高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省日照市2023-2024學年高二下學期期末考試數學試題考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束，將試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，所以.故選：A.2.下列函數中，在區間上單調遞減的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A：在定義域上單調遞增，故A錯誤；對于B：在定義域上單調遞減，故B正確；對于C：，則，當時，所以在上單調遞增，故C錯誤；對于D：在定義域上單調遞增，故D錯誤.故選：B3.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數，且，則（）A.2 B.4 C.0或4 D.2或4【答案】C【解析】當時，因為，所以，所以，經檢驗，滿足題意；當時，因為，所以，即，所以，經檢驗，滿足題意.故選：C5.已知函數的導函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A. B.在區間內有2個極值點C.在區間上是增函數 D.曲線在處的切線的斜率大于0【答案】D【解析】由導函數的部分圖象可得，當或時，，當或時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以在區間內有個極值點，故BC錯誤；所以，故A錯誤；曲線在處的切線的斜率為，故D正確.故選：D.6.已知等比數列，，為函數的兩個零點，則（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】由題意是一元二次方程的兩個根，由韋達定理有，而對于等比數列而言，，從而.故選：C.7.已知，，若直線是函數的一條切線，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設切線的切點為，則.且由，及該直線斜率，知.所以，故，從而代入知，即.所以.當，時，有，.所以的最小值是.故選：C.8.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，當時，，當時，，所以函數上單調遞增，在上單調遞減，所以，即，即，所以，令，則，當時，，所以函數在上單調遞增，所以，即，即，所以，所以，令，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，即，所以，即，綜上所述.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則B.命題“，”的否定是“，或”C.若，則函數的最小值為2D.當時，不等式恒成立，則的取值范圍是【答案】BD【解析】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，命題“”的否定是“或”，故B正確；對于C，則，當且僅當，此時無解，故取不到等號，所以，故C錯誤；對于D，當時，恒成立，當時，則，解得，綜上所述，，故D正確.故選：BD.10.定義域為R的函數，對任意，，且不恒為0，則下列說法正確的是（）A. B.為偶函數C. D.若，則【答案】BCD【解析】對于A，在中，令，有，解得或，若，在中，令，有，這就得到恒成立，這與已知不恒為0矛盾，所以不可能成立，而在處有定義，故一定有，故A錯誤；對于B，在中，令，有，即有，且函數的定義域為R，所以為偶函數，故B正確；對于C，在中，令，有，即，而取遍所有實數時，也取遍所有實數，所以恒成立，故C正確；對于D，若，在中，令，有，這意味著函數的圖象關于點中心對稱，所以，所以函數的周期為4，而，，故D正確.故選：BCD.11.分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”.按照如圖1所示的分形規律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行白圈的個數為，其前n項和為；黑圈的個數為，其前n項和為，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由于每一個白圈產生下一行的1白1黑兩個圈，一個黑圈產生下一行的1個白圈2個黑圈，第n行白圈的個數為，黑圈的個數為，所以，所以B錯誤，所以由，得，，，所以A正確，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以D正確，因為，所以，因為，，所以，所以，所以C錯誤，故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數是偶函數，則__________.【答案】1【解析】，由是偶函數可得，即恒成立.故.故答案為：113.已知函數，數列的前n項和為，且滿足，，，則______.【答案】2【解析】由題意可知：的定義域為，且，即，可知為定義在上的奇函數；且，因為在上單調遞增，可知在上單調遞增；綜上所述：在上單調遞增，且為奇函數.因，則，可得，即，由可知：3為數列的周期，則，且，所以.故答案為：2.14.已知函數，，若函數的圖象恒在的圖象的上方，其中，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由題意，恒成立，令，則，，當時，，所以函數在上單調遞增，又時，，所以函數無最小值，所以時與題意矛盾；當時，令，則，令，則，所以函數在山單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，令，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，所以，綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步理.15.已知數列的前n項和為，，各項均為正數的等比數列，滿足.（1）求數列和的通項公式；（2）記，求數列的前n項和．解：（1）由題意，，而，所以，設各項均為正數等比數列的公比為，滿足，則，所以；（2）由（1）中結論可知，，所以數列的前n項和，，所以.16.已知函數，其中．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）當時，若在區間上的最小值為，求a的值．解：（1）當時，，則，，所以，所以曲線在處的切線方程為：，即．（2），令，解得或，當時，時，，則在上單調遞減，所以，考慮，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的極大值為，所以由得；當時，時，，則在上單調遞減，時，，則在上單調遞增，所以，則，不合題意；當時，時，，則在上單調遞減，所以，不合題意；綜上，．17.已知等差數列的前n項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前n項和為，且，令，求的最小值．解：（1）設等差數列的首項為，公差為．由，得，解得：，所以．（2）方法一：由（1）得，由題意，，而，從而，，而關于單調遞減，從而關于單調遞增，所以關于也是單調遞增，所以當時，的最小值為；方法二：由（1）得，由題意，，而，從而，又，所以單調遞增，所以的最小值為.18.已知函數.（1）求的值；（2）若函數有3個零點，其中.（?。┣髮崝礱的取值范圍；（ⅱ）求證：．解：（1）因為，所以，所以；（2）因為，所以除1外還有兩個不同的零點，由，得，令，當時，在上恒成立，則，所以在上單調遞減，所以在上至多有1個零點，不合題意，舍去；當時，除1外還有兩個不同的零點，則不單調，所以存在兩個零點，所以，解得，當時，設的兩個零點為，則，所以，當或時，，則，當時，，則，所以在和上遞增，在上遞減，因為，所以，因為，且，，且，所以存在，使得，所以有3個零點，綜上，a的取值范圍為；（ⅱ）證明：由（1）知，即，所以若，則，所以，當時，先證明不等式恒成立，令，則，所以在上遞增，所以，所以當時，不等式恒成立，由，可得，所以，因為，所以，所以，兩邊同除以，得，即，所以.19.已知數列滿足，數列為公差為的等差數列，且滿足.記，