高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省晉中市2025屆5月高考適應訓練考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為集合，，所以．故選：B.2.已知復數z滿足（i為虛數單位），則z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，故z的虛部為．故選：D3.已知圓C的一般方程為，則圓C的圓心坐標為（）A B. C. D.【答案】C【解析】由，得，可知圓C的圓心坐標為．故選：C4.已知是公差為1的等差數列，是其前n項和，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】因為，所以，由等差數列的性質得，所以，所以．故選：A.5.如圖所示，已知一質點在外力的作用下，從原點0出發，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為．若該質點每次移動一個單位長度，則經過3次移動后，該質點位于1處的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，質點從原點O出發，移動到1處時，向左移動了一次，向右移動了兩次，記向左移動的次數為X，則，所以．故選：B.6.下列頻率分布直方圖中，平均數大于中位數的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于選項A和B，根據頻率分布直方圖，由圖形的對稱性，易得平均數等于中位數，所以A和B錯誤；對于選項C，根據頻率分布直方圖，易得平均數小于中位數，所以C錯誤；對于選項D，根據頻率分布直方圖，易得平均數大于中位數，所以D正確．故選：D.7.已知定義在上的奇函數滿足，且當時，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】定義在上的奇函數滿足，則，于是，即的周期為4，則．故選：C.8.已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，，過點且與的一條漸近線平行的直線交于點，若（O為坐標原點），則的離心率為（）A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】設C的半焦距為，過點且與的一條漸近線平行的直線交于點，由，可知為直角三角形，因為所在直線與平行，為銳角，所以，即，又，聯立解得：，又，則，所以，由雙曲線的定義可得，則，在中，，即，化簡得，所以的離心率．故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.《易經》是中華民族智慧的結晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦．如圖所示是八卦模型圖以及根據該圖抽象得到的正八邊形ABCDEFGH，其中，O為正八邊形的中心，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，，故A正確；對于B，如圖，連接AC交OB于點M，可知M為AC的中點，所以，故B錯誤；對于C，在中，易知，且，所以，，由二倍角公式可得，故C正確；對于D，連接，則，所以，故D正確．故選：ACD10.已知數列的通項公式為，前項和為，則（）A.既有最小項，也有最大項 B.使的的值共有個C.滿足的的值共有個 D.使取得最小值的的值為【答案】AD【解析】令，易知在，上單調遞減，所以當時，，時，，又由，知，，對于A，由上述分析知數列有最小項，且有最大項，故A正確；對于B，由，知，又，所以或或或，所以使的的值共有個，故B錯誤；對于C，要使，又，所以，，中有個負數或個負數，所以或或，故滿足的n的值共有個，故C錯誤；對于D，因為時，，時，，所以當時，取得最小值，故D正確．故選：AD.11.如圖（1），在長方形ABCD中，，，E，F分別為AB，CD的中點，連接AF，CE，分別交BD于點M，N，將沿直線BD折起到的位置，如圖（2），則下列說法正確的是（）A.在翻折的過程中，恒有平面PENB.若G為直線PN上一點，則點G到直線AM的最短距離為C.當二面角的大小為時，D.當平面平面ABD時，三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】在長方形ABCD中，，，E，F分別為AB，CD的中點，計算可得，，易知，又，所以，則，，所以，所以，同理可得．對于A，由上述過程可知在翻折的過程中，，而，因為，PN，平面PEN，所以平面PEN，故A正確；對于B，與A同理可得平面AMF，因為平面AMF，所以，由平面PEN，平面PEN，可得，所以MN為AM，PN公垂線段，所以點G到直線AM的最短距離為MN，而，故B正確；對于C，因為，二面角的大小為，則，所以，所以，故C錯誤；對于D，因為和都是直角三角形，且BD為公共邊，所以BD的中點為其所在三角形的外心，同時也是三棱錐外接球的球心，所以外接球半徑，所以三棱錐外接球的表面積，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數，則曲線在點處的切線方程為________．【答案】【解析】因為，所以，令，得，解得，所以，則，所以曲線在點處的切線方程為，即．故答案為：13.的展開式中，常數項為________．【答案】10【解析】因為，又的展開式的通項為，所以當時，所以展開式中常數項為10．故答案為：.14.已知函數滿足，且在上有且僅有一個極值點，則________．【答案】【解析】設的最小正周期為T，結合三角函數的圖象與性質可知，所以，即，解得．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）證明：a，b，c成等差數列；（2）求B的最大值．（1）證明：由，結合正弦定理可得，整理得，①因為，所以，②將②代入①，得，再由正弦定理得，故a，b，c成等差數列．（2）解：由余弦定理得，當且僅當時，等號成立，由，可得，所以B的最大值為．16.如圖，在四棱錐中，，，，E為棱PC的中點，且．（1）證明：平面PAD；（2）證明：平面PAD；（3）若，，且二面角的余弦值為，求AB的長．（1）證明：如圖，取PD的中點，連接，，則，，又，，所以，且，所以四邊形ABEF為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面PAD；（2）證明：因為，，所以，又因為，，且、平面，所以平面；（3）解：由，，可知，所以．故PA，AB，AD兩兩垂直，所以可以A為坐標原點，建立如上圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，所以，，，設平面ABE的法向量為，則，即，令，得，，所以，設平面PBE的法向量為，則，即，令，得，，所以，設二面角的大小為（由題可知為銳角），則，解得，所以AB的長為1．17.已知函數．（1）討論的單調性；（2）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）函數的定義域為，又，令，得，當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減．所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）由對任意恒成立，得對任意恒成立，即對任意恒成立．令，則有，顯然為增函數，可得，則，所以．由（1）可知，所以，故的取值范圍為．18.某學校有三個學生餐廳，高一新生王同學在開學第一天隨機選擇一個餐廳就餐，若前一天在A餐廳就餐，則當天還在A餐廳就餐的概率為，若前一天在B餐廳就餐，則當天在A餐廳就餐的概率為，若前一天在C餐廳就餐，則當天在A餐廳就餐的概率為．（1）求王同學第二天在A餐廳就餐的概率；（2）求王同學第n天在A餐廳就餐的概率；（3）以王同學在餐廳就餐的概率估計高一新生在餐廳就餐的概率，若餐廳當天就餐人數比前一天就餐人數增加的比例不超過，則稱就餐人數趨于穩定，試判斷A餐廳從第幾天開始就餐人數趨于穩定．解：（1）記第i天去餐廳就餐的概率分別為，，，．由全概率公式可得，所以王同學第二天在A餐廳就?的概率為．（2）由題可知，當時，，所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以王同學第n天在A餐廳就餐的概率為．（3）方法一：由（2）的計算可知，，，，，，，，，所以A餐廳從第5天開始就餐人數趨于穩定．方法二：，化簡得，因為，所以，所以A餐廳從第5天開始就餐人數趨于穩定．19.已知橢圓的離心率為，為C上一點．（1）求C的方程．（2）過C的右焦點F的直線l與C交于A，B兩點，記（O為坐標原點）的面積為S，過線段AB的中點G作直線的垂線，垂足為N，設直線AN，BN的斜率分別為