高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省大同市2024-2025學年高一上學期11月期中考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設得，故選:A.2.下列關于，的關系中，是的函數的是（）A.B.C.D.123400-61【答案】D【解析】對于A，不等式的解集為，不是的函數，A不是；對于B，當時，有兩個與對應，不是的函數，B不是；對于C，當時，有兩個與對應，不是的函數，C不是；對于D，對于的每一個值，都有唯一值與之對應，是的函數，D是.故選：D3.設，，則下列不等式中不正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為在0,+∞上是增函數，所以，故A正確；因為在0,+∞上減函數，所以，故B正確；當時，，所以C錯誤；因為；所以.故D正確.故選：C.4.如圖是某高一學生晨練時離家距離與行走時間之間的函數關系的圖像.若用黑點表示該學生家的位置，則該同學散步行走的路線可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】觀察函數圖象知，有一段時間該同學離家距離保持不變，選項ABC中，路線上的點離家距離是變化的，選項D中的路線符合要求.故選：D5.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以該命題的否定為“，”.故選：C.6.，若是的最小值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當時，，當且僅當：，即時，等號成立，此時函數的最小值為，若，則函數的最小值為，此時不是的最小值，此時不滿足條件，若，則要使是的最小值，則滿足，即解得，，，故選：D．7.荀子曰：“故不積跬步，無以至千里：不積小流，無以成江海.”這句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標的哲理.由此可得，“積跬步”是“至千里”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】荀子的名言表明積跬步未必能至千里，但要至千里必須積跬步，故“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.故選：B.8.已知正實數，滿足，則的最小值是（）A.25 B.16 C.18 D.8【答案】B【解析】由展開變形得，則，因為，，所以原式，當且僅當，即，時等號成立故選：B.二、選擇題：本題共2小題，每小題6分，共12分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分9.若集合A具有以下性質：①集合中至少有兩個元素；②若，則xy，，且當時，，則稱集合A是“緊密集合”以下說法正確的是（）A.整數集是“緊密集合”B.實數集是“緊密集合”C.“緊密集合”可以是有限集D.若集合A是“緊密集合”，且x，，則【答案】BC【解析】A選項：若，，而，故整數集不是“緊密集合”，A錯誤；B選項：根據“緊密集合”的性質，實數集是“緊密集合”，B正確；C選項：集合是“緊密集合”，故“緊密集合”可以是有限集，C正確；D選項：集合是“緊密集合”，當，時，，D錯誤．故選：BC.10.一般地，若函數的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區間”；若函數的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區間”.下列結論正確的是（）A.若為的跟隨區間，則B.函數存在跟隨區間C.若函數存在跟隨區間，則D.二次函數存在“3倍跟隨區間”【答案】ACD【解析】選項：由已知可得函數在區間,上單調遞增，則有，解得或1（舍，所以，正確；選項：若存在跟隨區間，又因為函數在單調區間上遞減，圖象如圖示，則區間一定是函數的單調區間，即或,則有，解得，此時異號，故函數不存在跟隨區間，不正確；選項：由已知函數可得：函數在定義域上單調遞減，若存在跟隨區間，則有，即，兩式作差得：，即，又，所以，得，所以，設，則，即在區間上有一個實數根，只需：，解得，正確；選項：若函數存在3倍跟隨區間，設定義域為，值域為，當時，函數在定義域上單調遞增，則，是方程的兩個不相等的實數根，解得或，故存在定義域為使得值域為，正確，故選：ACD.三、填空題：本題共2小題，每小題4分，共8分.11.若二次函數的圖像過原點，且，則的取值范圍是______.【答案】【解析】設，∵圖象過原點，∴，即，∴，，，∴，又，∴，故答案為．12.已知為上的奇函數，，若對，，當時，都有，則不等式的解集為_________.【答案】【解析】由，得，因為，，所以，即，設，則在上單調遞減，而，則，解得；因為為上的奇函數，所以，則為上的偶函數，故在上單調遞增，而，則，解得；綜上，原不等式的解集為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共48分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.13.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.解：（1）原式；（2）原式.14.已知函數，且.（1）求的值；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）因為，所以，即，所以；（2）由于，所以其定義域為，又在上是增函數，由可得，解得，所以實數的取值范圍為.15.設函數，．（1）當時，求的最大值和最小值；（2）若函數的最小值為，求．解：（1）當時，，其中，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，因為，，，因此，，；（2）二次函數圖象的對稱軸為直線.①當時，即時，函數在上單調遞增，故；②當時，即時，函數在單調遞減，故；③當，即時，.綜上，．16.函數f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數，求x的取值范圍．解：(1)∵對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(x)是偶函數，現證明如下：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數．(3)依題設有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函數，∴f(x－1)<2?f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函數．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范圍是{x|－15<x<17且x≠1}．17.某公司為調動員工工作積極性擬制定以下獎勵方案，要求獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，獎金不超過90萬元，同時獎金不超過投資收益的20%.即假定獎勵方案模擬函數為時，該公司對函數模型的基本要求是：當時，①是增函數；②恒成立；③恒成立.(1)現有兩個獎勵函數模型：①；②.試分析這兩個函數模型是否符合公司要求？(2)已知函數符合公司獎勵方案函數模型要求，求實數a的取值范圍.解：(1)對于函數模型：①，驗證條件