/重慶市萬州區(qū)224-2025學(xué)年高二下冊第一次月考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】依題意可知切點坐標(biāo)，由切線方程得到，利用導(dǎo)數(shù)的概念解出即可.【詳解】依題意可知切點，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，，即又即故選：D.2.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出定義域以及導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可【詳解】由題意，在中，，當(dāng)時，解得（舍）或，當(dāng)即時，函數(shù)單調(diào)遞減，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B.3.函數(shù)在[0,3]上的最大值和最小值分別是A.5，-15 B.5，-4 C.-4，-15 D.5，-16【正確答案】A【分析】求出，判斷在[0,3]上的單調(diào)性，再進(jìn)行求解．【詳解】，令，得或，所以當(dāng)時，，即為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時，，即為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又，所以，故選A．點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題，考查計算能力，屬基礎(chǔ)題4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若1不是函數(shù)的極值點，則實數(shù)a的值為（）．A.－1 B.0 C.1 D.2【正確答案】D【分析】根據(jù)極值點的定義即可求解.【詳解】由題意可知，若1不是函數(shù)極值點，則，即，當(dāng)時，，故當(dāng)，當(dāng)，因此是的極值點，1不是極值點，故滿足題意，故選：D5.當(dāng)時，函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【正確答案】B【詳解】根據(jù)f(x)<0?x2－2ax<0?0<x<2a，可排除選項A，C，f′(x)＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由f′(x)＝0，即x2＋(2－2a)x－2a＝0，Δ＝(2－2a)2＋8a＝4a2＋4>0可知方程必存在兩個根．設(shè)小的根為x0，則f(x)在(－∞，x0)上必定是單調(diào)遞增的，故選B.6.已知是可導(dǎo)的函數(shù)，且對于恒成立，則（）A. B.f1C.f1>e【正確答案】A【分析】設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小可得答案.【詳解】設(shè)，，則，可得在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.故選：A.7.若直線與曲線相切，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)切點和斜率列方程，利用構(gòu)造函數(shù)法結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【詳解】設(shè)切點為，因為，所以．又因為切點在直線上，所以，解得，所以．令，則，所以區(qū)間上，單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故的取值范圍為．故選：C8.已知函數(shù)，若對，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】對不等式作等價變形，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，再分離參數(shù)求解即得.【詳解】函數(shù)，，，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而不等式為，因此，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，因此，于是，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.B.設(shè)函數(shù)，且，則C.若，則D.若，則【正確答案】BD【分析】利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式判斷A，求出導(dǎo)數(shù)后建立方程，結(jié)合給定條件求解參數(shù)判斷B，利用常數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式判斷C，左右兩側(cè)同時求導(dǎo)結(jié)合賦值法判斷D即可.【詳解】對于A，由復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得，故A錯誤，對于B，因為，所以，令，得到，解得，故B正確，對于C，因為，所以，故C錯誤，對于D，因為，所以，令，則，解得，故D正確.故選：BD10.設(shè)函數(shù)定義域為，若函數(shù)滿足：對任意，存在，使得成立，則稱函數(shù)滿足性質(zhì).下列函數(shù)滿足性質(zhì)的有（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得，則，，則在定義域內(nèi)正負(fù)號不變時滿足性質(zhì)，若有唯一變號零點時不滿足性質(zhì)，則通過計算即可判斷.【詳解】可化為，令，則，令則，若在定義域內(nèi)正負(fù)號不變，那么是的變號零點，則在的兩側(cè)的單調(diào)性不一致，因此滿足性質(zhì)；若有唯一變號零點，那么取，則在定義域內(nèi)的正負(fù)號不變，進(jìn)而函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)，因此不滿足性質(zhì).對于A，，則m′x=2>0，所以滿足性質(zhì)對于B，，則有唯一變號零點0，所以不滿足性質(zhì)；對于C，，則m′x=e對于D，，則，所以滿足性質(zhì).故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.方程有唯一實數(shù)根B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.D.若且，則【正確答案】BCD【分析】先求出，然后討論的單調(diào)性，即可判斷A，B，C選項；對于D選項，使用基本不等式并結(jié)合的最小值即可驗證.【詳解】設(shè)，則，所以恒為常數(shù).又由于，故.所以，即.對于A，由于，故對有，對有.從而在上遞減，在上遞增，故，所以方程沒有實數(shù)根，故A錯誤；對于B，前面已經(jīng)證明在上遞增，故B正確；對于C，前面已經(jīng)證明，所以，故C正確；對于D，若，，則，故D正確.故選：BCD.關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的新函數(shù)，從而求出已知函數(shù)的表達(dá)式.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的極大值點是________________；【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到極大值點即可.【詳解】由題意得定義域為，因為，所以，令，，令，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的極大值點是.故13.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為___________；【正確答案】【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性得到在上恒成立，將其轉(zhuǎn)化成在上恒成立，求出在上的最大值即可.【詳解】由，可得，(x>?m).

因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，可得在上恒成立.即在上恒成立.

設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減.所以在上的最大值為.

則.同時，要使有意義，則在上恒成立，即在上恒成立，所以.綜上可得.

故答案為.14.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的拐點．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有拐點，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且拐點就是對稱中心，設(shè)函數(shù)，利用上述探究結(jié)果計算：____________；【正確答案】【分析】先根據(jù)題中給出的結(jié)論確定函數(shù)的對稱中心，再結(jié)合函數(shù)的對稱性求值.【詳解】因為，所以，.由.又，所以點是函數(shù)的拐點，也就是函數(shù)的對稱中心.所以，所以，，…，，，所以.故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求曲線在點處的切線方程；【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出，利用、求出函數(shù)的解析式再檢驗即可；（2）求出得切點坐標(biāo)，求出得切線斜率，再由直線的點斜式方程可得答案.【小問1詳解】，因為函數(shù)在處取得極值，所以可得①，②，由①②解得，或，所以，或當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞增，沒有極值，不符合題意；當(dāng)時，，當(dāng)，或時，，當(dāng)時，，所以在，上都是單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，且，符合題意.綜上；【小問2詳解】由（1），，，切點坐標(biāo)為，切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即.16.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，記函數(shù)的最小值為，求證.【正確答案】（1）答案見解析（2）證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)后，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的符號可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的單調(diào)性求出，再利用導(dǎo)數(shù)可證不等式成立.【小問1詳解】的定義域為，,當(dāng)時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】當(dāng)時，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.17.萬州區(qū)為提高市民的健康水平，擬在半徑為20米的半圓形區(qū)域內(nèi)修建一個健身廣場，該健身廣場（如圖所示的陰影部分）分休閑健身和兒童活動兩個功能區(qū)，圖中矩形區(qū)域是休閑健身區(qū)，以為底邊的等腰三角形區(qū)域是兒童活動區(qū)，，，三點在圓弧上，中點恰好在圓心．設(shè)，健身廣場的面積為．（1）求出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)角取何值時，健身廣場的面積最大？其最大面積是多少？【正確答案】（1）（2）；【分析】（1）借助三角函數(shù)將矩形的長與寬，三角形的底與高表示出來，利用面積公式求解面積再相加即可.（2）借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值，進(jìn)而得到的最大值即可.【小問1詳解】由已知得，等腰底邊上的高為，而，，，得到.【小問2詳解】設(shè)，則，令，由，可得，令，可得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則時，有，故，即時，健康廣場的面積最大，最大值為.18.設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，若在存在，使得不等式成立，求的最小值.（2）若存在且，使得，求實數(shù)的取值范圍.（參考數(shù)據(jù)）【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由存在使不等式成立，只需，利用導(dǎo)數(shù)得到的最小值即可；（2）分類討論a保證在上不是單調(diào)函數(shù)，從而確定a的范圍即可.【小問1詳解】若存在，使得不等式成立，則只需，由題意得，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故在處取得極小值，即，又，得到，則，即，得到.【小問2詳解】因為，所以，因為存在且，使得，所以在上不單調(diào)，下面我們對的范圍分類討論，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，與題意不符，排除，當(dāng)時，令，，當(dāng)時，得到，解得，但此時，即，得到在上單調(diào)遞減，與題意不符，排除，當(dāng)時，得到，解得，此時結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得有兩個變號零點，設(shè)其為，即一元二次方程由兩個根，且設(shè)，由韋達(dá)定理得，，故成立，得到有兩個恒正的變號零點，則有兩個恒正的變號零點，滿足，令，，令，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足在上不單調(diào)，故符合題意.關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是分析給定條件得到函數(shù)不單調(diào)，然后對的范圍分類討論，再驗證符合題意，得到所要求的參數(shù)范圍即可．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若有兩個極值點．（i）求的取值范圍；（ii）證明.【正確答案】（1）極大值為，極小值為.（2）（i）；（ii）證明過程見解析.【分析】（1）求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性即可；（2）（i）求導(dǎo)后利用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同零點，再求的取值范圍；（ii）利用（i）中的韋達(dá)定理將化簡為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而求該函數(shù)的最大值即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，由得，；得，或，則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的極大值為，極小值為.【小問2詳解】（i），則，令，則，因，故，當(dāng)