三棱柱后得到的組合體．10．在球內有相距9cm的兩個平行截面，面積分別為49πcm2，400πcm2，求此球的半徑．解若截面位于球心的同側，如圖①所示，C，C1分別是兩平行截面的圓心，設球的半徑為R，截面圓的半徑分別為rcm，r1cm，由πreq\o\al(2,1)＝49π，得r1＝7，由πr2＝400π，得r＝20，在Rt△OB1C1中，OC1＝eq\r(R2－r\o\al(2,1))＝eq\r(R2－49)，在Rt△OBC中，OC＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(R2－400)，由題意知OC1－OC＝9．即eq\r(R2－49)－eq\r(R2－400)＝9，解得R＝25．若球心在兩截面之間，如圖②所示，OC1＝eq\r(R2－49)，OC＝eq\r(R2－400)，由題