高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濟寧市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，則.故選：C.2.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，解得，因此函數的定義域為.故選：B.3.函數（且）的圖象過定點（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，所以函數（且）的圖象過定點.故選：B.4.已知函數，現用二分法求函數在內的零點的近似值，則使用兩次二分法后，零點所在的區間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數，，，函數的零點在內；，函數的零點在內；，函數的零點在內.故選：A.5.（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】.故選：D.6.已知冪函數的定義域為，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為是冪函數，根據冪函數的定義，即.解得或.當時，，其定義域為，不滿足定義域為，舍去.當時，，定義域為，符合題意.所以，.對于函數，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為軸.所以在上單調遞減，在上單調遞增.已知，，.因為是偶函數，所以.，則.因為，.根據函數在上單調遞增，可得，即.故選：D.7.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，則，又，所以.所以.故選：A.8.對于實數，規定表示不小于的最小整數，例如：，，則不等式成立的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由不等式，得，解得，又表示不大于的最大整數，所以，即，觀察選項，只有D選項的包含，滿足要求.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則為第二象限角B.C.函數的最小正周期為D.函數的單調遞增區間為，【答案】BC【解析】對于A選項，若，可得，所以為第二或第三象限角，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，函數的最小正周期為，C對；對于D選項，對于函數，由得，所以，函數的單調遞增區間為，，D錯.故選：BC.10.已知，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，，對于A選項，，則，A對；對于B選項，因為，則，且對數函數為增函數，所以，B對；對于C選項，取，，則，C錯；對于D選項，因為，則，因為指數函數為減函數，冪函數在上為增函數，所以，，D對.故選：ABD.11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.當時，不等式的解集為B.若函數為上的增函數，則實數的取值范圍是C.若函數的值域為，則實數的取值范圍是D.若函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍是【答案】ACD【解析】A：當時，，令，解得；令，解得或，所以不等式的解集為，故A正確；B：易知在上單調遞增，圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為直線，因為在R上單調遞增，所以，解得，故B錯誤；C：易知二次函數的最小值為，由，解得或，要使的值域為R，需，解得，故C正確；D：令，解得；令，解得或.當時，與軸無交點，與軸有2個交點；當時，與軸有1個交點，與軸有2個交點；當時，與軸有1個交點，與軸有1個交點；當時，與軸有1個交點，與軸無交點.綜上，若有兩個零點，則或，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的弧長為________.【答案】【解析】由題意可知弧長.13.給定集合，，若是從集合到集合的函數，請寫出一個符合條件的函數的解析式________.【答案】，（答案不唯一）【解析】由函數的定義得：，（答案不唯一）.14.已知函數，非空集合，，若，則實數的取值范圍是________.【答案】【解析】易知若，則，所以，因此，若，則只需考慮，設，若，則，整理得，即，所以或，（1）當時，，所以成立；（2）當時，若，則方程無根，或方程的根也是的根.①方程無根，則；②若方程有兩根，則，顯然，這兩根不是的根，所以；③若方程有且只有一個根，則，，顯然，是的一個根，此時，成立；又因為集合，所以，方程有根，所以，所以；綜上可得，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）當時，求；（2）若是的充分條件，求實數的取值范圍.解：（1）由題意得，或，當時，，所以.（2）因為或，所以，若是的充分條件，則，所以，解得，所以，實數的取值范圍是.16.已知函數.（1）求函數的單調遞減區間；（2）記函數，當時，求函數的最大值和最小值，并求出取最值時的值.解：（1）因為，由正弦函數的單調性可得，，解得，，，因此，函數的單調遞減區間為，.（2）由（1）可知，，所以，當時，，當時，即當時，函數取最大值，當時，即當時，函數取最小值.17.已知函數.（1）解不等式；（2）當，時，若，求的最小值，并求出取最小值時a，b的值.解：（1）不等式可化，，即：，①當，即時，解不等式得，②當，即時，解不等式得，③當，即時，解不等式得，綜上所述，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為.（2）由（1）和可知，即，因為，，所以，當且僅當時等號成立，即當時，的最小值為4.18.為積極響應上級號召，堅定“四個自信”中的文化自信，某市電視臺于2021年年初開通了“優秀傳統文化”視頻號，并組織專業團隊運營，由于內容豐富多彩，該視頻號受到廣大群眾的喜愛，關注度也逐年增加，以2021年作為第1年，運營團隊在每年年底利用數據監測系統對該視頻號本年度的觀看人次統計如下表：為了描述年數與第年該視頻號觀看人次（單位：十萬）的關系，現有以下三種模型供選擇：①；②；③.（1）由于視頻號初創，監測系統對2021年的數據統計不準確，導致該組數據不宜使用，請從①②③中選出一個合適的模型，并求相應的函數解析式，并根據這個模型預測2028年的觀看人次能否超過80（單位：十萬）；（2）為更好的運營視頻號，吸引更多的觀看者，2025年年初，運營團隊加大投入，引進了最新數據監測系統，經該系統分析，2021年的觀看人次修正為28（單位：十萬），2024年的觀看人次修正為85（單位：十萬）（i）根據修正后的數據，請從①②③中選擇合適的模型，并求相應的函數解析式；（ii）按上級規定，“優秀傳統文化”類視頻號當年觀看人次超過200（單位：十萬），其運營團隊可被評為“優秀文化傳播集體”榮譽稱號，根據（i）中所求函數模型，試估計該視頻號運營團隊最快到哪一年就能被評為“優秀文化傳播集體”？（參考數據：，，.）解：（1）由題意，選擇模型①，將，分別代入①式可得：，解得，，所以，也滿足該式.當時，，即按該模型預測，該視頻號2028年的觀看人次達到80.5（單位：十萬人），所以2028年該視頻號觀看人次能超過80（單位：十萬人）.（2）（i）由題意，選擇模型②，將，分別代入②式可得：，解得，，所以，，均滿足該式.（ii）該視頻號觀看人次超過200（單位：十萬人），即不等式，所以，不等式兩邊同時取常用對數得，，所以，即按（i）中求得的函數模型變化，估計最快到2027年，該視頻號運營團隊能被評為“優秀文化傳播集體”.19.已知函數的定義域為集合，若都有，其中為正常數，則稱函數為“距”增函數.（1）若函數，試判斷函數是否為“距”增函數，并說明理由；（2）若函數，為“距”增函數，求正實數的取值范圍；（3）若函數，為“2距”增函數，求的最小值.解：（1）函數是“距”增函數.因為的定義域為，任取，，因為，所以，即，所以，所以，函數是“距”增函數.（2）因為函數，為“距”增函數，所以，對任意，，所以，即，因為，，所以（**），法1：因為函數圖象開口向上且對稱軸為，所以，函數在上單調遞增，所以，當時，函數取得最小值為，若對任意都成立，則，即，因此，若函數，為“距”增函數，則