割線定理的題目及答案一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)=x^2-6x+8，x∈R，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2的值為（）。A.6B.3C.2D.0答案：A解析：根據(jù)割線定理，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2=6。2.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，x∈R，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2+x3的值為（）。A.3B.0C.1D.-1答案：A解析：根據(jù)割線定理，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2+x3=3。3.已知函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，x∈R，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2+x3+x4的值為（）。A.4B.0C.1D.-1答案：A解析：根據(jù)割線定理，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2+x3+x4=4。二、填空題4.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，x∈R，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2=_________。答案：4解析：根據(jù)割線定理，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2=4。5.已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+11x-6，x∈R，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2+x3=_________。答案：6解析：根據(jù)割線定理，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2+x3=6。6.已知函數(shù)f(x)=x^4-8x^3+24x^2-32x+8，x∈R，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2+x3+x4=_________。答案：8解析：根據(jù)割線定理，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2+x3+x4=8。三、解答題7.已知函數(shù)f(x)=x^5-10x^4+35x^3-50x^2+24x-4，x∈R，若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=f(x5)，求x1+x2+x3+x4+x5的值。答案：10解析：根據(jù)割線定理，若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=f(x5)，則x1+x2+x3+x4+x5=10。8.已知函數(shù)f(x)=x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64，x∈R，若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=f(x5)=f(x6)，求x1+x2+x3+x4+x5+x6的值。答案：12解析：根據(jù)割線定理，若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=f(x5)=f(x6)，則x1+x2+x3+x4+x5+x6=12。9.已知函數(shù)f(x)=x^7-14x^6+84x^5-280x^4+560x^3-672x^2+448x-128，x∈R，若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=f(x5)=f(x6)=f(x7)，求x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7的值。答案：14解析：根據(jù)割線定理，若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=f(x5)=f(x6)=f(x7)，則x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=14。四、證明題10.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1和x2，若f(x)=x^n（n為正整數(shù)），則f(x1)=f(x2)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2=0。證明：（1）必要性：若f(x1)=f(x2)，則x1^n=x2^n。由于n為正整數(shù)，所以x1=x2或x1=-x2。因此，x1+x2=0。（2）充分性：若x1+x2=0，則x1=-x2。由于f(x)=x^n，所以f(x1)=x1^n=(-x2)^n=x2^n=f(x2)。綜上所述，f(x1)=f(x2)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2=0。11.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1、x2和x3，若f(x)=x^3，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，則x1+x2+x3=0。證明：（1）已知f(x1)=f(x2)=f(x3)，所以x1^3=x2^3=x3^3。（2）不妨設(shè)x1^3=x2^3=x3^3=k（k為實(shí)數(shù)）。（3）則x1=k^(1/3)，x2=k^(1/3)ω，x3=k^(1/3)ω^2，其中ω為復(fù)數(shù)單位根，滿足ω^3=1且ω≠1。（4）所以x1+x2+x3=k^(1/3)+k^(1/3)ω+k^(1/3)ω^2=k^(1/3)(1+ω+ω^2)。（5）由于ω^3=1，所以1+ω+ω^2=0。（6）因此，x1+x2+x3=0。綜上所述，若f(x)=x^3，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，則x1+x2+x3=0。12.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1、x2、x3和x4，若f(x)=x^4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，則x1+x2+x3+x4=0。證明：（1）已知f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，所以x1^4=x2^4=x3^4=x4^4。（2）不妨設(shè)x1^4=x2^4=x3^4=x4^4=k（k為實(shí)數(shù)）。（3）則x1=k^(1/4)，x2=k^(1/4)i，x3=k^(1/4)(-1)，x4=k^(1/4)(-i)，其中i為虛數(shù)單位，滿足i^2=-1。（4）所以x1+x2+x3+x4=k^(1/4)+k^(1/4)i+k^(1/4)