專題05圓的標準方程與一般方程一、考情分析二、考點梳理知識點一：圓的標準方程，其中為圓心，為半徑.知識點詮釋：(1)如果圓心在坐標原點，這時，圓的方程就是.有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標軸相切時：；過原點：(2)圓的標準方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點.(3)標準方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數(shù)，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數(shù)法.知識點二：點和圓的位置關(guān)系如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有(1)若點在圓上(2)若點在圓外(3)若點在圓內(nèi)知識點三：圓的一般方程當時，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.知識點詮釋：由方程得(1)當時，方程只有實數(shù)解.它表示一個點.(2)當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．(3)當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.知識點四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”.用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程.(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組.(3)解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程.知識點五：軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1．當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（或稱相關(guān)點法）．2．求軌跡方程時，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設(shè)條件的點或線等．3．求軌跡方程的步驟：（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担帽硎拒壽E（曲線）上任一點的坐標；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；（5）作答．三、題型突破重難點題型突破01求圓的標準方程例1．（1）、（2022·全國·高三專題練習）已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓心在軸上，設(shè)出圓的方程，把點，的坐標代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.（2）、（2022·陜西·大荔縣教學研究室高一期末）過點，且圓心在直線上的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)得的中垂線方程為，其與交點即為所求圓心，并應用兩點距離公式求半徑，寫出圓的方程即可.【詳解】由題設(shè)，的中點坐標為，且，∴的中垂線方程為，聯(lián)立，∴，可得，即圓心為，而，∴圓的方程是.故選：B【變式訓練11】、（2022·貴州·高二學業(yè)考試）圓心在坐標原點，半徑為2的圓的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接寫出標準方程，即可得到答案.【詳解】圓心在坐標原點，半徑為2的圓的標準方程為.故選：B【變式訓練12】、（2021·全國·高二期中）圓心在上，過和的圓的標準方程___________.【答案】【分析】已知圓上兩點，這兩點連接的線段的垂直平分線必過圓心，只需把兩條直線聯(lián)立方程組解出圓心，再求出半徑寫出圓的方程.【詳解】因為圓過A，B兩點，所以圓心一定在AB的垂直平分線上，線段AB的垂直平分線方程為，則，解得.即圓心為(2,1)，r＝.所以圓的標準方程為.故答案為：重難點題型突破02求圓的標一般方程例2、（1）、（2022·全國·高三專題練習）過四點，，，中的三點的一個圓的方程為______.【答案】或或或【分析】設(shè)圓的一般方程為，將3個點的坐標代入方程，利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的一般方程為，若圓過三點，則，解得，此時圓的一般方程為；若圓過三點，則，解得，此時圓的一般方程為；若圓過三點，則，解得，此時圓的一般方程為；若圓過三點，則，解得，此時圓的一般方程為；故答案為：或或或（2）、（2022·全國·高二專題練習）已知方程表示的圓中，當圓面積最小時，此時（

）A．1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)圓的半徑最小時圓的面積最小，然后考察圓的半徑即可.【詳解】由，得，易知當，圓的半徑最小，即圓的面積最小.故選：B【變式訓練21】、（2022·江蘇·高二單元測試）方程所表示圓的圓心與半徑分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接化成圓的標準方程，求圓心和半徑即可.【詳解】由得，故圓心，半徑.故選：D.【變式訓練22】、（2022·全國·高二課時練習）圓心在直線上的圓與軸交于，兩點，則圓的一般方程為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓的一般方程，結(jié)合已知條件列出方程組，進而可求解.【詳解】設(shè)圓的一般方程為.因圓心在直線上，所以，即.①又因點，在圓上，所以，②由①②，解得，，，所以圓的一般方程為.故答案為：.例3．（2022·江蘇·高二單元測試）求滿足下列條件的圓的標準方程．(1)圓心在x軸上，半徑為5，且過點；(2)經(jīng)過點、，且以線段AB為直徑；(3)圓心在直線y=2x上，且與直線y=1x相切于點；(4)圓心在直線x2y3=0上，且過點，．【答案】(1)或(2)(3)(4)【分析】利用待定系數(shù)法分別求出（1）、（2）、（3）、（4）的圓的標準方程.(1)設(shè)圓的標準方程為．因為點在圓上，所以，解得a=2或a=6，所以所求圓的標準方程為或．(2)設(shè)圓的標準方程為，由題意得，；又因為點在圓上，所以．所以所求圓的標準方程為．(3)設(shè)圓心為．因為圓與直線y=1x相切于點，所以，解得a=1．所以所求圓的圓心為，半徑．所以所求圓的方程為．(4)設(shè)點C為圓心，因為點C在直線上，故可設(shè)點C的坐標為．又該圓經(jīng)過A、B兩點，所以．所以，解得a=2，所以圓心坐標為，半徑．故所求圓的標準方程為．例4．（2022·全國·高二課時練習）已知點，，求：(1)過點且周長最小的圓的標準方程；(2)過點且圓心在直線上的圓的標準方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）當為直徑時，圓的周長最小，可知圓心為中點，并求得半徑，由此可得圓的標準方程；（2）方法一：首先求得線段的垂直平分線方程，與聯(lián)立可求得圓心坐標，進而可得半徑，由此可得圓的標準方程；方法二：設(shè)圓的方程為，將點的坐標代入圓的方程，結(jié)合圓心所在直線方程可構(gòu)造方程組求得，由此可得圓的標準方程.（1）當為直徑時，過點的圓的半徑最小，則其周長最小，圓心為中點，半徑，所求圓的標準方程為：.（2）方法一：由題意得：，中點為，線段垂直平分線的方程為：，由得：，即圓心坐標為，半徑；所求圓的標準方程為：.方法二：設(shè)所求圓的方程為：，由得：，圓的標準方程為：.重難點題型突破03點與圓的位置關(guān)系例5．（1）、（2022·全國·高二課時練習）已知點A（1，2）在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由表示圓可得，點A（1，2）在圓C外可得，求解即可【詳解】由題意，表示圓故，即或點A（1，2）在圓C：外故，即故實數(shù)m的取值范圍為或即故選：A（2）、（2022·浙江·高三專題練習）若點在圓：的外部，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系建立不等式求解，并注意方程表示圓所滿足的條件.【詳解】因為點在圓：的外部，所以，解得，又方程表示圓，所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍為．故選：C【變式訓練51】、（2021·河南·油田一中高二階段練習（文））已知點在圓的外部，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由點在圓外以及方程表示圓得到不等式組，解不等式組即可.【詳解】由點在圓外知，即，解得，又為圓，則，解得，故.故選：D.【變式訓練52】、（2020·河北邯鄲·高二期中）若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將已知圓的方程化為標準方程，找出圓心的坐標和半徑，并求出滿足圓成立的條件時的范圍，利用兩點間的距離公式求出的值，比較和半徑的大小關(guān)系，列出關(guān)于的不等式，即可求得答案.【詳解】把圓的方程化為標準方程為：，可得圓心的坐標為，半徑，且，即.根據(jù)題意點在圓外，即，即有，整理可得，即，計算可得或，又，可得或，則實數(shù)的取值范圍是.故選:.【點睛】本題考查了由點和圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，解題時的方法是判斷點到圓心的距離和半徑進行比較大小，需要注意圓成立時滿足的條件，這里容易出錯.重難點突破04圓的最值問題（幾何關(guān)系）例6．（1）、（2022·全國·高二單元測試）若x，y滿足，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．無法確定【答案】C【分析】由為圓上的點與原點距離的平方，結(jié)合圓的性質(zhì)即得.【詳解】由，可得，表示以為圓心，以為半徑的圓，設(shè)原點，，則（為圓上的點與原點距離的平方）的最小值是．故選：C．（2）、（2022·全國·高二課時練習）已知圓，則的最大值與最小值的和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，代入化簡，利用輔助角公式以及三角函數(shù)的有界性可得答案.【詳解】把已知圓的一般方程化為標準方程得，可設(shè)，．，因為，所以，，即的最大值為100，最小值為0，的最大值與最小值的和為100，故選：D.【點睛】本題主要考查圓的方程與性質(zhì)，考查了輔助角公式以及三角函數(shù)的有界性，屬于中檔題．（3）、（2018·湖北·武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）高二期末（理））如圖所示，已知拋物線y2＝8x的焦點為F，直線l過點F且依次交拋物線及圓2于A，B，C，D四點，則|AB|+4|CD|的最小值為_____．【答案】13【分析】當直線l的斜率不存在時，計算出,當直線l的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣2），代入拋物線方程,利用韋達定理以及拋物線的定義可求得|AB|+4|CD|＝x1+4x2+5,再利用基本不等式可得最小值為13,比較可得答案.【詳解】拋物線y2＝8x的焦點為F（2，0），準線方程為x＝﹣2，圓2的圓心為F，半徑為，當直線l的斜率不存在時，x＝2，聯(lián)立解得y2＝32，即y＝±4，所以,所以,所以,當直線l的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣2），代入拋物線方程可得k2x2﹣（84k2）x+8k2＝0，k≠0，設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），可得x1+x2＝4，x1x2＝8，由拋物線的定義可得|AB|+4|CD|＝|AF|4（|DF|）＝x1+24（x2+2）＝x1+4x2+52513，當且僅當x1＝4，x2，上式取得最小值13，綜上可得，|AB|+4|CD|的最小值為13，故答案為:13【點睛】本題考查了直線與拋物線相交的問題,考查了拋物線的定義,考查了利用圓的方程求圓心坐標和半徑,考查了基本不等式求和的最小值,考查了韋達定理,利用拋物線的定義求和是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.【變式訓練61】、（2018·全國·高二課時練習）已知圓，則的最小值為A．10 B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)兩點之間的距離公式，可得表示圓x2+y22x+4y20=0上的點到原點的距離.根據(jù)圖形，結(jié)合兩邊之差小于第三邊，可知此距離的最小值為圓的半徑r減去圓心到原點的距離，進而求解.【詳解】，.圓心為（1，2）半徑為5.又，結(jié)合圖形可知所求的最小值為.故選B.【點睛】本題考查了圓的方程的應用，考查了與圓的性質(zhì)有關(guān)的最值問題，考查了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法，解答本題的關(guān)鍵是理解代數(shù)式所對應的幾何意義.【變式訓練62】、（2021·江蘇·高二專題練習）（多選題）實數(shù)，滿足，則下列關(guān)于的判斷正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】CD【分析】由題意可得方程為圓心是，半徑為1的圓，則為圓上的點與定點的斜率的值，由點到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系可得選項．【詳解】由題意可得方程為圓心是，半徑為1的圓，則為圓上的點與定點的斜率的值，設(shè)過點的直線為，即，則圓心到到直線的距離，即，整理可得，解得，所以，即的最大值為，最小值為.故選：CD.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系和由幾何意義求最值的問題，屬于中檔題．【變式訓練63】、（2021·江蘇·高二單元測試）已知點,動點的軌跡為,動點滿足,則的最小值為_____.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖象,動點滿足,設(shè),可得的軌跡為圓,設(shè),且,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意畫出圖象:動點滿足設(shè),可得的軌跡為圓,設(shè),且,可得,化簡可得,的方程又為可得,即,可得的最小值為的最小值,當三點共線,且為拋物線的法線時,取得最小值.設(shè),由的導數(shù)為可得,解得:,即,即有【點睛】本題主要考查了拋物線上動點最值問題,解題關(guān)鍵是掌握拋物線最值的求法和根據(jù)導數(shù)求最值的解法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.重難點題型突破05軌跡問題例7．（2021·江蘇·高二專題練習）已知過原點的動直線與圓:相交于不同的兩點，.（1）求圓的圓心坐標；（2）求線段的中點的軌跡的方程；（3）是否存在實數(shù)，使得直線:與曲線只有一個交點?若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）將圓的一般方程整理為標準方程，由此得到圓心坐標；（2）當直線斜率不存在，與圓無交點，可知斜率存在，設(shè)，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，由可確定的范圍，并得到韋達定理的形式，從而利用表示出中點坐標，消去后即可得到軌跡方程；結(jié)合的范圍可確定的范圍，從而得到所求軌跡方程；（3）由（2）可得的圖象，并確定直線所過的定點；由數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】（1）圓:的方程整理得其標準方程：圓的圓心坐標為（2）當直線斜率不存在時，方程為，與圓無交點，不合題意直線斜率存在，設(shè)由得：則，解得：設(shè)，，中點則，

消去參數(shù)得中點軌跡方程為：

軌跡的方程為：（3）由（2）知：曲線是圓上的一段劣弧（如圖，不包括兩個端點），且，直線:過定點直線:與圓相切時，與沒有公共點又，當時，直線:與曲線只有一個交點【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解、根據(jù)直線與曲線的交點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題；易錯點是在求解動點軌跡方程時，忽略取值范圍的限制，造成軌跡求解錯誤；根據(jù)交點個數(shù)求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠采用數(shù)形結(jié)合的方式確定臨界狀態(tài)，進而得到結(jié)果.例8．（2022·江西·貴溪市實驗中學高二期末）已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點，.(1)求線段的垂直平分線方程；(2)求圓的標準方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得的中點為，結(jié)合，求得，進而求得線段的垂直平分線的方程；（2）設(shè)圓的標準方程為，根據(jù)圓的性質(zhì)得到圓心在直線上，得到，進而求得圓的半徑，即可求得圓的方程.（1）解：由點，，可得的中點為，且，由圓的性質(zhì)得，所以，可得，所以線段的垂直平分線的方程是，即.（2）解：設(shè)圓的標準方程為，其中，半徑為，由圓的性質(zhì)，可得圓心在直線上，所以，即圓心，又由，所以圓的標準方程為.【變式訓練81】、（2019·陜西銅川·高一期末）已知A（﹣1，0），B（1，0），動點G滿足GA⊥GB，記動點G的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）如圖，點M是C上任意一點，過點（3，0）且與x軸垂直的直線為l，直線AM與l相交于點E，直線BM與l相交于點F，求證：以EF為直徑的圓與x軸交于定點T，并求出點T的坐標．【答案】（1）x2+y2＝1；（2）證明見解析，T（3+2，0）或T（3﹣2，0）．【分析】(1)由可得,列出等式即可求動點的軌跡方程;(2)設(shè)出點M的坐標,我們可以得到直線AM、直線BM的方程,與直線方程聯(lián)立求得點E、點F的坐標,進而得到以為直徑的圓的方程,最后求出定點坐標.【詳解】（1）設(shè)G（x，y）（x≠±1），因為GA⊥GB，所以，整理得C的方程為x2+y2＝1（x≠±1）；（2）設(shè)點M（x0，y0）（x0≠±1），且有x02+y02＝1，則直線AM的方程為y，令x＝3，得E（3，），直線BM的方程為y，令x＝3，得F（3，），從而以EF為直徑的圓方程為（x﹣3）2+（y）（y）＝0，令y＝0，則（x﹣3）2?0，即（x﹣3）20，又因為x02+y02＝1，所以，代入可得x2﹣6x+1＝0，解得x＝3±2，所以定點T（3+2，0）或T（3﹣2，0）．【點睛】本題考查動點的軌跡方程,考查直線與圓的方程的應用問題,屬于中檔題,涉及到的知識點有直線的點斜式方程,由圓上兩點的坐標列出圓的方程,認真分析題意求得結(jié)果.【變式訓練82】、（2022·全國·高二）直線過點且與直線平行.(1)求直線的方程；(2)求圓心在直線上且過點、的圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出直線方程，代入點計算即可；（2）利用條件求出圓心坐標，即可得到圓的方程.(1)因為直線與直線平行，則直線的方程可設(shè)為，又因為直線過點，所以，所以直線的方程為；(2)因為圓心在直線上，所以圓心坐標可設(shè)為，又因為該圓過點、，所以有，解得，所以圓心坐標為，半徑，故圓的方程為.四、定時訓練（30分鐘）1．（2022·全國·高二單元測試）圓心在軸上，半徑為1，且過點的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓心坐標為，則有，求得，即可得解.【詳解】解：設(shè)圓心