山東省濱州市2024-2025學年高二下學期期末模擬數學試題二一、單選題1．已知集合，，則．A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出N集合，然后與M集合求并集.【詳解】化解得：故選D【點睛】本題考查集合運算和指數冪不等式解法；解指數冪不等式，主要應用指數函數單調性，在解題中，盡量統一底，然后利用指數函數單調性確定冪的大小.2．在某項測試中，測量結果服從正態分布，若，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】C【分析】根據正態分布對稱性相關知識求解.【詳解】因為服從正態分布，，所以，所以.故選：C3．已知函數則“”是“在上單調遞增”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】求出分段函數在上單調遞增的條件，再利用充分條件和必要條件的定義判斷結論.【詳解】函數在上單調遞增，則有，解得，時不一定滿足，不能得到在上單調遞增；在上單調遞增時，有，一定成立，所以“”是“在上單調遞增”的必要不充分條件.故選：C.4．若函數定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據抽象函數性質列不等式，解得結果.【詳解】因為函數定義域為，所以故定義域為故選：C【點睛】本題考查抽象函數定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5．函數滿足當時，，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據，得到判斷.【詳解】因為，所以所以，故選：B6．已知實數，滿足，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角換元把轉化為關于的函數關系后可得取值范圍.【詳解】令，則，因，故，當且僅當時取最大值，當時取最小值，故選D.【點睛】二元等式條件下的二元函數的范圍問題，應利用換元或消元的方法把二元函數變為一元函數，再利用函數的手段計算函數的值域，注意盡量不要使用基本不等式，因為基本不等式往往只能求最大值或最小值.7．受世界金融危機的影響，某出口企業為打開國內市場，計劃在個候選城市中建個直銷店，且在同一個城市建直銷店的個數不超過個，則該企業建直銷店的方案種數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可分三種情況，一是選4個城市，每個建一個直銷店，二是選3個城市，一個城市建兩個直銷店，其余兩個建一個直銷店，三是選2個城市，每個城市建兩個直銷店，進而即得.【詳解】由題意可分三種情況，一是選4個城市，每個建一個直銷店，有種，二是選3個城市，一個城市建兩個直銷店，其余兩個建一個直銷店，有種，三是選2個城市，每個城市建兩個直銷店，有種，所以該企業建直銷店的方案種數為.故選：A8．給出下列命題：①“”是“方程”有實根”的充要條件；②若“”為真，則“”為真；③若函數值域為，則；④命題“若，則”為真命題.其中正確的是A．①③ B．①④ C．②④ D．③④【答案】B【解析】根據充要條件的概念，復合命題的真假，對數函數的性質，正切函數的性質分別判斷各個命題．【詳解】①方程有實根的充要條件是，即，①正確；②若為真，則中只要有一個為真即可，若一真一假，則為假，②錯誤；③函數值域為，則，即或，③錯誤；④若，則，因此④正確．故選：B．【點睛】本題考查命題的真假判斷，解題時需對各個命題進行判斷，注意各個命題所用數學知識的應用，本題屬于中檔題．二、多選題9．已知函數（，），則下列說法正確的是（

）A．函數圖象關于軸對稱B．函數的圖像關于中心對稱C．當時，函數在上單調遞增D．當時，函數有最大值，且最大值為【答案】AD【分析】根據函數奇偶性可判斷A,B,由復合函數的單調性可判斷C,D.【詳解】的定義域為，當時，則，故是偶函數，因此圖象關于軸對稱，故A正確，B錯誤，當時，，令，則，當時，單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，由復合函數的單調性可知:在上單調遞減，在上單調遞增，故C錯誤，當時，當時，由于單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增，故在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，取最大值，且最大值為，當時，由于是偶函數，故最大值為，故D正確，故選：AD10．的展開式中各二項式系數和為512，下列結論錯誤的（

）A．展開式的所有項系數和為1 B．展開式中含項的系數為128C．第5項和第6項的二項式系數相等 D．展開式中常數項是第6項【答案】ABD【分析】利用二項式系數的性質求出，并求出展開式的通項，再逐項判斷即可得解.【詳解】依題意，，解得，二項式展開式的通項，對于A，當時，得展開式的所有項系數和為，A錯誤；對于B，由，即，得，展開式中含項的系數為，B錯誤；對于C，展開式共10項，則第5項和第6項的二項式系數相等，C正確；對于D，由，即，得展開式中常數項是第7項，D錯誤.故選：ABD11．已知函數是定義在上的可導函數，其導函數為和都是奇函數，，則下列說法正確的是（

）A．關于點對稱 B．C． D．【答案】ABD【分析】根據函數的圖象變換判斷A的真假，根據函數圖象的對稱性，結合換元思想判斷B的真假；結合函數的周期性及特殊點的函數值，可判斷CD的真假.【詳解】對于A：把的圖象向左平移1個單位，可得的圖象，又為奇函數，圖象關于原點對稱，所以的圖象關于點對稱，故A正確；對于B：由為奇函數，則，又為的導函數，所以，即，則，又為奇函數，所以，即，由上得，故，故，即，即是奇函數，故B正確；對于C：由于，故，即，故4是的一個周期，又，即，所以為周期為4的周期函數，因為，令可得，即，所以，故C錯誤；對于D：因為是上的奇函數，故，結合得，，故，故D正確．故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：（1）若函數為奇函數，則，兩邊求導，可得，所以為偶函數.即奇函數的導函數為偶函數；（2）若函數為偶函數，則，兩邊求導，可得，所以為奇函數.即偶函數的導函數為奇函數.三、填空題12．設實數滿足，則.（用表示）【答案】【解析】直接由對數的運算性質計算得答案.【詳解】解：∵實數滿足，，.故答案為：.【點睛】本題考查了對數的運算性質，是基礎題.13．甲袋中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球為1個，標號為1的小球2個，標號為2的小球2個.從袋中任取兩個球，已知其中一個的標號是1，則另一個標號也是1的概率為．【答案】【分析】根據古典概型及條件概率公式即可得到答案.【詳解】記“一個標號是”為事件,“另一個標號也是”為事件，所以.故答案為：.14．已知函數.若方程在區間有三個不等實根，實數的取值范圍為.【答案】【分析】分區間討論，去掉絕對值，畫出函數的圖象，利用函數的零點的個數推出a的取值范圍．【詳解】當時，，當時，，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，作出函數在區間上的圖象如圖：設直線，要使在區間上有個不等實根，即直線與函數的圖象在區間上有個交點，由圖象可知或，所以實數的取值范圍是.故答案為：.四、解答題15．某市為了解中學教師學習強國的情況，調查了高中、初中各5所學校，根據教師學習強國人數的統計數據（單位：人），畫出如下莖葉圖（其中一個數字被污損）.并從學習強國的教師中隨機抽取了4人，統計了其學習強國的周平均時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），并繪制了如下對照表：表（i）表（ii）年齡20304050周平均學校強國時間2.5344.5（1）若所調查的5所初中與5所高中學習強國的平均人數相同，求莖葉圖中被污損的數字；（2）根據表（ii）中提供的數據，用最小二乘法求出周平均學習強國時間關于年齡的回歸直線方程，并根據求出的回歸方程，預測年齡為52歲的教師周平均學習強國的時間.參考公式：，.【答案】（1）8；（2），4.69小時.【分析】（1）設被污損的數字為a，根據平均數相同列出方程即可求解；(2)求出回歸系數，可得回歸方程，再預測年齡為52歲的教師周平均學習強國的時間.【詳解】（1）設被污損的數字為a，則，解得.（2）由表中數據，計算得，，，，∴周平均學校強國時間關于年齡回歸直線方程；當時，，即預測年齡為52歲的教師周均學習強國的時間為4.69小時.【點睛】本題主要考查了莖葉圖，利用莖葉圖求平均值的應用，線性回歸方程的求法，考查計算能力，屬于中檔題.16．已知函數，．（1）若函數在內單調，求的取值范圍；（2）若函數存在兩個極值點，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出函數的導數，問題轉化為恒成立，求出的范圍即可；（2）求出的解析式，令，，根據函數的單調性求出的范圍，從而求出問題的答案．【詳解】（1），由題意得恒成立，即恒成立，而，；（2）由題意知在內有2個不等實根，，則，且，，不妨設，則，，令，，則，顯然，，故，遞增，而，時，，故，，．【點睛】本題考查了函數的單調性，最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道綜合題．17．某校高二數學興趣小組為了了解學生的解題水平，設計了一個考查方案：每個學生從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，限時獨立完成，規定：至少正確解答出其中2道題方可通過，6道備選題中，學生甲恰有4道題能正確解答；學生乙每道題正確解答的概率都是，且每道題正確解答與否互不影響.(1)分別求甲、乙兩位學生正確解答題目個數的概率分布列（列出分布列表）；(2)試從甲、乙兩位學生正確解答題目個數的數學期望及兩人通過考查的概率分析比較兩位考生的解題能力.【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【分析】(1)設甲、乙兩位學生正確解答題目個數分別為，求出隨機變量的所有取值并計算相應概率從而得到概率分布列；(2）計算甲乙兩位學生正確解答題目個數的數學期望以及通過率可作出評價．【詳解】（1）設甲、乙兩位學生正確解答題目個數分別為，則的取值分別為1、2、3，的取值分別為0、1、2、3，，，，所以甲學生正確解答題目個數的概率分布列:123由題意可知，,,,所以乙學生正確解答題目個數的概率分布列:0123（2），，，，所以從甲、乙兩位學生正確解答題目個數的數學期望分析,兩人水平相當；從通過率分析,甲通過的可能性大，因此可以判斷甲學生解題能力較強.18．設函數（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）設，若函數有三個不同零點，求c的取值范圍；（Ⅲ）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）求函數f（x）的導數，根據，求切線方程；（Ⅱ）根據導函數判斷函數f（x）的單調性，由函數有三個不同零點，求c的取值范圍；（Ⅲ）從兩方面必要性和不充分性證明，根據函數的單調性判斷零點個數.試題解析：（Ⅰ）由，得．因為，，所以曲線在點處的切線方程為．（Ⅱ）當時，，所以．令，得，解得或．與在區間上的情況如下：所以，當且時，存在，，，使得．由的單調性知，當且僅當時，函數有三個不同零點．（Ⅲ）當時，，，此時函數在區間上單調遞增，所以不可能有三個不同零點．當時，只有一個零點，記作．當時，，在區間上單調遞增；當時，，在區間上單調遞增．所以不可能有三個不同零點．綜上所述，若函數有三個不同零點，則必有．故是有三個不同零點的必要條件．當，時，，只有兩個不同零點，所以不是有三個不同零點的充分條件．因此是有三個不同零點的必要而不充分條件．【考點】利用導數研究曲線的切線；函數的零點【名師點睛】1.證明不等式問題可通過作差或作商構造函數，然后用導數證明．2.求參數范圍問題的常用方法：（1）分離變量；（2）運用最值．3.方程根的問題可化為研究相應函數的圖象，而圖象又歸結為極值點和單調區間的討論．4.高考中一些不等式的證明需要通過構造函數，轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵．19．已知，設函數，為的導函數，且恒成立.(1)求實數的取值范圍；(2)設的零點為，的極小值點為，證明：.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由函數解析式求導，根據分離變量整理不等式，構造新函數，利用導數求新函數的最值，可得答案；（2）根據零點與極小值點的定義，整理與的等量關系，利用函數的單調性，比較其大小，根據（1）求得的的取值范圍，結合不等式的性質，可得答案.【詳解】（1）由函數，則，即不等式，代入可得，由，則不等式整理可得，令，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，則，解得.（2）因為函數的零點為，所以，則，解得