PAGEPAGE1課下層級訓練(十二)對數與對數函數[A級基礎強化訓練]1．若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數，且f(2)＝1，則f(x)＝()A．log2x B．eq\f(1,2x)C．logeq\f(1,2)x D．2x－2【答案】A[由題意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x.]2．(2024·山東煙臺月考)函數f(x)＝xa滿意f(2)＝4，那么函數g(x)＝|loga(x＋1)|的圖象大致為()A．B．C．D．【答案】C[方法一函數g(x)＝|loga(x＋1)|的定義域為：{x|x＞－1}，從而解除D；由g(x)＝|loga(x＋1)|≥0，解除B；x＝0時，g(x)＝0，解除A．方法二由f(2)＝4，即2a＝4，得a＝2.先作出y＝log2x的圖象，再將此函數圖象向左平移1個單位，得函數y＝log2(x＋1)的圖象，最終將此函數圖象x軸上方部分不變，下方部分關于x軸對稱進行翻折，即得g(x)＝|loga(x＋1)|的圖象．]3．(2024·山西晉中月考)已知a＝2eq\s\up5(-\f(1,3))，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\do6(\f(1,3))，則()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】D[∵0＜2－eq\f(1,3)＜20＝1，b＝log2eq\f(1,3)＜log21＝0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)＝log23＞log22＝1，∴c＞a＞B．]4．(2024·福建龍巖月考)已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直線y＝a(a＜0)與這三個函數的交點的橫坐標分別是x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是()A．x2＜x3＜x1 B．x1＜x3＜x2C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1【答案】A[分別作出三個函數的大致圖象，如圖所示，由圖可知，x2＜x3＜x1.]5．(2024·山東濟南月考)已知log23＝a，log35＝b，則lg6＝()A．eq\f(1,1＋ab) B．eq\f(a,1＋ab)C．eq\f(b,1＋ab) D．eq\f(a＋1,1＋ab)【答案】D[∵log23＝a，log35＝b，∴eq\f(lg3,lg2)＝a，eq\f(lg5,lg3)＝eq\f(1－lg2,lg3)＝b，解得lg2＝eq\f(1,1＋ab)，lg3＝eq\f(a,1＋ab).∴lg6＝lg2＋lg3＝eq\f(1,1＋ab)＋eq\f(a,1＋ab)＝eq\f(1＋a,1＋ab).]6．若函數f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區間(－∞，1]上遞減，則a的取值范圍為()A．[1，2) B．[1，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【答案】A[令函數g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數在(－∞，1]上遞減，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,a≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，即a∈[1，2)．]7．(2024·山東青島月考)已知函數y＝loga(x－1)(a>0，a≠1)的圖象過定點A，若點A也在函數f(x)＝2x＋b的圖象上，則f(log23)＝________.【答案】－1[由題意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，從而f(log23)＝3－4＝－1.]8．設f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上的最大值．【答案】解(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,3－x>0，))得x∈(－1，3)，∴函數f(x)的定義域為(－1，3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，∴當x∈(－1，1]時，f(x)是增函數；當x∈(1，3)時，f(x)是減函數，故函數f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上的最大值是f(1)＝log24＝2.9．已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝logeq\f(1,2)x.(1)求函數f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.【答案】解(1)當x<0時，－x>0，則f(－x)＝logeq\f(1,2)(－x)．因為函數f(x)是偶函數，所以f(－x)＝f(x)．所以函數f(x)的解析式為(2)因為f(4)＝logeq\s\up10(\f(1,2))4＝－2，f(x)是偶函數，所以不等式f(x2－1)>－2可化為f(|x2－1|)>f(4)．又因為函數f(x)在(0，＋∞)上是減函數，所以|x2－1|<4，解得－eq\r(5)<x<eq\r(5)，即不等式的解集為{x|－eq\r(5)<x<eq\r(5)}．[B級實力提升訓練]10．(2024·山東青島二中月考)設函數f(x)＝loga|x－1|在(－∞，1)上單調遞增，則f(a＋2)與f(3)的大小關系是()A．f(a＋2)＞f(3) B．f(a＋2)＜f(3)C．f(a＋2)＝f(3) D．不能確定【答案】A[由函數f(x)＝loga|x－1|，可知函數關于x＝1對稱，且f(x)在(－∞，1)上單調遞增，易得0＜a＜1.∴2＜a＋2＜3.又∵函數在(1，＋∞)上單調減函數，∴f(a＋2)＞f(3)．]11．已知函數f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，若對?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數m的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))【答案】A[當x∈[0，3]時，f(x)min＝f(0)＝0，當x∈[1，2]時，g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m，由題意可知原條件等價于f(x)min≥g(x)min，即0≥eq\f(1,4)－m，所以m≥eq\f(1,4).]12．(2024·山東臨沂月考)已知2x＝72y＝A，且eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝2，則A的值是________.【答案】7eq\r(2)[由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝eq\f(1,2)log7A，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,log2A)＋eq\f(2,log7A)＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.又A＞0，故A＝eq\r(98)＝7eq\r(2).]13．(2024·福建三明月考)設函數f(x)＝|logax|(0＜a＜1)的定義域為[m，n](m＜n)，值域為[0，1]，若n－m的最小值為eq\f(1,3)，則實數a的值為________.【答案】eq\f(2,3)[作出y＝|logax|(0＜a＜1)的大致圖象如圖．令|logax|＝1，得x＝a或x＝eq\f(1,a).又1－a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))＝1－a－eq\f(1－a,a)＝eq\f(1－aa－1,a)＜0，故1－a＜eq\f(1,a)－1，所以n－m的最小值為1－a＝eq\f(1,3)，解得a＝eq\f(2,3).]14．(2024·山東東營月考)已知函數f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)當x∈[1，4]時，求函數h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)假如對隨意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)恒成立，求實數k的取值范圍．【答案】解(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因為x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函數h(x)的值域為[0，2]．(2)由f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因為x∈[1，4]，所以t