PAGEPAGE1考查角度1統(tǒng)計案例分類透析一統(tǒng)計圖表與數(shù)字特征分析例1從某食品廠生產(chǎn)的面包中抽取100個,測量這些面包的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]頻數(shù)82237285(1)在相應(yīng)位置上畫出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計這種面包質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)X(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(3)依據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該食品廠生產(chǎn)的這種面包符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于85的面包至少要占全部面包90%的規(guī)定”?分析(1)依據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù),可畫出頻率分布直方圖;(2)利用平均數(shù)的計算公式,可求得平均數(shù)X;(3)計算質(zhì)量指標(biāo)值不低于85的面包所占比例的估計值,再做出推斷.解析(1)畫圖.(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為x-=80×0.08+90×0.22+100×0.37+110×0.28+120×0.05=100所以這種面包質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為100.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于85的面包所占比例的估計值為0.22+0.37+0.28+0.05=0.92,由于該估計值大于0.9,故可以認(rèn)為該食品廠生產(chǎn)的這種面包符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于85的面包至少要占全部面包90%的規(guī)定”.方法技巧在頻率分布直方圖中,小矩形的高表示“頻率/組距”,而不是頻率;利用頻率分布直方圖求平均數(shù)時,平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,可以估計為頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.分類透析二線性回來的綜合應(yīng)用例2某市為了引導(dǎo)居民合理用水,居民生活用水實行二級階梯式水價計算方法,詳細(xì)如下:第一階梯,每戶居民月用水量不超過12噸,價格為4元/噸;其次階梯,每戶居民月用水量超過12噸,超過部分的價格為8元/噸.為了了解全市居民月用水量的分布狀況,通過抽樣獲得了100戶居民的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)依據(jù)[0,2],(2,4],…,(14,16](全市居民月用水量均不超過16噸)分成8組,制成了如圖①所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中字母a的值,并求該組的頻率.(2)通過頻率分布直方圖,估計該市居民每月的用水量的中位數(shù)m的值(保留兩位小數(shù)).(3)圖②是該市居民張某2024年1~6月份的月用水費y(元)與月份x的散點圖,其擬合的線性回來方程是y＾=2x+33.若張某2024年1~7月份水費總支出為312元,試估計張某7月份的用水噸數(shù)分析(1)依據(jù)矩形面積和為1可得結(jié)果;(2)利用m左右面積都是12(3)依據(jù)回來直線過樣本點的中心,算出前六個月平均費用,總費用減去前六個月的費用和即可得結(jié)果.解析(1)∵(0.02+0.04+0.08+a+0.13+0.08+0.03+0.02)×2=1,∴a=0.10.故第四組的頻率為0.1×2=0.2.(2)∵0.02×2+0.04×2+0.08×2+0.10×2+(m-8)×0.13=0.5,∴m=8+0.5-0(3)∵x-=1+2+3+4+5+66=3.5,且y＾=∴y-=2×3.5+33=40∴張某7月份的用水費用為312-6×40=72(元),設(shè)張某7月份的用水x噸,∵12×4=48<72,∴12×4+(x-12)×8=72,解得x=15.則張某7月份用水15噸.方法技巧(1)要能夠從統(tǒng)計圖表中獲得數(shù)據(jù)來解決問題.(2)若已知回來直線方程,則可以干脆將數(shù)值代入求得特定要求下的預(yù)料值;若回來直線方程有待定參數(shù),則依據(jù)回來直線方程恒過點(x-,y-分類透析三獨立性檢驗的綜合應(yīng)用例3某校工會對全校教職工在平昌冬季奧運會期間每天收看競賽轉(zhuǎn)播的時間做了一次調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表:收看時間(單位:小時)[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6]收看人數(shù)143016282012(1)若將每天收看競賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達(dá)人”,否則定義為“非體育達(dá)人”,請依據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全2×2列聯(lián)表:男女合計體育達(dá)人40非體育達(dá)人30合計并推斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān).(2)在全校“體育達(dá)人”中按性別分層抽樣抽取6名,再從這6名“體育達(dá)人”中隨意選取2名做冬奧會學(xué)問講座.求取出的2名“體育達(dá)人”中至少有1名女職工的概率.附表及公式:P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附:K2=n(ad-bc分析(1)依據(jù)表格中的數(shù)據(jù),計算K2,比照附表,做出推斷;(2)先利用分層抽樣方法抽取6名“體育達(dá)人”,并確定其中男女職工人數(shù),再利用概率學(xué)問求解即可.解析(1)由題意得下表:男女合計體育達(dá)人402060非體育達(dá)人303060合計7050120k=120×(1200-600)270×50×60×60所以有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān).(2)由題意知抽取的6名“體育達(dá)人”中有4名男職工(記作a,b,c,d),2名女職工(記作m,n),則從這6名“體育達(dá)人”中隨意選取2名有ab,ac,ad,am,an,bc,bd,bm,bn,cd,cm,cn,dm,dn,mn,共15種取法,取出的2名“體育達(dá)人”中至少有1名女職工有am,an,bm,bn,cm,cn,dm,dn,mn,共9種取法,所以所求概率P=915=3方法技巧獨立性檢驗的方法的解題步驟①構(gòu)造2×2列聯(lián)表;②計算K2的觀測值k;③查表確定有多大的把握判定兩個變量有關(guān)聯(lián).1.(2024年全國Ⅲ卷,文18改編)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,一般狀況下PM2.5濃度越大,大氣環(huán)境質(zhì)量越差.我國PM2.5的標(biāo)準(zhǔn)是:24小時PM2.5的平均濃度在0~35μg/m3范圍內(nèi),則空氣質(zhì)量是優(yōu),在35~75μg/m3范圍內(nèi),則空氣質(zhì)量是良好,在75~115μg/m3范圍內(nèi),則空氣質(zhì)量是輕度污染.在115~150μg/m3范圍內(nèi),則空氣質(zhì)量是中度污染.甲、乙兩座城市2024年底經(jīng)評估PM2.5的年平均濃度均在80μg/m3左右,空氣質(zhì)量是輕度污染,甲、乙兩座城市實行不同的環(huán)境綜合治理方式,通過各個監(jiān)測站的大數(shù)據(jù)匯總得到2024年每個月PM2.5的平均濃度數(shù)據(jù)如下(單位:μg/m3).甲城市:83,74,55,62,47,65,58,61,56,50,54,46.乙城市:82,68,61,65,68,68,71,67,82,70,66,72.(1)依據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)推斷2024年哪座城市的大氣環(huán)境質(zhì)量總體較好?并說明理由.(2)求兩座城市24個PM2.5的平均濃度的中位數(shù),并將兩座城市超過和不超過中位數(shù)的月份數(shù)填入下面的列聯(lián)表:不超過超過甲城市乙城市(3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩座城市的大氣環(huán)境質(zhì)量與該城市綜合治理的方式有關(guān)?附:K2=n(P(K2≥k0)0.050.0100.001k03.8416.63510.828解析(1)甲城市的大氣環(huán)境質(zhì)量總體較好.理由如下:x-甲=112×(83+74+55+62+47+65+58+61+56+50+54+46)=71112x-乙=112×(82+68+61+65+68+68+71+67+82+70+66+72)=84012=70,所以所以甲城市的大氣環(huán)境質(zhì)量總體較好.(2)把24個數(shù)據(jù)由小到大排序可得中位數(shù)為m=65+662=66.5列聯(lián)表如下:不超過超過甲城市102乙城市210(3)由于k=24×(10×10-2×2)212×12×12×12所以有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩座城市的大氣環(huán)境質(zhì)量與他們綜合治理的方式有關(guān).2.(2024年全國Ⅱ卷,文18改編)一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y(單位:個)與肯定范圍內(nèi)的溫度x(單位:℃)有關(guān),現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表所示.溫度x/℃212324272932產(chǎn)卵y/個61120275777經(jīng)計算得x-=16i=16xi=26,y-=16i=16yi=33,i=16(xi-x-)(yi-y-)=557,i=16(xi-x-)2=84,i=16(yi-y-)2=3930,線性回來模型的殘差平方和(1)若用線性回來模型擬合,求y與x的回來方程y＾=bx+a(結(jié)果精確到0.1)(2)若用非線性回來模型擬合求得y與x的回來方程為y＾=0.06e0.2303x,且相關(guān)指數(shù)R2=0.9522①試用(1)中的回來模型相比,用R2說明哪種模型的擬合效果更好.②用擬合效果好的模型預(yù)料當(dāng)溫度為35℃時,該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).附:一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回來直線y＾=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計分別為b=i=1n(xi-x-)(yi-y解析(1)由題意得,b=i=16(x所以a=33-55784×26=-139.所以y關(guān)于x的線性回來方程為y＾=6.6x-139.4(2)①由所給數(shù)據(jù)求得的線性回來方程為y＾=6.6x-139.R2=1-i=16(yi-y＾因為0.9398<0.9522,所以回來方程y＾=0.06e0.2303x比線性回來方程y＾=6.6x-139.②由①得當(dāng)溫度x=35℃時,y＾=0.06e0.2303×35=0.06e8.0605≈0.06×3167≈190(個)即當(dāng)溫度x=35℃時,該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計為190個.3.(2024全國Ⅰ卷,文19改編)某超市安排銷售某種食品,現(xiàn)邀甲、乙兩個商家進(jìn)場試銷5天.兩個商家供應(yīng)的返利方案如下:甲商家每天固定返利60元,且每賣出一件食品商家再返利2元;乙商家無固定返利,賣出30件以內(nèi)(含30件)的食品,每件食品商家返利4元,超出30件的部分每件返利6元.經(jīng)統(tǒng)計,兩個商家的試銷狀況莖葉圖如下:(1)現(xiàn)從甲商家試銷的5天中抽取兩天,求這兩天的銷售量都小于30的概率;(2)超市擬在甲、乙兩個商家中選擇一家長期銷售,假如僅從日平均返利額的角度考慮,請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)學(xué)問為超市做出選擇,并說明理由.解析(1)記“抽取的兩天銷售量都小于30”為事務(wù)A,則5天中抽取兩天的狀況有(29,28),(29,29),(29,32),(29,32),(28,29),(28,32),(28,32),(29,32),(29,32),(32,32),共10種,兩天的銷售量都小于30的狀況有(29,28),(29,29),(28,29),共3種,所以P(A)=310(2)依題意,甲商家的日平均銷售量為15×(29+28+29+32+32)=30所以甲商家的日平均返利額為60+30×2=120元.乙商家的日平均返利額為15×(28×4+28×4+30×4+2×6+30×4+1×6+30×4+1×6)=121.6元因為121.6>120,所以舉薦該超市選擇乙商家長期銷售.1.(2024安徽淮南二模)2024年春,為響應(yīng)中國大豆參加世界貿(mào)易的競爭,某市農(nóng)科院主動探討,加大優(yōu)良品種的培育工作.其中一項基礎(chǔ)工作就是探討晝夜溫差大小與大豆發(fā)芽率之間的關(guān)系.為此科研人員分別記錄了5天中每天100粒大豆的發(fā)芽數(shù),得如下數(shù)據(jù)表格:日期4月4日4月5日4月6日4月7日4月8日溫差x(℃)101113128發(fā)芽數(shù)y(粒)2326322616科研人員確定探討方案如下:從5組數(shù)據(jù)中選3組數(shù)據(jù)求線性回來方程,再用求得的回來方程對剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.(1)求剩下的2組數(shù)據(jù)恰是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率;(2)若選取的是4月5日、6日、7日三天的數(shù)據(jù),據(jù)此求y關(guān)于x的線性回來方程y＾=bx+a(3)若由線性回來方程得到的估計數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的誤差肯定值均不超過1粒,則認(rèn)為得到的線性回來方程是牢靠的,請檢驗(2)中回來方程是否牢靠.附:b=i=1n(xi-x-解析(1)剩下的2組數(shù)據(jù)的狀況有(4日,5日),(4日,6日),(4日,7日),(4日,8日),(5日,6日),(5日,7日),(5日,8日),(6日,7日),(6日,8日),(7日,8日),共10種,恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的狀況有(4日,6日),(4日,7日),(4日,8日),(5日,7日),(5日,8日),(6日,8日),共6種,所以恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率是610=3(2)由數(shù)據(jù)得i=13xiyi=11×26+13×32+12×x-=13×(11+13+12)y-=13×(26+32+26)3x-y-=3×12×∴i=1nxiyi-nx-y-=i=13xiyi-i=13xi2=112+133x-2=3×122∴i=1nxi2-nx-2=i∴b=i=13x∴a=y--bx-=28-3×12故y關(guān)于x的線性回來方程為y＾=3x-8(3)當(dāng)x=10時,y＾=3×10-8=22,|22-23|當(dāng)x=8時,y＾=3×8-8=16,|16-16|≤1故得到的線性回來方程是牢靠的.2.(2024云南保山統(tǒng)考)某校進(jìn)行文科、理科數(shù)學(xué)成果對比,某次考試后,各隨機(jī)抽取100名同學(xué)的數(shù)學(xué)考試成果進(jìn)行統(tǒng)計,其頻率分布表如下.分組頻數(shù)頻率[135,150]80.08[120,135)170.17[105,120)400.4[90,105)210.21[75,90)120.12[60,75)20.02總計1001理科分組頻數(shù)頻率[135,150]40.04[120,135)180.18[105,120)370.37[90,105)310.31[75,90)70.07[60,75)30.03總計1001文科(1)依據(jù)數(shù)學(xué)成果的頻率分布表,求理科數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)的估計值;(2)請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表,并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有90%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成果與文理科有關(guān).數(shù)學(xué)成果≥120分?jǐn)?shù)學(xué)成果<120分合計理科文科合計200附:K2=n(ad-bcP(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解析(1)理科數(shù)學(xué)成果的頻率分布表中,成果小于105分的頻率為0.35,成果小于120分的頻率為0.75,故理科數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)的估計值為105+15×(0.5-(2)依據(jù)數(shù)學(xué)成果的頻率分布表得如下列聯(lián)表:數(shù)學(xué)成果≥120分?jǐn)?shù)學(xué)成果<120分合計理科2575100文科2278100合計47153200k=200(25×78-22×75)2100×100×47×153故沒有90%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成果與文理科有關(guān).3.(2024遼寧凌源二中模考)某大型高端制造公司為響應(yīng)《中國制造2025》中提出的堅持“創(chuàng)新驅(qū)動、質(zhì)量為先、綠色發(fā)展、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、人才為本”的基本方針,打算加大產(chǎn)品研發(fā)投資,下表是該公司2024年5~12月份研發(fā)費用(百萬元)和產(chǎn)品銷量(萬臺)的詳細(xì)數(shù)據(jù):月份56789101112研發(fā)費用x(百萬元)2361021131518產(chǎn)品銷量y(萬臺)1122.563.53.54.5(1)依據(jù)數(shù)據(jù)可知y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系.①求出y關(guān)于x的線性回來方程(系數(shù)精確到0.001);②若2024年6月份研發(fā)投入為25(百萬元),依據(jù)所求的線性回來方程估計當(dāng)月產(chǎn)品的銷量.(2)公司在2024年年終總結(jié)時打算從該年8~12月份這5個月中抽取3個月的數(shù)據(jù)進(jìn)行重點分析,求沒有抽到9月份數(shù)據(jù)的概率.參考數(shù)據(jù):i=18xiyi=347,參考公式:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回來直線y＾=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計分別為b=i=1nxi解析(1)①因為x-=11,y-所以b=i=18xiyi-nx-y-i=1所以y關(guān)于x的線性回來方程為y＾=0.244x+0.315②當(dāng)x=25時,y＾=0.244×25+0.315=6.415(萬臺)(2)記8~12月份這