第二講

用樣本估計總體1.會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計.

2.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義；理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義；能用樣本估計總體的取值規(guī)律；理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.3.掌握分層隨機抽樣的樣本均值與樣本方差.1.總體取值規(guī)律的估計(1)繪制頻率分布直方圖的步驟①求極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.②決定組距和組數(shù)：當樣本量不超過100時，常分成5～12組.③將數(shù)據(jù)分組：通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間.④列頻率分布表：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.將樣本數(shù)據(jù)分成若干組，每組包含的樣本數(shù)量稱作頻數(shù)，頻數(shù)與樣本容量的比值稱為該組的頻率.頻率反映各組在整體數(shù)據(jù)中所占比例的大小.⑤畫頻率分布直方圖：把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組距，然后以線段為底作一小長方形，它的高等于該組的頻率組距，這樣得到一系列的長方形，每個長方形的面積恰好是該組的頻率.這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖，各個長方形的面積總和等于1.(2)不同統(tǒng)計圖的特點

扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率；折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.條形圖適用于描述離散型數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述連續(xù)型數(shù)據(jù).2.總體百分位數(shù)的估計(1)第p百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算i＝n×p%.

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)四分位數(shù)第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù)，這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).名稱概念平均數(shù)如果有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

(x1＋x2＋…＋xn)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在中間的一個數(shù)據(jù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)3.總體集中趨勢的估計

4.總體離散程度的估計

(1)極差

一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差. (2)方差和標準差(3)總體方差和標準差(4)樣本方差和標準差【名師點睛】平均數(shù)、方差的公式推廣考點一總體百分位數(shù)的估計考向1計算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)[例1]從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的質(zhì)量(單位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的第25，50，95百分位數(shù)；

(2)若用第25，50，95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級的劃分標準.

解：(1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9.

因為共有12個數(shù)據(jù)，所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4.第95百分位數(shù)是第12個數(shù)據(jù)9.9.

(2)由(1)可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15，第50百分位數(shù)是8.5，第95百分位數(shù)是9.9，所以質(zhì)量小于或等于8.15g的珍珠為次品，質(zhì)量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠為合格品，質(zhì)量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠為優(yōu)等品，質(zhì)量大于9.9g的珍珠為特優(yōu)品.

考向2根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)

[例2](2024年四川成都階段練習)某市為提高市民對創(chuàng)建文明城市的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計樣本成績的平均數(shù)和第75百分位數(shù).落在[40，90)內(nèi)的頻率為0.05＋0.1＋0.2＋0.3＋0.25＝0.9>0.75，設(shè)第75百分位數(shù)為m，則m∈[80，90)，由0.65＋(m－80)×0.025＝0.75，解得m＝84，所以第75百分位數(shù)為84.【題后反思】(1)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟(2)頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的估計①確定百分位數(shù)所在的區(qū)間[a，b)；②頻率分布直方圖中矩形的面積對應(yīng)頻率，第p百分位數(shù)的【考法全練】1.一組數(shù)據(jù)為6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是()A.15B.25C.50D.75

解析：把數(shù)據(jù)從小到大排列，可得6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49，一共11項.因為11×25%＝2.75，故第25百分位數(shù)是第3項，為15.故選A.

答案：A

2.某校組織全體學(xué)生參加知識競賽，隨機抽取了200名學(xué)生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，得到的頻率分布直方圖如圖所示.下列說法正確的是()A.直方圖中x的值為0.035B.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間[60，70)中的學(xué)生有10人C.估計全校學(xué)生的平均成績不低于80分D.估計抽取的全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93

解析：對于A，由圖可知(0.005＋0.010＋0.015＋0.040＋x)×10＝1，解得x＝0.030，故A錯誤；

對于B，成績在區(qū)間[60，70)中的被抽中的學(xué)生人數(shù)為0.010×10×200＝20，故B錯誤；

對于C，由圖可知平均數(shù)為55×0.005×10＋65×0.010×10＋75×0.015×10＋85×0.030×10＋95×0.040×10＝84，故C正確；答案：C

考點二總體集中趨勢的估計

1.某校高二年級進行消防知識競賽，統(tǒng)計所有參賽同學(xué)的成績(單位：分)，成績都在[50，100]內(nèi)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計所有參賽同學(xué)成績的第75百分位數(shù)為()A.65B.75C.85D.95解析：因為(0.2＋0.3＋0.7＋0.6＋0.2)a×10＝1，所以a＝0.05.參賽成績位于[50，80)內(nèi)的頻率為(0.2×0.05＋0.3×0.05＋0.7×0.05)×10＝0.6<0.75，參賽成績位于[50，90)內(nèi)的頻率為1－0.2×0.05×10＝0.9>0.75，則第75百分位數(shù)在[80，90)內(nèi)，設(shè)為80＋y，則0.6×0.05y＝0.75－0.6＝0.15，解得y＝5，即第75百分位數(shù)為85，故選C.答案：C答題居民序號12345678910得分/分72836576889065909576

2.《“健康中國2030”規(guī)劃綱要》提出，健康是促進人的全面發(fā)展的必然要求，是經(jīng)濟社會發(fā)展的基礎(chǔ)條件.實現(xiàn)國民健康長壽，是國家富強、民族振興的重要標志，也是全國各族人民的共同愿望.為普及健康知識，某公益組織為社區(qū)居民組織了一場健康知識公益講座.為了解講座效果，在講座后隨機抽取了10位居民進行健康知識問卷調(diào)查，這10位居民的得分情況如下表所示：則以下說法錯誤的是()A.該10位居民的答卷得分的極差為30B.該10位居民的答卷得分的中位數(shù)為94C.該10位居民的答卷得分的中位數(shù)小于平均數(shù)D.該10位居民的答卷得分的方差為104.4答案：B

3.(多選題)(2024年重慶階段練習)為了激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，加強愛國主義教育，某學(xué)校積極舉行了一場“強國有我”知識競答比賽.比賽結(jié)束后，隨機抽取了60名參賽學(xué)生的比賽成績(單位：分)進行整理，按[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的有()A.a＝0.015B.估計樣本的第80百分位數(shù)為87.5C.若每組數(shù)據(jù)均以中間值作代表，則估計樣本的平均數(shù)為77D.按分層隨機抽樣從成績位于[80，90)和[90，100)內(nèi)的學(xué)生中抽14人，則[90，100)內(nèi)被抽取到的學(xué)生人數(shù)為6解析：A選項，由已知得10×(0.005＋0.025＋0.035＋0.020＋a)＝1，解得a＝0.015，A選項正確；B選項，因為10×(0.005＋0.025＋0.035)＝0.65<0.8，10×(0.005＋0.025＋0.035＋0.020)＝0.85>0.8，所以第80百分位數(shù)m∈[80，90)，則0.65＋(m－80)×0.020＝0.8，解得m＝87.5，B選項正確；C選項，平均數(shù)為10×(0.005×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.020×85＋0.015×95)＝76.5，C選項錯誤；

D選項，由頻率分布直方圖可知[80，90)與[90，100)的頻率分別為0.2與0.15，

0.150.2＋0.15＝6，D選項正確.

則[90，100)內(nèi)抽取的人數(shù)為14×故選ABD.答案：ABD【題后反思】(1)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的意義

眾數(shù)描述的是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)；中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占的頻率；平均數(shù)反映所有數(shù)據(jù)的平均水平.(2)利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征的方法①眾數(shù)的估計值為最高矩形的底邊中點對應(yīng)的橫坐標；②平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和；③中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形面積的和是相等的.考點三總體離散程度的估計考向1方差與標準差

[例3](2023年全國乙卷理科)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效果，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10).試驗結(jié)果如下表所示.試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536考向2分層隨機抽樣的方差與標準差

[例4](2024年四川成都期中考)2024年10月27日，成都市舉辦馬拉松比賽，其中志愿者是馬拉松成功舉辦的重要保障.成都市文化廣電旅游局承辦了志愿者選拔的面試工作.隨機抽取了100名候選者的面試成績(單位：分)，并分成五組：第一組[45，55)，第二組[55，65)，第三組[65，75)，第四組[75，85)，第五組[85，95].繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)；

(2)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人擔任本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和50，請據(jù)此估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差.【題后反思】分層隨機抽樣的均值與方差分數(shù)段/分[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)10304020考向3用頻率分布直方圖估計方差

[例5]數(shù)字鄉(xiāng)村既是鄉(xiāng)村振興的戰(zhàn)略方向，也是建設(shè)數(shù)字中國的重要內(nèi)容.某公司為了助力數(shù)字鄉(xiāng)村發(fā)展，決定從100名員工中挑選30名員工組建“數(shù)字鄉(xiāng)村發(fā)展部”，對這100名員工的各項素質(zhì)進行綜合評分，得到如下頻數(shù)分布表：(1)根據(jù)頻數(shù)分布表制作頻率分布直方圖.(2)估計這100名員工各項素質(zhì)分數(shù)的平均數(shù)與方差.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表)(3)若該公司準備挑選成績較好的員工組建“數(shù)字鄉(xiāng)村發(fā)展部”，則被挑選的員工的分數(shù)不低于多少？分數(shù)段/分頻數(shù)頻率頻率/組距[60，70)100.10.01[70，80)300.30.03[80，90)400.40.04[90，100]200.20.02解：(1)由題意可知，頻率分布表如下.所以頻率分布直方圖如圖所示.(2)由題知，平均數(shù)為x＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82，方差為s2＝0.1×(65－82)2＋0.3×(75－82)2＋0.4×(85－82)2＋0.2×(95－82)2＝81.

(3)因為從100名員工中挑選30名成績較好的員工組建“數(shù)字鄉(xiāng)村發(fā)展部”，所以應(yīng)選成績大于等于第70百分位數(shù)的員工.設(shè)第70百分位數(shù)為m，則0.1＋0.3＋(m－80)×0.04＝0.7，解得m＝87.5，所以被挑選的員工的分數(shù)不低于87.5分.【考法全練】A.0.01B.0.1C.1D.10

解析：∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，∴樣本數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1，故選C.

答案：C1.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為(

)

2.某班成立了A，B兩個數(shù)學(xué)興趣小組，A組10人，B組30人，經(jīng)過一周的學(xué)習后進行了一次測試，在該測試中，A組的平均成績?yōu)?30分，方差為115，B組的平均成績?yōu)?10分，方差為215.求在這次測試中全班學(xué)生的平均成績和方差.

3.某學(xué)校為了解高二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，對高二年級的200名學(xué)生進行了一次測試.已知參加此次測試的學(xué)生的分數(shù)xi(i＝1，2，3，…，200，單位：分)全部介于45到95之間，該校將所有分數(shù)分成5組：[45，55)，[55，65)，…，[85，95]，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表).(1)求m的值，并估計此次校內(nèi)測試分數(shù)的平均值x；解：(1)因為0.006×10＋0.014×10＋10m＋0.036×10＋0.020×10＝1，所以m＝0.024.此次校內(nèi)測試分數(shù)的平均值的估計值為x＝0.06×50＋0.14×60＋0.24×70＋0.36×80＋0.20×90＝75.

⊙統(tǒng)計圖表及其應(yīng)用

[例6]已知某市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層隨機抽樣的方法抽取30%的戶主進行調(diào)查，則樣本量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為()圖1圖2A.240，18C.240，20

B.200，20D.200，18解析：樣本量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為