2025屆吉林省吉林市東北三省教育教學聯合體5月聯考模擬預測數學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．樣本數據19，20，21，23，13，16，24，28的第75百分位數為（

）A．20 B．21 C．23 D．23.54．已知側棱長為，底面邊長為的正三棱錐，其內切球球心為，球與球以及三棱錐的三個側面均相切，則（

）A． B． C． D．5．已知函數，是偶函數，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．6．函數，若在有最大值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左?右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第一?三象限的交點分別為，則的周長為（

）A． B．8 C． D．8．莫比烏斯（Mobius）環是最具有代表性的單側曲面之一，它由德國數學家莫比烏斯于1858年發現.就是把一根紙條扭轉180°后，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈.現將一個長為30cm、寬為4cm的矩形紙條粘合兩端（粘合兩端重疊部分忽略不計），形成一個莫比烏斯環，如圖：

下列關于莫比烏斯環說法正確的是（

）A．一只小蟲在不跨過它的邊緣情況下沿著表面至少走30cm就能回到原處B．如果把它沿中線剪開（如圖白色線的部分），曲面被分成獨立的兩部分C．如果把它沿中線剪開（如圖白色線的部分），最終得到紙帶的邊緣周長為120cmD．一只小蟲在不跨過它的邊緣情況下不能爬遍整個曲面二、多選題9．我國1949年—2023年高中階段毛入學率和高等教育毛入學率變化如圖所示，可以判斷（

）A．2000年—2005年高中階段毛入學率增量高于1995年—2000年高中階段毛入學率增量B．2015年—2020年高等教育毛入學率增加了14.4%C．2015年—2020年高中階段入學人數低于2010年—2015年高中階段入學人數D．2023年高等教育入學人數是2015年高等教育入學人數的1.5倍10．某種積木的玩法是用不同形狀的積木穿過對應的孔洞，來鍛煉兒童的手眼協調能力.一塊積木的形狀如圖所示，該積木由9個棱長為1cm的正方體構成，在邊長為5cm的正方形木板上挖出下列四種形狀的孔洞（空白部分），則能使該積木從中穿過的為（

）A． B． C． D．11．在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉、、后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區域），、為與其中兩條曲線的交點，若，則（

）A．開口向上的拋物線的方程為B．C．直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D．陰影區域的面積不大于32三、填空題12．若，則.13．已知圓錐與圓柱的底面半徑相等，它們的高也相等，若圓柱的底面積為，側面積為，則圓錐的表面積為.14．已知，，且動點滿足.則的取值范圍為；若線段PM的垂直平分線與PA交于點Q，則的正切值的最大值為.四、解答題15．已知、、分別為斜中角、、的對邊，．（1）求；（2）已知的面積為，求的最小值．16．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面.

（1）證明：；（2）若為的中點，，求直線與平面所成角的正弦值.17．2025年4月24日，搭載“神舟二十號”的火箭發射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關新聞.某機構將關注這件事的時間在2小時以上的人稱為“航天愛好者”，否則稱為“非航天愛好者”，該機構通過調查，從參與調查的人群中隨機抽取200人進行分析，得到下表（單位：人）：航天愛好者非航天愛好者合計女4060100男7030100合計11090200（1）能否有99%的把握認為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關？（2）現從這100名男生與100名女生中，按“航天愛好者”和“非航天愛好者”這兩種類型分別進行分層抽樣抽取男生10人，女生5人.將這15人中航天愛好者記為A組，非航天愛好者記為B組.現從這兩組中各任意選取一人進行交換，求經過一次交換后，A組中女生人數的分布列和數學期望.附：，其中，0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．已知函數，．（1）當時，求在上的值域；（2）證明：曲線與在點處存在公切線.19．17世紀，牛頓在《流數法與無窮級數》一書中，給出了代數方程的一種數值解法：如圖所示，我們想要找到fx=0的根，即A點的橫坐標，則可以先在A點附近取一個初始值，比如橫坐標為x=x0處，然后在以x0為橫坐標的B點處做一條切線，并求出該切線與x軸的交點x1，此時，我們會發現x1比初始值x0更接近A點．如果重復這個過程，不斷繪制切線并計算其與x軸的交點，依次迭代下去，我們將得到x2,x3,x4,?,xn,?，根據給定的精確度ξ，(1)根據牛頓迭代法，求x1(2)求xn+1與xn的關系式(3)牛頓迭代法中蘊含了“以直代曲”的數學思想，直線常常取曲線的切線或割線．若gx=xlnx-x2+

參考答案1．【答案】B【詳解】由，即，解得，所以，由，即，解得，所以，所以，則.故選B2．【答案】C【詳解】因為，所以.故選C3．【答案】D【詳解】樣本數據從小到大排列為13，16，19，20，21，23，24，28，共8個數據，所以，則第75百分位數為.故選D.4．【答案】B【詳解】設球的半徑為，三棱錐的表面積為，則，解得，又由，且，可得，設在底面內的射影為，因為在上，在上取點，使得，過作平面的平行平面，交，，于點G，T，H，如圖所示，則也是正三棱錐，球即為該三棱錐的內切球，又因為，設球的半徑為，則，所以，所以.故選B.5．【答案】B【詳解】由是偶函數，得，展開并整理得：，根據二倍角公式得：，整理得：，結合，得，代入，，則，利用積化和差公式：化簡得：，當時，取得最大值.故選B6．【答案】B【詳解】由，則，令，得或，當，即時，，函數在上單調遞增，此時在上沒有最大值，不符合題意；當，即時，令，得或，令，得，則函數在和上單調遞增，在上單調遞減，又，則在沒有最大值，不符合題意；當，即時，令，得或，令，得，則函數在和上單調遞增，在上單調遞減，又，，要使在有最大值，則，解得.綜上所述，實數的取值范圍是.故選B.7．【答案】C【詳解】設，由在以為直徑的圓上可得，所以，四邊形為矩形，則，由雙曲線，得，所以，又由雙曲線的定義有，所以，得，所以，即，而，所以，所以的周長為.故選C.8．【答案】C【詳解】

解法一對于選項A：一只小蟲在不跨過它的邊緣情況下沿著表面走30?cm，則會發現小蟲來到“另一面”，需要在繼續前進30cm，才能回到原處，也就是說至少要走60cm才能回到原處，故A錯誤;對于選項B：設想從白線的一側某處出發，并且永遠在這一側，向著一個方向前進，走完30cm到達了背面的白線的對側，需要再前進30cm剛好回到原點，因此剪開后得到的仍然是一個環帶，沒有分成兩部分，把莫比烏斯帶沿中線剪開后不會分成兩個獨立部分，而會得到一個長度加倍且360°扭轉對接的環帶，故B錯誤;對于選項C：沿中線剪開后得到的環帶長是60?cm，其邊緣周長是60cm2＝120?cm，故C正確;對于選項D：實際走一走，可以看出小蟲在不跨越邊緣的情況下可以爬遍整個曲面，故D錯誤.故選C.解法二如圖1標記原紙帶的正面的四個角,起始端線和終止端線的中點分別記做,

其背面的相應點依次記做小寫的字母表示相應的線段.圖2是第一次扭轉180°粘接后的莫比烏斯環的兩面沿剪斷后展開圖，圖3是從中間白線剪開后的紙環沿剪斷后的展開圖，從圖可以看出，小蟲在不跨越它的邊緣的情況下沿表面至少要走60cm才能回到原處，此時也正好爬遍整個曲面；沿中間線剪開后的紙帶是如圖3所示的矩形，扭轉2個180°的環，其周長為矩形的上下兩邊線的和，總長為120cm；故選C.

故選C.9．【答案】AB【詳解】2000年—2005年高中階段毛入學率增量為，1995年—2000年高中階段毛入學率增量為，故A正確；2015年—2020年高等教育毛入學率增加了，故B正確，由圖中只能知道入學率，沒有人數基數，故CD錯誤.故選.10．【答案】ABC【詳解】根據所給空間幾何體的形狀，可得空間幾何體利用現在放置方式能通過C，現在放置方式由在向物體后方旋轉90度可通過B，由現在位置向右旋轉90度再向后方旋轉180度可通過A，以任何方式均不能通過D.故選ABC.11．【答案】ACD【詳解】對于A，由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點在原點，焦點為,將其逆時針旋轉后得到的拋物線開口向上，焦點為，則其方程為，故A正確；對于B，根據A項分析，由，解得或，即，代入可得，即由圖象的對稱性，可得，所以，故B錯誤；對于C，設直線與拋物線相切，聯立可得，由，可得，且方程即為，解得，，此時切點坐標為，設直線與拋物線相切，聯立可得，由，可得，此時方程即為，解得，，此時切點坐標為，兩切點連線的斜率為，即切點的連線與直線平行或重合，故當、時，取最大值，且其最大值為，即直線截第一象限花瓣的弦長最大值為，故C正確；對于D，根據對稱性，每個象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，對函數求導得，則拋物線在點處的切線斜率為，所以拋物線在點處的切線方程為，即，令，可得，該切線交軸于點，所以半個花瓣的面積必小于，故原圖中的陰影部分面積必小于，故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】令，可得：，令，可得：，所以，所以.13．【答案】【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的母線長為，則由，得，又由，得，所以圓錐的母線長，所以圓錐的側面積，則圓錐的表面積.14．【答案】/【詳解】，，，.以中點為原點，所在直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系，則，設，則因為，所以，整理得，點的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓.；線段PM的垂直平分線與PA交于點Q，，點的軌跡是以A，M為焦點、長軸長為2、短軸長為的橢圓，所以該橢圓的方程為，當QB與橢圓相切時，的正切值最大，設直線的斜率為k，則，直線的方程為，聯立，令，即，所以的正切值最大為.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，由正弦定理得，，即，因為為斜三角形，所以，故，由正弦定理可得．（2）由（1）知，，所以，所以，即，因為，則，故，所以，所以，則，所以，當且僅當，即時，取最小值．16．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）證明：連接，

是菱形，是對角線，，又平面平面，，又平面平面，平面，又平面.（2）取中點，連接，則，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖空間直角坐標系，

令，則，，設平面的法向量為，由，得，得，.17．【答案】（1）有99.9%的把握認為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關（2）分布列見解析，【詳解】（1）所以有99.9%的把握認為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關.（2）按分層抽樣，100名男生中，抽取“航天愛好者”有7人，“非航天愛好者”有3人，100名女生中，抽取“航天愛好者”有2人，“非航天愛好者”有3人.故A組有男生7人，女生2人，B組有男生3人，女生3人.從這兩組中各任意選取一人進行交換，經過一次交換后，A組中女生人數為，則的可能值為1，2，3.，，.X的分布列如下表：123.18．【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）若，則，得，令，解得，所以當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，所以當時，有最大值，，當時，，當時，，故在上的值域為．（2）證明：由，得，則，又，故在點處的切線方程為．同理，由，得，則，又，故在點處的切線方程為，所以與在處存在公切線．19．【答案】(1)-1(2)x(3)證明見解析【詳解】（1）fx=ex-當x0=1時，fx因此切線l:y-e-1當y=0時，可得