考點03求數列的通項公式數列的通項公式，是歷年高考的高頻考點，無論是全國卷（包括新高考）還是自主命題省份，都有考查。例如：2020年新高考全國卷Ⅱ[18]，2020年天津高考[18]，2020年新高考全國卷Ⅱ[17]，,2021年浙江高考[20]，2021年全國乙卷（理）[19]，2022年天津高考[18]，等都對三角函數的圖像與性質及三角恒等變換進行了考查。〔1〕公式法借助等差與等比數列的定義、等差中項、等比中項，結合等差數列或等比數列的通項公式求解。(1)常見的等差數列的通項公式：①；②；③(p，q為常數）。(2)常見的等比數列的通項公式：①；②。〔2〕退位相減(除)法(1)退位相減法：適用于遞推關系中同時含有與的形式(其中)，借助求數列的通項公式。(2)退位相除法：適用于遞推關系中同時含有與的形式(其中)，借助求數列的通項公式。注意：不論是退位相減法還是退位相除法，一般都需要驗證首項符不符合在n≥2的條件下求出的通項公式，在首項不符合的條件下，書寫通項公式時，注意分段表達.〔3〕用累加法、累乘法求通項(累加法)，(累乘法)。〔4〕構造等差、等比數列求通項(1)待定系數法①型：設(其中λ為待定系數)。②型：設(其中，為待定系數）。(2)型：(同除法，系數化為1)其步驟如下：將等式兩邊同時除以(或)，轉化為，再令，，將原式轉化為，結合累加法求出的通項公式，進而求出的通項公式。〔5〕取倒數法一般適用于：，，。(1)對于或型：通過對等式兩邊同時取倒數，再令，將原式轉化為(s，t為常數)的類型.若s=1，直接借助等差數列的通項公式求解即可；若s≠1，結合前面的待定系數法求解即可。(2)對于型：可以將等式兩邊同時除以，再令，將原式轉化為(s，t為常數)的類型，進而可以求出的通項公式。〔6〕取對數法處理遞推關系式時，可以將等式兩邊同時取常用對數，得，即，令，，可以得到，進而可以求出的通項公式，從而求出的通項公式。例1．（2022·天津·高考·18）設是等差數列，是等比數列，且．(1)求與的通項公式；(2)設的前n項和為，求證：；(3)求．例2．（2021·全國·高考乙卷（理）·19）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式．1．（2022·四川雅安·模擬預測（理））給出以下條件：①，，成等比數列；②，，成等比數列；③是與的等差中項．從中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答．已知單調遞增的等差數列的前n項和為，且，______．(1)求的通項公式；(2)令是以2為首項，2為公比的等比數列，數列的前n項和為．若，，求實數的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．2．（2022·湖南·模擬預測）已知單調遞減的正項數列，時滿足．為前n項和．(1)求的通項公式；(2)證明：.3．（2022·上海松江·二模）在等差數列中，已知，．(1)求數列的通項公式；(2)若數列是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的前項和．4．（2022·江蘇·南京外國語學校模擬預測）已知數列各項都不為，且滿足，(1)求的通項公式；(2)若，的前n項和為，求取得最小值時的n的值．5．（2022·山東淄博·三模）設為等差數列的前項和，已知，且，，成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．6．（2022·遼寧·沈陽二十中一模）已知數列滿足：，且．(1)求證：是等差數列，并求的通項公式；(2)是否存在正整數m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．7．（2022·四川雅安·模擬預測（文））已知數列的前n項和為，且，，．(1)求證：數列是等比數列，并求的通項公式；(2)若，求實數的取值范圍．8．（2022·湖南益陽·模擬預測）已知數列滿足，，，數列是等差數列，且，．(1)求數列，的通項公式(2)設，求數列的前項和．9．（2022·浙江·三模）已知數列滿足．數列是公差為q的等差數列，數列是公比為q的等比數列，．(1)若，求數列的通項公式；(2)若，證明：．10．（2022·浙江·湖州市菱湖中學模擬預測）已知遞增數列的前項和為，且，數列滿足，(1)求數列和的通項公式；(2)記，數列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍．11．（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）已知數列{}為等差數列，，，數列{}的前n項和為，且滿足．(1)求{}和{}的通項公式；(2)若，數列{}的前n項和為，且對恒成立，求實數m