熱點62等比數(shù)列的通項及前n項和7大題型主要考查等比數(shù)列的基本量計算和基本性質(zhì)、等比數(shù)列的中項性質(zhì)、判定與證明，這是高考熱點；等比數(shù)列的求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點。這部分內(nèi)容難度以中、低檔題為主，結(jié)合等差數(shù)列一般設(shè)置一道選擇題和一道解答題。一、等比數(shù)列的判定方法1、定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；2、中項法：（）為等比數(shù)列；3、通項公式法：（，為常數(shù)）為等比數(shù)列.二、等比數(shù)列前n項和運算的技巧1、在等比數(shù)列的通項公式和前項和公式中，共涉及五個量：，，，，，其中首項和公比為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答；2、對于基本量的計算，列方程組求解時基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如，都可以看作一個整體。三、等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征1、與的關(guān)系（1）當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為，設(shè)，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點；（2）當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點。2、與的關(guān)系當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)。【題型1等比數(shù)列的基本量計算】【例1】（2023·陜西銅川·?？家荒＃┰O(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則通項（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，且不為1又由已知可得，解得，所以．故選：D.【變式11】（2023秋·山東泰安·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，成等差數(shù)列，，則（）A．B．C．48D．96【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以，即，又，所以，解得所以，故選:C【變式12】（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前4項和為30，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，而，解得，數(shù)列的前4項和為，即，解得，所以.故選：C【變式13】（2023春·云南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）等比數(shù)列的n前項和為，若，則（）A．3B．6C．12D．14【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，且，若，則，與題設(shè)矛盾，所以，由，解得，所以，故選：A．【變式14】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，前n項和為，若，則n的值為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，無解；若，則，解得，，解得，故選：C.【題型2等比中項及性質(zhì)應(yīng)用】【例2】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，若成等比數(shù)列，則公差d=（）A．或2B．2C．1或D．1【答案】B【解析】由題意可得，即即所以由題意，則，所以所以，所以，故選：B【變式21】（2022秋·福建廈門·高三廈門外國語學(xué)校?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，若，是方程的根，則的值為（）A．B．C．D．或【答案】C【解析】顯然方程有兩個正實根，依題意，有，，等比數(shù)列公比，，所以.故選：C【變式22】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，，，則的值為（）A．30B．10C．9D．6【答案】B【解析】為正數(shù)的等比數(shù)列，則，可得，∵，∴，又∵，則，可得，∴，解得，故.故選：B.【變式23】（2023·江西·校聯(lián)考一模）已知等比數(shù)列滿足：，，則的值為___________.【答案】【解析】因為為等比數(shù)列，所以，【變式24】（2023春·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是等比數(shù)列的前n項和，若，且，則（）A．96B．C．72D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為，且由題可得，所以，因為，解得，所以，故．故選：B.【變式25】（2023秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）在正項等比數(shù)列中，若是關(guān)于的方程的兩實根，則（）A．8B．9C．16D．18【答案】B【解析】由題意及韋達定理可得，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，故.故選：B【變式26】（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為，且，則使得的n的最小值為（）A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】設(shè)公比為，則，由，得，因為，所以為遞增數(shù)列，所以，所以，，，，，，，，所以n的最小為8.故選：D．【題型3等比數(shù)列的判定與證明】【例3】（2023秋·河南開封·高三統(tǒng)考期末）在數(shù)列中,,,則（）A．是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列D．是等比數(shù)列【答案】B【解析】由題知,所以,又因為,所以是等比數(shù)列,且首項為4,公比為2.故選:B【變式31】（2022秋·北京·高三北京市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，給出以下條件，其中一定可以推出為等比數(shù)列的條件是（）A．B．C．D．是等比數(shù)列【答案】A【解析】對于A，已知，所以，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，，符合上式所以是通項為的等比數(shù)列，A選項正確；對于B，已知，所以，，不符合上式，所以，B選項錯誤；對于C，已知，當首項為零時，不符合題意，C選項錯誤；對于D，已知是等比數(shù)列，則設(shè)的通項公式為不符合等比數(shù)列的通項公式，D選項錯誤；故選：A.【變式32】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，由遞推知，，所以，則，有，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，所以則，所以.故選：C.【變式33】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為.（1）若是等比數(shù)列，求；（2）若，證明：均為等比數(shù)列.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由題意得：由當時，，且，故等比數(shù)列的公比（2）證明：當時，由，①由②將①+②得：當時有：且，為等比數(shù)列同理，將①②得：當時有：，且為等比數(shù)列.【變式34】（2023春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，.（1）證明：是等比數(shù)列（2）求數(shù)列的前2n項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：由已知可得，，.又時，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，首項，公比.（2）由（1）可知，.則.所以，.所以.【題型4等比數(shù)列的函數(shù)特征】【例4】（2022秋·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)無窮等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A．為遞減數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．數(shù)列有最大項D．數(shù)列有最小項【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，則，由可得且，對于AB選項，若，，當為奇數(shù)時，，此時，則，當為偶數(shù)時，，此時，則，此時數(shù)列不單調(diào)，AB都錯；對于CD選項，，當時，此時數(shù)列單調(diào)遞增，則有最小項，無最大項；當時，若為正奇數(shù)時，，則，此時單調(diào)遞減，則；當為正偶數(shù)時，，則，此時單調(diào)遞增，則.故當時，的最大值為，最小值為.綜上所述，有最小項.故選：D.【變式41】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．的最大值為【答案】B【解析】若，，，則與矛盾，若，，，則與矛盾，，故B正確；，則，，故A錯誤；，單調(diào)遞增，故D錯誤；，，故C錯誤．故選：B．【變式42】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．是數(shù)列中的最大值C．D．數(shù)列無最大值【答案】C【解析】等比數(shù)列的公比為，則，由，則有，必有，又由，即，又，則有或，又當時，可得，由，則與矛盾所以，則有，由此分析選項：對于A，，故，故A錯誤；對于B，等比數(shù)列中，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，又因為，所以前項積為中，是數(shù)列中的最大項，故B錯誤；對于C，等比數(shù)列中，則，則，故C正確；對于D，由B的結(jié)論知是數(shù)列中的最大項，故D錯誤.故選：C.【變式43】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，前n項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（）A．為遞減數(shù)列B．C．是數(shù)列中的最大項D．【答案】ACD【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列，且，，故，該數(shù)列為正項等比數(shù)列；若，顯然不滿足題意，舍去；若，則，不滿足，舍去；若，則該數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列，由，故可得，或，，顯然，不滿足題意，故舍去，則，對A：因為，故數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列，A正確；對B：，即，即，故B錯誤；對C：因為單調(diào)遞減，且，故的最大值為，C正確；對D：，故D正確；故選：ACD.【題型5等比數(shù)列的前n項和性質(zhì)】【例5】（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A．60B．70C．80D．150【答案】D【解析】因為是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，又因為，，，則，，所以，.故選：D.【變式51】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列中，，，，則（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，因為，所以，則，即，解得，故選：B.【變式52】（2023·高三課時練習(xí)）已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為______．【答案】【解析】設(shè)公比為.當時，，則，此時有；當時，因為，，，所以，，所以，，所以，當時，有最小值為.綜上所述，的最小值為.故答案為：.【變式53】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為______.【答案】91【解析】方法一：等比數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴.方法二：設(shè)公比為，由題意顯然且,所以，∴，故答案為：.【變式54】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比__________.【答案】【解析】由，得.又正項等比數(shù)列的前項和為，故，∴，∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴故，解得：因為等比數(shù)列{an}為正項數(shù)列，所以，故故答案為：【題型6等比數(shù)列的簡單應(yīng)用】【例6】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考一模）古希臘大哲學(xué)家芝諾提出一個有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)馁惻苤?，他的速度是烏龜速度?0倍，烏龜在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上烏龜，原因是在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點，當阿喀琉斯追了100米時，烏龜已在他前面爬行了10米，而當他追到烏龜爬行的10米時，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿喀琉斯就永遠追不上烏龜．“試問在阿喀琉斯與烏龜?shù)母傎愔?，當阿喀斯與烏龜相距0.01米時，烏龜共爬行了（）A．11.1米B．10.1米C．11.11米D．11米【答案】C【解析】依題意，烏龜爬行的距離依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，，公比，，所以當阿喀斯與烏龜相距0.01米時，烏龜共爬行的距離.故選：C【變式61】（2022秋·福建寧德·高三校考期末）《莊子·天下》中講到：“三尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這其實是一個以為公比的等比數(shù)列問題．有一個類似的問題如下：有一根一米長的木頭，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，則到第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來的（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題可知第一天長，第二天截去，第三天截去，第四天截去，依次可得：第n天截去：，故第n天后共截去，所以到第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來的.故選：B.【變式62】（2023·全國·高三專題練習(xí)）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．“十二平均律”是將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比均為常數(shù)，且最后一個單音的頻率為第一個單音頻率的2倍．如圖，在鋼琴的部分鍵盤中，，，…，這十三個鍵構(gòu)成的一個純八度音程，若其中的（根音），（三音），（五音）三個單音構(gòu)成了一個原位大三和弦，則該和弦中五音與根音的頻率的比值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)題意得到：，故，故.故選：C【變式63】（2022秋·山東煙臺·高三統(tǒng)考期中）為響應(yīng)國家加快芯片生產(chǎn)制造進程的號召，某芯片生產(chǎn)公司于2020年初購買了一套芯片制造設(shè)備，該設(shè)備第1年的維修費用為20萬元，從第2年到第6年每年維修費用增加4萬元，從第7年開始每年維修費用較上一年上漲25%．設(shè)為第n年的維修費用，為前n年的平均維修費用，若萬元，則該設(shè)備繼續(xù)使用，否則從第n年起需對設(shè)備進行更新，該設(shè)備需更新的年份為（）A．2026B．2027C．2028D．2029【答案】C【解析】設(shè)前n年的總維修費用為，，，則，，即前6年可繼續(xù)使用.當時，所以，則計算得，故從第9年起需對設(shè)備進行更新，更新的年份為.故選：C.【變式64】（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵美麗的雪花——“科赫雪花”.它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形，并把每一條邊三等分，以三等分后的每邊的中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線.重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形，一直重復(fù)，直到無窮，形成雪花曲線，，…，，….設(shè)雪花曲線的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為.若，則下列說法不正確的是（）.A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由題可知，，，所以，所以，∴，故A錯誤，C錯誤；又，當時，，故D錯誤；∴，由也滿足上式，所以，由上，，則，故B正確.故選：ACD．【題型7等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合】【例7】（2023秋·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是公比大于0的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，已知，，，．（1）求數(shù)列，數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，設(shè)等差數(shù)列的公差為d．∵，，∴，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．（2）由（1）得，令，，記數(shù)列的前項和為A，數(shù)列的前項和為B，，①則，②①－②得，，∴，又，∴，∴．【變式71】（2022春·上海閔行·高三閔行中學(xué)校考開學(xué)考試）已知數(shù)列，，的前n項和為.（1）若為等差數(shù)列，，求公差的值及通項的表達式；（2）若為等比數(shù)列，公比，且對任意，均滿足，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意得，解得所以.（2）因為公比，，所以，故數(shù)列為遞增數(shù)列.對任意，均滿足，只需，解得綜上，實數(shù)的取值范圍是.【變式72】（2022秋·天津南開·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列是公差不等于0的等差數(shù)列，其前n項和為，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，其前n項和為．（?。┤舫傻炔顢?shù)列，求m的值；（ⅱ）求．【答案】（1）；（2）（?。?；（ⅱ）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，且，所以，所以，解得，于是有，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，因此，.（ⅰ）因為，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，解得；（ⅱ）由（ⅰ）知，記，則所以兩式相減得，所以，即.【變式73】（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，且________．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并解答．（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求的前n項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，若選擇條件①，由題可得，解得，若選擇條件②，由題可得，解得，.（2）由（1）知，選擇兩個條件中的任何一個，都有，則，【變式74】（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，是，的等比中項，．（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，求．【答案】（1）；（2）191【解析】（1）設(shè)公差為d，由題意得，解得，∴．（2），①，②②－①得，，∵，∴．∴．（建議用時：60分鐘）1．（2022·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）等比數(shù)列{}的前n項和為，若，則=（）A．488B．508

C．511

D．567【答案】C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)知，，成等比，因為，所以，則.故選：C2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）記為等比數(shù)列的前n項和．若，，則（）A．32B．31C．63D．64【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，解得又，解得，則，故選：B3．（2023秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）在正項等比數(shù)列{}中，若，是關(guān)于的方程的兩實根，則（）A．8B．9C．16D．18【答案】B【解析】由韋達定理可得，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，則，由等比數(shù)列性質(zhì)可知，則，故.故選：B.4．（2022秋·寧夏·高三寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得：，設(shè)的公比為，則，，解得：，.故選：B5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）1883年，德國數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其詳細構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區(qū)間和；第二步，將剩下的兩個閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：，，，；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷步構(gòu)造后，所有去掉的區(qū)間長度和為（）（注：或或或的區(qū)間長度均為）A．B．C．D．【答案】B【解析】將定義的區(qū)間長度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長組成的數(shù)為以為首項，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第2次操作去掉兩個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第3次操作去掉四個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第4次操作去掉8個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，所以；設(shè)定義區(qū)間為，則區(qū)間長度為1，所以第次操作剩余區(qū)間的長度和為，則去掉的區(qū)間長度和為.故選：B6．（2022秋·山東日照·高三統(tǒng)考期中）正項數(shù)列中，（k為常數(shù)），若，則的取值范圍是（）A．B．[3，9]C．D．[3，15]【答案】A【解析】因為，所以，所以，令，化簡可得，令，所以．故選：A．7．（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．是數(shù)列中的最大值D．數(shù)列無最大值【答案】B【解析】當時，則，不合乎題意；當時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯誤；對任意的，，且有，可得，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯誤，故選：B.8．（2022秋·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知公比大于1的等比數(shù)列中，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題可知，聯(lián)立方程組，解得或，設(shè)數(shù)列的公比為，所以，所以舍去，，所以，從而，所以，所以，所以.故選：B9．（2023春·安徽阜陽·高三阜陽市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）下列命題正確的是（）A．若均為等比數(shù)列且公比相等，則也是等比數(shù)列B．為等比數(shù)列，其前項和為，則也成等比數(shù)列C．為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列D．的前項和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件【答案】CD【解析】對于，均為等比數(shù)列且公比相等，當時,數(shù)列不是等比數(shù)列，故選項錯誤；對于，當?shù)缺葦?shù)列為時，當為偶數(shù)時，，則不能構(gòu)成等比數(shù)列，故選項錯誤；對于，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則常數(shù)，所以為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列，故選項正確；對于，數(shù)列中，對任意,，則；所以數(shù)