/浙江省寧波市2024_2025學年高一下冊5月月考數學試卷一、單選題1．水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，則的面積為（

）A．6 B．3 C． D．2．已知是兩條不重合的直線，，，是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：①若則；②若則；③若則；④若是異面直線，則．其中真命題是（

）A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④3．如圖直四棱柱的體積為8，底面為平行四邊形，的面積為，則點A到平面的距離為（）A．1 B． C． D．24．如圖，在正四棱錐中，分別是的中點，當點在線段上運動時，下列四個結論：①；②；③平面；④平面.其中恒成立的為（

）A．①③ B．③④ C．①② D．②③④5．如圖所示，在四邊形中，，，，將四邊形沿對角線BD折成四面體，使平面平面，則下列結論正確的是（）A．B．C．與平面所成的角為D．四面體的體積為6．在三棱錐中，兩兩垂直，，則直線與平面所成角的正切值等于（

）A． B． C． D．7．如圖，到的距離分別是和，與所成的角分別是和，在內的射影長分別是和，若，則A． B．C． D．8．如圖，已知正三棱柱，E，F分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．，是不在平面內的任意兩點，則（

）A．在內存在直線與直線異面B．在內存在直線與直線相交C．存在過直線的平面與垂直D．在內存在直線與直線平行10．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側面積為C． D．的面積為11．如圖，正方體的棱長為，線段上有兩個動點，且，則下列結論中正確的是（

）A．B．直線與平面所成的角為定值C．二面角的大小為定值D．三棱錐的體積為定值三、填空題12．“米升子”是一種古代專司量米的量器，其形狀是上大下小的正四棱臺.將“米升子”裝滿后用手指或筷子沿升子口刮平叫“平升”.現有一“米升子”的縮小模型，上、下兩面正方形的邊長分別為5cm和3cm，側面與上面的夾角為，則該“米升子”模型“平升”的容積為13．如圖,二面角的大小是60°,線段.,與所成的角為30°.則與平面所成的角的正弦值是.14．已知正方形的邊長為2，點為邊的中點，點為邊的中點，將分別沿折起，使三點重合于點，則三棱錐的外接球與內切球的表面積之比為．四、解答題15．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.

（1）證明平面；（2）求異面直線與所成的角的正切值；（3）求二面角的正切值.16．如下圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，為的中點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若四邊形是正方形，且，求直線與平面所成角的正弦值.

答案1．【正確答案】A【分析】將直觀圖還原成平面圖，根據斜二測畫法原理求出平面圖形的邊長，即可計算面積．【詳解】直觀圖還原成平面圖，則，所以的面積為，故選A．2．【正確答案】D【分析】由題意逐一考查所給命題的真假即可確定真命題的編號.【詳解】逐一考查所給的命題：①由線面垂直的性質定理可得若則α//β，該命題正確；②如圖所示的正方體中，取平面分別為平面，滿足但是不滿足α//β，該命題錯誤；③如圖所示的正方體中，取平面分別為平面，直線分別為，滿足但是不滿足α//β，該命題錯誤；④若是異面直線，由面面平行的性質定理易知α//β，該命題正確；綜上可得，真命題是①和④，本題選擇D選項.【思路導引】本題考查了空間幾何體的線面位置關系判定與證明：（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對于線面位置關系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關鍵.3．【正確答案】B【詳解】設點A到平面的距離為h，因為直四棱柱的體積為8，則直三棱柱的體積為4，故，即，又因為，所以，故點A到平面的距離為.故選B4．【正確答案】A【分析】連接，證得平面平面，得到平面，設與交于點，證得平面，得到平面，得出，所以①恒成立；對于線段MN上的任意一點P時，②④不一定成立，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，因為分別是的中點，所以，又因為，且平面，平面，所以平面平面，因為平面，平面，所以③恒成立；設與交于點，則為底面正方形的中心，且，由正四棱錐，可得平面，因為平面，所以，又因為，且平面，所以平面，所以平面，因為平面，所以，所以①恒成立；對于②④對于線段MN上的任意一點P不一定成立.故選A.5．【正確答案】B【詳解】對于A，因為，，所以，若，因為，，平面，平面，所以平面，可得，這與矛盾，故A錯誤；對于B，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，所以，得，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以，所以，故B正確；對于C，平面，所以就是與平面所成的角，因為，所以與平面所成的角為，故C錯誤；對于D，四面體的體積為，故D錯誤.故選B.6．【正確答案】D【分析】取的中點，作交于點，由線面垂直的判定定理、性質定理可得就是直線與平面所成角，在中計算可得答案.【詳解】如圖所示，取的中點為，連接，作交于點，因為，且，平面，所以平面，平面，所以，因為，點為的中點，所以，因為，平面，所以平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以就是直線與平面所成角，因為，所以.故選D.7．【正確答案】D【詳解】試題分析：由題意知，因為所以所以且所以故選D.考點：1、線面角；2、正弦函數與余弦函數．8．【正確答案】A【詳解】如圖所示，過點作于，過作于，連接，則，，，，，，所以，故選A．9．【正確答案】AC【詳解】由題意知，點，是不在平面內的任意兩點，對于A中，根據異面直線的定義，可得平面內存在直線與直線異面，所以是正確的；對于B中，若直線平行于平面時，可得在內不存在直線與直線相交，所以不正確；對于C中，過作平面的垂線，則由直線和直線確定的平面垂直與平面，所以是正確的；對于D中，當直線與平交時，在內不存在直線與直線平行，所以不正確.故選AC10．【正確答案】AC【詳解】依題意，，，所以，A選項，圓錐的體積為，A選項正確；B選項，圓錐的側面積為，B選項錯誤；C選項，設是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，，所以，D選項錯誤.故選AC.

11．【正確答案】ACD【詳解】如圖所示，對于選項A，由三垂線定理可知且故有面,面,則，故A正確；對于選項B，如下圖所示，因為面,故面,所以為直線與平面所成的角，是兩個動點，故不是定值，故B錯；對于選項C，因為面,故面,所以二面角的平面角為,始終為定值，故C正確；對于選項D，面積始終不變，三角形,因為面，故三棱錐的體高為，，故D正確.故選ACD12．【正確答案】【詳解】取底面和平面的中心，，取和的中點，，連接，，，，過點作平面，因為為正四棱臺，所以點在上，如下圖所示：

因為為正四棱臺，四邊形的邊長為3，四邊形的邊長為5，側面與上面的夾角為，所以，，，，，又平面平面，平面，平面，所以側面與上底面所成角的平面角為，故，由平面，平面，所以，所以，故正四棱臺的高為，故"平升"的容積為.13．【正確答案】【詳解】過點A作平面β的垂線,垂足為C,在β內過C作l的垂線，垂足為D,連接AD,由三垂線定理可知AD⊥l,故ADC為二面角α-l-β的平面角,為60°,又由已知,ABD=30°,連接CB,則ABC為AB與平面β所成的角設AD=2,則AC=,CD=1AB==4∴sinABC==；故答案為．考點：本題主要考查二面角的計算．點評：基礎題,本解法反映了求二面角方法的“幾何法”—“一作、二證、三計算”．14．【正確答案】24【詳解】如圖，依題知，，故，，又，故平面，又平面，故，所以三棱錐中，PD，PE，PF兩兩垂直，且PE=PF=1，PD=2，所以三棱錐P-DEF的外接球即為以PD，PF，PE為鄰邊的長方體的外接球，故外接球半徑R滿足，外接球表面積為：，因為三棱錐的表面積為正方形ABCD的面積，故，，設三棱錐的內切球半徑為，故由等體積法得，得故內切球表面積為，所以三棱錐的外接球與內切球的表面積之比為．15．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【詳解】（1）證明：在中，由題設，可得.于是.在矩形中，.又，平面，所以平面.（2）證明：由題設，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角.在中，由余弦定理得由（1）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故.所以異面直線與所成的角的正切值為.解法二：

由（1）可知，平面,平面，所以平面平面，作于M，交于點，因為平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，以M為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，設異面直線與所成的角為，，則.所以異面直線與所成的角的正切值為（3）

過點M做于E，連接.因為平面，平面，所以.又，因而平面，又平面，所以從而是二面角的平面角.由題設可得，，，，，，于是在中，.所以二面角的正切值為.解法二：由（2）知，.設平面PBD的一個法向量為，則，即，令，則，所以，又平面的一個法向量可以是.由圖知二面角的大小為銳角，所以，則所以二面角的正切值為.16．【正確答案】（I）證明見解析；（II）.【詳解】試題分析：（I）連結，設與相交于點，連接，則為中點，根據中位線有，所以；（II）設的中點為，的中點為，以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系.利用直線的方向向量和平面的法向量，計算線面角的正弦值.試題解析：證法1：連結，設與相交于點，連接，則為中點，為的中點，∴∴.【證法2：取中點，連接和，平行且等于，∴四邊形為平行四邊行∴，∴，同理可得∴又∴.（Ⅱ），∴又，∴又∴法一：