高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省“西中教育聯合體”2024-2025學年高一上學期期中考試數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“每一個四邊形的對角線都互相垂直”的否定是（）A.每一個四邊形的對角線都不互相垂直B.存在一個四邊形，它的對角線不垂直C.所有對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形D.存在一個四邊形，它對角線互相垂直【答案】B【解析】因為“每一個四邊形的對角線都互相垂直”是全稱命題，所以其否定為：存在一個四邊形，它的對角線不垂直，故B正確，ACD錯誤.故選：B.2.已知集合，，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據集合互異性，可知，解得舍去，所以解得，所以，故選：A3.設則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，在上單調遞增，∴，∴.∵在上單調遞減，∴，∴故選：A.4.已知關于的一元二次不等式的解集為，其中為常數，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為關于的一元二次不等式的解集為，所以，且和5是一元二次方程的兩根，所以解得所以不等式可化為，即，解得或，則不等式的解集是.故選：D5.已知實數，則函數的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】實數，，當且僅當，即時等號成立，函數的最小值為6.故選：B.6.函數的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為函數的定義域為，所以A不符合題意，當時，，，則，所以B不符合題意，當趨向于無窮大時，的增長速度快于的增長速度，所以對的趨向于零，所以D不符合題意，C符合題意，故選：C7.定義在0,+∞上的函數滿足：對，且，都有成立，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，因為對，且，都有成立，不妨設，則，故，則，即，所以在0,+∞上單調遞增，又因為，所以，故可化為，所以由的單調性可得，即不等式的解集為.故選：A.8.已知函數（且），若函數的值域為，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當時，則，且，所以，若函數的值域為，可知當時，則的值域包含，若，則在內單調遞減，可得，不合題意；若，則在內單調遞增，可得，則，解得；綜上所述：實數a的取值范圍是.故選：B.二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知集合，若，則實數的值可以為（）A.2 B.1 C. D.0【答案】ABD【解析】,由可得，①當時，，滿足，故D正確；②當時，，滿足，故A正確；③當且時，，要使，須使，解得此時滿足，故B正確.故選：ABD.10.若，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若且，則 D.【答案】AD【解析】對于A，若，則，所以，故A正確；對于B，若，不妨取，則，此時，故B錯誤；對于C，因為且，不妨設，則，此時，故C錯誤；對于D，等價于，不等式顯然成立，故D正確．故選：AD.11.已知，都為正數，且，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】對于A：，，，，當且僅當，即，時，等號成立，即的最大值為，故A正確，對于B：，，，，由A可知，，，當且僅當，時，等號成立，即的最小值為，故B正確，對于C：，，，，當且僅當，即，時，等號成立，顯然不成立，所以的最大值取不到，故C錯誤，對于D，，，，，當且僅當，即，時，等號成立，即的最小值為，故D正確，故選：ABD．12.高斯（Gauss）是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，例如，．已知函數，，則下列說法正確的有（）A.是偶函數 B.的值域是C.奇函數 D.在上是增函數【答案】BCD【解析】對于，，，，不是偶函數，錯誤；對于，，，，，，當時，，當時，，的值域是，正確；對于，，為奇函數，正確；對于，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，即在上是增函數，正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.求值：______．【答案】【解析】故答案為：14.函數的圖象必經過定點______.【答案】【解析】當，即時，，所以定點坐標為.故答案為：15.不等式對恒成立，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】①當時，成立；②當時，只需，解得.綜上可得，即實數的取值范圍為．故答案為：16.函數，，若，使成立，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由以及可得；再由以及可得；若，使成立可得，即，解得；又，因此的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.解關于的不等式；【答案】答案見解析【解析】，即，當，即時，原不等式的解集為；當，即時，原不等式的解集為；當，即時，原不等式的解集為；綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為．18.已知集合，，，（1）求，；（2）若是的充分而不必要條件，求實數的取值范圍.解：（1），即，，又或，或.（2）是的充分而不必要條件，故真包含于，當時，有，即；當時，有，即，綜上所述，實數m取值范圍為.19.已知函數是定義在上的函數，恒成立，且（1）確定函數的解析式；（2）用定義證明在上是增函數；（3）解不等式．解：（1）由題意可得，解得所以，經檢驗滿足奇函數.（2）設，則，，，且，則，則，即，所以函數在上是增函數．（3），，是定義在上的增函數，，得，所以不等式的解集為．20.某工廠某種航空產品的年固定成本為萬元，每生產件，需另投入成本為，當年產量不足件時，（萬元）.當年產量不小于件時，（萬元）.每件商品售價為萬元.通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（件）的函數解析式；（2）年產量為多少件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？解：（1）∵①當0＜x＜80時，根據年利潤＝銷售收入?成本，

∴；

②當x≥80時，根據年利潤＝銷售收入?成本，

∴．

綜合①②可得，；（2）①當0＜x＜80時，，

∴當x＝60時，L（x）取得最大值L（60）＝950萬元；

②當x≥80時，，

當且僅當，即x＝100時，L（x）取得最大值L（100）＝1000萬元．

綜合①②，由于950＜1000，

∴當產量為