/重慶市2025屆高三下冊最后一卷數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．設(shè)是集合的子集，只含有2個(gè)元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集的個(gè)數(shù)為（

）A．11 B．12 C．10 D．132．在生物界中，部分昆蟲會(huì)通過向后跳躍的方式來躲避偷襲的天敵.已知某類昆蟲在水平方向上速度為（單位：米/秒）時(shí)的跳躍高度（單位：米）滿足，則該類昆蟲的最大跳躍高度為（

）A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米3．已知圓上的兩點(diǎn)到直線的距離分別為，且.若，則（

）A．2 B．4 C．6 D．84．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．已知，若，，則（

）A．4 B．5 C．4或5 D．5或66．已知點(diǎn)M是橢圓上的一點(diǎn)，，分別是C的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)N在的平分線上，O為原點(diǎn)，，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)與函數(shù)，當(dāng)，曲線與交于一點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．28．在下面數(shù)表中，第行第列的數(shù)記為，其中，，，滿足：①，且；②，有．則該數(shù)表中的10個(gè)數(shù)之和的最小值為（

）A．26 B．22 C．20 D．0二、多選題9．如果存在正實(shí)數(shù)a，使得為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，我們稱函數(shù)為“和諧函數(shù)”，則下列四個(gè)函數(shù)，是“和諧函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．10．在正四棱錐中，側(cè)棱與底面邊長相等，分別是和的中點(diǎn)，則（

）A． B．平面 C． D．平面11．已知隨機(jī)變量的取值為不大于n的正整數(shù)值，它的分布列為：12其中滿足：，且.定義由生成的函數(shù).現(xiàn)有一個(gè)裝有分別標(biāo)記著1，2，3的三個(gè)質(zhì)地均勻和大小相同小球的箱子，若隨機(jī)從箱子中摸出一個(gè)球，記其標(biāo)號為，由生成的函數(shù)為，；若連續(xù)兩次有放回的隨機(jī)從箱子中摸出一個(gè)球，記兩次標(biāo)號之和為，此時(shí)由生成的函數(shù)為，，則（

）A． B． C． D．三、填空題12．已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為.13．小蔣同學(xué)喜歡吃餃子，某日他前往食堂購買16個(gè)餃子，其中有個(gè)為香菇肉餡，其余為玉米肉餡，且.在小蔣吃到的前13個(gè)餃子均為玉米肉餡的條件下，這16個(gè)餃子全部為玉米肉餡的概率為.14．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，.設(shè)，且，則；的最小值為.四、解答題15．已知直線和是函數(shù)圖象兩條相鄰的對稱軸．（1）求的解析式和單調(diào)區(qū)間；（2）保持圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象．若在區(qū)間恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．16．已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)．（1）求的單調(diào)性；（2）討論在區(qū)間的最大值．17．為考查一種新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，現(xiàn)從一批患者中隨機(jī)抽取100名患者，均分為兩組，分別采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療，記其中采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療受益的患者數(shù)分別為和．在治療過程中，用指標(biāo)衡量患者是否受益：若，則認(rèn)為指標(biāo)正常；若，則認(rèn)為指標(biāo)偏高；若，則認(rèn)為指標(biāo)偏低．若治療后患者的指標(biāo)正常，則認(rèn)為患者受益于治療方案，否則認(rèn)為患者未受益于治療方案．根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，受益于標(biāo)準(zhǔn)治療方案的患者比例為0.6．（1）求和；（2）統(tǒng)計(jì)量是關(guān)于樣本的函數(shù)，選取合適的統(tǒng)計(jì)量可以有效地反映樣本信息．設(shè)采用新治療方案治療第位的患者治療后指標(biāo)的值為，，2，，50，定義函數(shù)：（?。┖喪鲆韵陆y(tǒng)計(jì)量所反映的樣本信息，并說明理由．①；②；（ⅱ）為確定新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，請?jiān)冢á。┲械慕y(tǒng)計(jì)量中選擇一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的取值作出統(tǒng)計(jì)決策．18．如圖，三棱錐中，點(diǎn)在平面的射影恰在上，為中點(diǎn)，，，.（1）若平面，證明：是的三等分點(diǎn)；（2）記的軌跡為曲線，判斷是什么曲線，并說明理由；（3）求的最小值.19．已知項(xiàng)數(shù)列，對于給定，定義變換：將數(shù)列中的項(xiàng)替換為，其余項(xiàng)均保持不變，記得到的新數(shù)列為．其中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若將數(shù)列再進(jìn)行上述變換，記得到的新數(shù)列為，重復(fù)操作，得到數(shù)列，并稱為第一次變換，為第二次變換，?．（1）若數(shù)列：，求數(shù)列和；（2）設(shè)為遞增數(shù)列，對進(jìn)行有限次變換后得到數(shù)列．證明：為遞增數(shù)列；（3）當(dāng)?shù)诖巫儞Q前后兩個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)乘積為負(fù)數(shù)時(shí)，令；否則．對于給定的項(xiàng)數(shù)列，進(jìn)行2025次變換，證明：．

答案1．【正確答案】C【詳解】含有2個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)為，其中兩個(gè)數(shù)相鄰的有5個(gè)，所以所求子集個(gè)數(shù)為．故選C．2．【正確答案】A【詳解】由可知，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，即該類昆蟲的最大跳躍高度為0.25米.故選A.3．【正確答案】D【詳解】設(shè)，由，可知，即，同理，所以是的兩根，所以，所以.選：D.4．【正確答案】D【詳解】由條件不妨設(shè)．于是，．則．故．設(shè)，，當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，取最大值27．從而最大值為．故選D.5．【正確答案】A【詳解】由題意可知：，且，可得，其中，且，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，若，所以.故選A.6．【正確答案】B【詳解】解：設(shè)，，延長ON交于A，如圖所示.由題意知，O為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A為中點(diǎn).又，點(diǎn)N在的平分線上，∴，∴是等腰三角形，∴，則，所以.又，所以.又在中，由余弦定理得，即，即，化簡得.又，所以，所以，即故選B.7．【正確答案】D【詳解】由題意得，即，所以，所以，令，則，，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，因?yàn)樵谏线f增，所以，所以.故選D8．【正確答案】B【詳解】由，且，不妨令，則，由，，得，同時(shí)成立，同時(shí)成立，同時(shí)成立，則，；由，，得，同時(shí)成立，同時(shí)成立，同時(shí)成立，則，，因此，所以該數(shù)表中的10個(gè)數(shù)之和的最小值為22.故選B9．【正確答案】CD【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，故圖象的對稱中心為.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，故圖象的對稱軸為.對于A，的對稱軸為，此時(shí)，而，故不是對稱中心，故A錯(cuò)誤；對于B，的對稱中心的橫坐標(biāo)為，此時(shí)，而，故不是對稱軸，故B錯(cuò)誤；對于C，，，故函數(shù)圖象有一個(gè)對稱中心，而，故為函數(shù)圖象的對稱軸，故C正確；對于D，因?yàn)椋蕿楹瘮?shù)圖象的對稱，而，故函數(shù)圖象有一個(gè)對稱軸，故D正確.故選CD.10．【正確答案】BC【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，分別是和的中點(diǎn)，四棱錐是正四棱錐，且，即四邊形是平行四邊形，對于A，因?yàn)?，所以與不平行，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，故B正確；對于C，因?yàn)?，是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，故C正確；對于D，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以平面，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則由，，平面平面，可證得平面，又因?yàn)?，所以與為異面直線，如果平面，則與題意矛盾，故D錯(cuò)誤.故選BC.11．【正確答案】ABC【詳解】由題意可知：的可能取值為，且，所以的分布列為123可得，，，所以，，即，可得，，故A、C正確；由題意可知：的可能取值為，可得：123123423453456則，所以的分布列為23456可得，，（認(rèn)為此時(shí)），則，所以，即，故D錯(cuò)誤；又因?yàn)椋蔅正確；故選ABC.12．【正確答案】【詳解】，，，.13．【正確答案】【詳解】記事件：16個(gè)餃子中有i個(gè)香菇肉餡餃子，，事件：吃到的前個(gè)餃子均為玉米肉餡餃子.則，，，，當(dāng)時(shí)，，由題知，，所以，又，所以.14．【正確答案】【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又因?yàn)?，，即，可得，且，則，可得，則，且，所以；因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，由題意可知：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為.15．【正確答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【詳解】（1）由題設(shè)條件知的最小正周期，所以．又因?yàn)椋裕?，得的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由題可知，所以當(dāng)時(shí)，．若在區(qū)間恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在區(qū)間恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，因此，解得的取值范圍是．16．【正確答案】（1）在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）答案見解析【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，．當(dāng)時(shí)，，不是的極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令，得，．在小于0，在區(qū)間大于0，在小于0，故在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時(shí)是的極小值點(diǎn)，符合題意．綜上，在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）由（1）可知：在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．分類討論.當(dāng),即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，故最大值為；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故最大值為；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，故最大值為；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故最大值為；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，故最大值為．17．【正確答案】（1），（2）（?。┐鸢敢娊馕?；（ⅱ）答案見解析【詳解】（1）由題設(shè)知服從二項(xiàng)分布，所以，．（2）（?。┙y(tǒng)計(jì)量反映了未受益于新治療方案的患者數(shù)，理由如下：若患者受益于新治療方案，則其指標(biāo)的值滿足，否則，會(huì)被統(tǒng)計(jì)量計(jì)入，且每位未受益于新治療方案的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值加1．統(tǒng)計(jì)量反映了未受益于新治療方案且指標(biāo)偏高的患者數(shù)量，理由如下：若患者接受新治療方案后指標(biāo)偏低或正常，則其指標(biāo)的值滿足若指標(biāo)偏高，則，，會(huì)被統(tǒng)計(jì)量計(jì)入，且每位未受益于新治療方案且指標(biāo)偏高的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值加1．（ⅱ）由題設(shè)知新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案等價(jià)于一次試驗(yàn)中的觀測值大于的數(shù)學(xué)期望，由（ⅰ）知的觀測值，因此當(dāng)，即時(shí)，認(rèn)為新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案；當(dāng)，即時(shí)，認(rèn)為新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案相當(dāng)；當(dāng)，即時(shí)，認(rèn)為新治療方案劣于標(biāo)準(zhǔn)治療方案．18．【正確答案】（1）證明見解析（2）橢圓，理由見解析（3）【詳解】（1）由于平面，作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，則，又因?yàn)?，且，平面，因此平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證：，又因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)槊?，從而，因此，進(jìn)而為的三等分點(diǎn).（2）橢圓，延長至，使得，由于，可得M，D到的距離為定值，因此M，D應(yīng)在以為高線的圓柱上運(yùn)動(dòng)，且上下底面與垂直，又因?yàn)镸，D為平面上兩點(diǎn)，，從而M，D的運(yùn)動(dòng)平面截得該圓柱，根據(jù)圓錐曲線的定義，因而M，D的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)為橢圓，示意如下.（3）以A為原點(diǎn)，所在直線為x軸，過A點(diǎn)與平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，下面求橢圓方程：一方面，由于該圓柱的底面半徑為，故由圖可知橢圓的短半軸長為1，由，從而橢圓的長半軸，進(jìn)而橢圓方程：，又由，平面，從而，即，由定義知為橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)的右焦點(diǎn)為，則，設(shè)，在中，由余弦定理，可得，解得，同理可得：，解法1：由，令，則，可得，令，解得，（舍去），當(dāng)，；當(dāng)，，因此為的極小值點(diǎn)，可得.解法2：由，原題等價(jià)于求的最小值，則等價(jià)于求的最小值，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，因此的最小值為.19．【正確答案】（1），（2）證明見解析（3）證明見解析【詳解】（1）解：由題意得，數(shù)列，數(shù)列，故數(shù)列．（2）證明：若對：進(jìn)行變換，即將替換為，其余項(xiàng)不變，由，得，故仍為遞增數(shù)列；若對進(jìn)行變換，即將替換為，其余項(xiàng)不變，由，很，故仍為遞增數(shù)列：若對進(jìn)行變換，即將替換為，其余項(xiàng)不變，由，得，故仍為遞增數(shù)列．綜上，對于任意，對進(jìn)行變換后仍為遞增數(shù)列．以此類推，知對進(jìn)行有限次變換后，所得的數(shù)列為遞增數(shù)列．（3）解：記數(shù)列：中去除等于0的項(xiàng)后得到的數(shù)列為（其余項(xiàng)相對位置不變，下同），中去除為0的項(xiàng)后得到的數(shù)列為．設(shè)中相鄰兩項(xiàng)乘積為負(fù)數(shù)的有對，中相鄰兩項(xiàng)乘積為負(fù)數(shù)的有對，則．如果對進(jìn)行變換，即將替換為，此時(shí)若與同號，則數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)乘積為負(fù)數(shù)的仍有對，即；若與異號，則或；若與中有0，則一定不與異號，故．如果對進(jìn)行變換，即將替換為，此時(shí)若與同號，則；若與異號，有以下三種情況：①若與同號，顯然也與異號，則；②若與異號，則；③若與中有0，只有一個(gè)0，不妨設(shè)，則與異號，故，