高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)綜合檢測(cè)卷（培優(yōu)B卷）單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．已知直線，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①直線的截距為

②向量是直線的一個(gè)法向量③過點(diǎn)與直線平行的直線方程為④若直線，則A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線的截距可判斷①，由直線的方向向量可判斷②，由直線平行設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)即可判斷③，由直線垂直可判斷④.【詳解】對(duì)于①,令,則;令,則,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,因?yàn)橹本€的方向向量為或,則,所以向量是直線的一個(gè)法向量,故②正確;對(duì)于③,設(shè)與直線平行的直線方程為,因?yàn)橹本€過點(diǎn),所以,所以過點(diǎn)與直線平行的直線方程為,故③正確;對(duì)于④,直線,直線,則,所以兩直線垂直，故④正確,所以結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為3，故選:B.2．如圖，在正三棱柱中，，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，若點(diǎn)G在直線上，且平面AEF，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AEF的法向量，設(shè)出，利用求出的值，從而求出的模長(zhǎng)，求出答案.【詳解】如圖：以C為原點(diǎn)，CB，所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．由題可設(shè)，則．設(shè)平面AEF的法向量，則，令，則，得．由，得，則，，即．故選：A3．已知圓和圓的交點(diǎn)為、，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．圓和圓有兩條公切線B．直線的方程為C．圓上存在兩點(diǎn)和使得D．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】C【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，可判斷A選項(xiàng)；將兩圓方程作差，可得出直線的方程，可判斷B選項(xiàng)；求出，可判斷C選項(xiàng)；求出圓上的點(diǎn)到直線的最大距離，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，，因?yàn)椋瑒t兩圓相交，故這兩圓有兩條公切線，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，將兩圓方程作差可得，即直線的方程為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，所以，，對(duì)于圓上的任意兩點(diǎn)、，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，圓心到直線的距離的最大值為，D對(duì).故選：D.4．已知均為拋物線上的點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)直線的斜率大于0時(shí)，過作準(zhǔn)線的垂線，作，根據(jù)，設(shè)，推出，的值,計(jì)算，同理計(jì)算當(dāng)直線的斜率小于0時(shí)的，即得答案.【詳解】當(dāng)直線的斜率大于0時(shí)，如圖，過作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為，過B作為垂足,因?yàn)椋钥稍O(shè)，因?yàn)榫贑上，所以,,故，則，當(dāng)直線的斜率小于時(shí)，同理可得，故直線的斜率為，故選：A.5．坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線距離公式列式，再求出函數(shù)的值域作答.【詳解】坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，令，則，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即，所以原點(diǎn)到直線l的距離的取值范圍為.故選：A6．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，圓與雙曲線交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知，進(jìn)而結(jié)合題意設(shè)，再結(jié)合，計(jì)算即可得答案.【詳解】解：由題知，因?yàn)閳A與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，根據(jù)對(duì)稱性可設(shè)，所以，，所以，因?yàn)椋矗怨蔬x：B7．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與交于，兩點(diǎn)，若滿足的直線有且僅有1條，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】依題可知直線的斜率為0或斜率不存在，然后分類討論，計(jì)算，并進(jìn)行驗(yàn)證，最后可得結(jié)果.【詳解】若直線的斜率存在且不為0，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，此時(shí)滿足的直線的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，所以直線的斜率為0或斜率不存在.當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，為雙曲線的左?右頂點(diǎn)，由，得雙曲線的方程為：，易得，過點(diǎn)的通徑長(zhǎng)為，滿足條件，此時(shí)雙曲線的離心率；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)為雙曲線過點(diǎn)的通徑，則，解得或，當(dāng)時(shí)，實(shí)軸長(zhǎng)為1，因?yàn)椋詽M足的直線有3條；當(dāng)時(shí)，實(shí)軸長(zhǎng)為4，因?yàn)椋詽M足的直線也有3條.綜.上所述，雙曲線的離心率為.故選:A.8．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作傾斜角為的直線交橢圓于點(diǎn)（在軸的上方），連接，再作的角平分線，點(diǎn)在上的投影為點(diǎn)，則（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的長(zhǎng)度為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】設(shè)，進(jìn)而結(jié)合橢圓定義和余弦定理得，即，，再延長(zhǎng)交于，再結(jié)合題意可知是的中點(diǎn)，，最后根據(jù)中位線定理即可得答案.【詳解】解：由題知，因?yàn)樵跈E圓上，所以，設(shè)，在中，由余弦定理得，解得，所以，，，延長(zhǎng)交于，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，點(diǎn)在上的投影為點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.故選：D多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．設(shè)，，是空間中的一組基底，則，，也是空間的一組基底D．若，則，是鈍角【答案】ABC【分析】根據(jù)共線向量的概念，可判定A是正確的；根據(jù)空間向量的基本定理，可判定B是正確的；根據(jù)空間基底的概念，可判定C正確；根據(jù)向量的夾角和數(shù)量積的意義，可判定D不正確.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)共線、共面向量的概念，可知空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面，所以是正確的；對(duì)于B中，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，根據(jù)空間向量的共面定理的推論，可得P，A，B，C四點(diǎn)一定共面，所以是正確的；對(duì)于C中，由是空間中的一組基底，則向量不共面，可得向量也不共面，所以也是空間的一組基底，所以是正確的；對(duì)于D中，若，又由，所以，所以不正確，故選∶ABC.10．下列說(shuō)法中，正確的有（

）A．點(diǎn)斜式可以表示任何直線B．直線在y軸上的截距為C．直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程是D．直線與之間的距離為【答案】BD【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式、斜截式、平行線間距離及軸對(duì)稱可得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)斜式，不表示直線，所以不正確；直線在軸上的截距為；滿足直線的截距式方程的含義，所以正確；直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程是，所以不正確；直線與之間的距離為，所以正確；故選：．11．已知方程：，則下列命題中為真命題的是（

）A．若，則方程表示的圖形是圓B．若，則方程表示的圖形是雙曲線，且漸近線方程為C．若且，則方程表示的圖形是橢圓D．若且，則方程表示的圖形是離心率為的橢圓【答案】BD【分析】對(duì)于A，由題知方程為，再根據(jù)，時(shí)的情況判斷A；對(duì)于B，分和兩種情況討論判斷B；對(duì)于C，分和兩種情況討論判斷C；對(duì)于D，由題知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，再求離心力判斷D.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由于且得，故方程為，所以，當(dāng)時(shí)，方程表示的圖形是圓；當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則方程表示的圖形是雙曲線，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，，漸近線方程為；當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，，漸近線方程為；所以，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于且，所以當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形；所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若且，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，其中，所以，離心率為，故D選項(xiàng)正確.故選：BD12．設(shè)橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的范圍是 B．存在點(diǎn)，使C．弦長(zhǎng)的最小值為3 D．面積的最大值為【答案】AC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，利用兩點(diǎn)間距離公式表示出后可得答案.對(duì)于選項(xiàng)B，問題等價(jià)于以為直徑的圓與橢圓C是否有交點(diǎn).對(duì)于選項(xiàng)C，將直線AB方程與橢圓C方程聯(lián)立，通過弦長(zhǎng)公式得答案.對(duì)于選項(xiàng)D，分析面積表達(dá)式可得答案.【詳解】由題，設(shè)橢圓半焦距為c，則.則，.對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn).則.注意到，則.得，又注意到，則.當(dāng)P為橢圓左頂點(diǎn)，即時(shí)，最小為當(dāng)P為橢圓右頂點(diǎn)，即時(shí)，最大為，故A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，若存在點(diǎn)，使，則P在以為直徑的圓上.則點(diǎn)P存在等價(jià)于上述圓與橢圓有交點(diǎn)，又圓的方程為.則點(diǎn)P存在等價(jià)于有解，消去得.則方程組無(wú)解，故相應(yīng)的P不存在，B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)直線AB方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，消去x有，設(shè)，又則.故.當(dāng)時(shí)，即AB垂直于x時(shí)，最小為3，故C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn).則，故當(dāng)P為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大為.故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛，本題考查橢圓中的常見結(jié)論，本題涉及的相關(guān)結(jié)論有（只考慮焦點(diǎn)在x軸上的情況.）:（1）橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最短為（點(diǎn)為離焦點(diǎn)較近的左右頂點(diǎn)），最長(zhǎng)為（點(diǎn)為離焦點(diǎn)較遠(yuǎn)的左右頂點(diǎn)）.（2）若，橢圓上不存在點(diǎn)P，使;，這樣的點(diǎn)P有兩個(gè);,這樣的點(diǎn)有四個(gè).（3）過橢圓焦點(diǎn)的弦中，垂直于x軸的最短.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為________________.【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【分析】方法一：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組，求出答案；方法二：求出線段AB的垂直平分線方程，聯(lián)立x－2y－3＝0求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化為一般方程.【詳解】方法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意得:,解得：故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二：線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，直線的斜率為，所以線段AB的垂直平分線的斜率為2，所以線段AB的垂直平分線方程為，即2x＋y＋4＝0，由幾何性質(zhì)可知：線段AB的垂直平分線與的交點(diǎn)為圓心，聯(lián)立，得交點(diǎn)坐標(biāo)，又點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離，即半徑為，所以圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.故答案為：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.14．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)著作，第九章“勾股”講述了勾股定理及一些應(yīng)用，將直角三角形的斜邊稱為“弦”，短直角邊稱為“勾”，長(zhǎng)直角邊稱為“股”，設(shè)點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)．l是該拋物線的準(zhǔn)線，過拋物線上一點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若的“勾”，“股”，則拋物線的方程為__．【答案】【分析】由題可得，然后由拋物線的定義得到是等邊三角形求解即得.【詳解】由題意可知，，，可得，所以，由拋物線的定義得，所以是等邊三角形，所以，所以拋物線的方程是.故答案為：.15．已知直線與兩坐標(biāo)軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為______________【答案】【分析】先由題意及直線的幾何意義可推得，再分別令與求得在兩坐標(biāo)軸的截距，由此利用三角形面積與基本關(guān)系式即可求得面積的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，所以由化為，得，即，故，令，則；令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即面積的最小值為.故答案為：..16．球上有四點(diǎn)，且兩兩垂直，，四面體的體積等于______.【答案】【分析】根據(jù)題意以，，為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑，以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求出球心到平面的距離，從而可求出四面體的體積.【詳解】以，，為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑，以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，球心的坐標(biāo)為，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)椋郧蛐牡狡矫娴木嚯x為，因?yàn)椋裕运拿骟w的體積等于.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．已知圓過點(diǎn)，且與圓外切于點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)設(shè)傾斜角為的直線與圓交于兩點(diǎn)，若，求的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合圓的性質(zhì)求圓心和半徑，進(jìn)而可得圓的方程；（2）由分析可得，結(jié)合垂徑定理可得圓心到直線的距離，列式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)閳A與圓外切于點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，且的方程為.又的中點(diǎn)為，，則的中垂線的斜率，的中垂線方程為，即，與直線聯(lián)立，可得圓心，則半徑，所以圓的方程為.（2）因?yàn)榈膬A斜角為，所以.由，得，又，所以，則，所以圓心到直線的距離.設(shè)的方程為，則，解得，所以的方程為或.18．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且（為實(shí)數(shù)）．(1)求二面角的余弦值；(2)當(dāng)時(shí)，求直線EF與平面所成角的正弦值的大小．【答案】(1)；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量及其夾角，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求平面的法向量以及的坐標(biāo)，再用向量法求解即可.【詳解】（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，．即，．令，則．∴平面的一個(gè)法向量．又平面DAC的一個(gè)法向量為，故，即二面角的余弦值為．（2）當(dāng)時(shí)，，，，．設(shè)直線EF與平面所成角為，則，即直線EF與平面所成角的正弦值的大小為．19．已知是橢圓的左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn).若的面積為，求直線l的方程；【答案】(1)(2)或或【分析】（1）由題意可知，再由離心率可知，可得，即可求解；（2）由（1）知，設(shè)直線，，聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合三角形面積公式即可求解【詳解】（1）因橢圓的上頂點(diǎn)B，則，令橢圓半焦距為，由離心率為得，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，，，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)直線，，由消去并整理得：，則，，因此的面積為，解得或，直線l的方程為或或.20．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線的右支上一點(diǎn)．(1)求的最小值；(2)若右支上存在點(diǎn)P滿足，求雙曲線的離心率的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)即可求解（2）利用題設(shè)條件以及雙曲線的定義解得和，設(shè)，，則，代余弦定理即可求解【詳解】（1）設(shè)，，（）則當(dāng)P在右頂點(diǎn)時(shí)，最小，所以的最小值為．（2）設(shè)，．依題意，解得，由余弦定理得，即，得，．21．已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到直線的距離小1.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)求線段中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)；(2)【分析】（1）解法1：根據(jù)已知條件，設(shè)點(diǎn)，列出方程，化簡(jiǎn)；解法2：定義法求拋物線的方程.（2）軌跡法求點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）解法1：設(shè)M(x,y)，由題意知當(dāng)時(shí)，可化為，整理得，（舍去