專題06全等、等腰及相似有關(guān)解答題的模型構(gòu)建（6大類型）

題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練

1.三角形全等的判定及應(yīng)用

（1）全等三角形的定義：

全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同；（2）大小相等

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。

注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。

（2）全等三角形的性質(zhì)：

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等。

（3）全等三角形的判定：

（1）兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）

（2）兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）

（3）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

（簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）

（4）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。

2.等腰三角形的性質(zhì)與判定

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性質(zhì)

1

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】

（3）等腰三角形的判定

判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】

說明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．

②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；

④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．

3.等邊三角形的性質(zhì)與判定

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對(duì)而言的．

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．

等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線

是對(duì)稱軸．

（3）等邊三角形的判定：

由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．

判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．

判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．

4三角形相似的判定及綜合應(yīng)用

（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)

要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．

（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；

（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．

5三角形折疊問題探究

三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）

2

∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=（∠1+∠2）2∠C=∠2-∠1或∠C=（∠2-∠1）

??

??

6三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）

該模型重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合

經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力。

（1）手拉手模型：

將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，

也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左

手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。

手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。

（2）半角模型：

1、半角模型概念：過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。

2、模型特征：等線段，共端點(diǎn)，含半角

3、思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。

4、解題思路：一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然

后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)

角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論。

模型01全等三角形的性質(zhì)與判定

考｜向｜預(yù)｜測(cè)

三角形全等的判定及應(yīng)用該題型近年考試中綜合性較高，在各類考試中以解答題為主。解這類問題的關(guān)

鍵是準(zhǔn)確迅速的在全等三角形的5種判定方法中，選用合適的方法，取決于題目中的已知條件，若已

知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，

且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊。

答｜題｜技｜巧

3

解決全等三角形的問題認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段

或角之間的聯(lián)系。在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)

輔助線構(gòu)造三角形；最后把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，

把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．

如圖，點(diǎn)C在線段上，，，．

????=??∠?=∠???=??

(1)求證：；

(2)若△???≌，△求???的度數(shù)．

∠???=60°∠???

1．（2025·陜西西安·二模）如圖，是上一點(diǎn)，，，平分，求證：．

?????=????=????∠???∠?=∠?

2．（2025·陜西咸陽·一模）如圖；在中，延長(zhǎng)到點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接，，

求證：．△?????????∥??????=??,???=??

??=??

3．（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，過點(diǎn)A作，垂足為D，延

長(zhǎng)至E．使得．在邊上△截?取??∠?，=連4結(jié)0°∠．?=25°??⊥??

????=??????=????

4

(1)求的度數(shù)．

(2)求∠證?：??．

4．（2024?·?廣=東?揭?陽·一模）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)，分別是，

上的點(diǎn)，連接，，，且??．??∠?=∠?=90°??=????????

??????∠???=∠???

(1)求證：；

(2)若△???≌△，???，求的長(zhǎng)．

??=2??=4??∥????

模型02等腰三角形的性質(zhì)與判定

考｜向｜預(yù)｜測(cè)

等腰三角形的性質(zhì)與判定在近年考試中綜合性較高，通常與全等三角形、相似三角形相結(jié)合在各類考

試中以解答題為主。解這類問題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定，選用合適的方法，靈活應(yīng)用等

腰三角形的性質(zhì)和有關(guān)的輔助線問題，利用等腰三角形來解決有關(guān)三角形的線段和角的問題

答｜題｜技｜巧

等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相

等的重要手段．在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的

高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有

時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．

等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角

形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來解決．

如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連

接，R．t△?????=??=32????????90°??

????

5

(1)求證：；

(2)若△?時(shí)??，≌求△?的??長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)??在=2上運(yùn)動(dòng)時(shí)?，?試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，

22

請(qǐng)說明?理?由?．??+??

1．（2025·陜西西安·一模）如圖，與均為等腰直角三角形，．求證：

．△???△???∠???=∠???=90°

△???≌△???

2．（2025·上海松江·一模）如圖，在中，，，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)．，

交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．△?????=????⊥????⊥??????∥??

???

(1)求證：；

????

(2)求證：??=??．

3．（20252·?上?海??松?江=·一??模?）??如圖，在中，，，．

△???∠?=60°??=6?△???=63

(1)求的長(zhǎng)；

(2)在??邊上取一點(diǎn)，使，連接，求的正切值．

4．（?2?025·上海崇明?·一模）??已=知2??中，∠???，，，，垂足為，點(diǎn)

是線段上一點(diǎn)（不與、重合R）t△，?過?點(diǎn)?作∠???=交90°的?延?長(zhǎng)=線6于?點(diǎn)?=8與??⊥交?于?點(diǎn)，連接?．?

???????⊥?6????,???????

(1)求證：；

????

(2)當(dāng)??=時(shí)?，?求的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)??∥??是等腰三?角?形時(shí)，求的長(zhǎng)．

△?????

模型03等邊三角形的性質(zhì)與判定

考｜向｜預(yù)｜測(cè)

等邊三角形的性質(zhì)與判定在近年考試中綜合性較高，通常與全等三角形、相似三角形相結(jié)合在各類考

試中以解答題為主。解這類問題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定，選用合適的方法，靈活應(yīng)用等

邊三角形的性質(zhì)和有關(guān)的輔助線問題，利用等邊三角形來解決有關(guān)三角形的線段和角的問題

答｜題｜技｜巧

等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角

性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合

一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．

等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角

的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．

如圖，點(diǎn)D、E分別是等邊三角形邊、上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．求證：

．?????????=??????

??=??

7

1．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，

．△????????=??∠???=∠???∠???=

∠???

(1)求證：；

(2)若平?分?=??，，求的長(zhǎng)．

2．（?2?023·浙∠江??寧?波·?一?模=）2如圖所??示為汽車內(nèi)常備的一種菱形千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個(gè)菱形，

中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變的大小（菱形的邊長(zhǎng)不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋础?/p>

之間的距離）．經(jīng)測(cè)量，可在∠??和?之間發(fā)生變化（包含和），．??

∠???20°160°20°160°??=40cm

(1)當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)∠???從=120變°為時(shí)，?這?個(gè)千斤頂升高了多少？（精確到，，，

∠???2）0°160°cm0.1cmsin80°=0.98cos80°=0.17

t3a．n8（0°20=235·.貴67州黔東南·一模）問題提出：

已知：在中，，以為邊作等邊三角形．探究下列問題：

△?????=?,??=??????

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線的兩側(cè)時(shí)，，且，則____________；

問題探究：???=?=3∠???=60°??=

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線的同側(cè)時(shí)，，且，則____________；

問題拓展：???=?=6∠???=90°??=

（3）如圖3，當(dāng)變化，且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線的兩側(cè)時(shí)，求的最大值及相應(yīng)的的度數(shù)．

4．（2024·貴州黔∠東??南?·二模）如圖，等邊三角形?的?邊長(zhǎng)為2，?是?邊的中線，點(diǎn)E∠在??線?段上，

連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段?，??連接．??????

????60°????

8

(1)【動(dòng)手操作】

在圖①中畫出線段，，并寫出一對(duì)全等的三角形：；

(2)【問題探究】????

如圖②，若點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，試探究點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑并求出它的長(zhǎng)度；

(3)【拓展延伸】

連接，在（2）的條件下，試求周長(zhǎng)的最小值．

??△???

模型04相似三角形的性質(zhì)與判定

考｜向｜預(yù)｜測(cè)

三角形相似的判定及綜合應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與圓結(jié)合或

者利用相似求長(zhǎng)度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度。解這類問題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用三角形的

判定方法，兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個(gè)三角形相似；三組

邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理以及數(shù)形結(jié)合和方程

思想的應(yīng)用．

答｜題｜技｜巧

相似三角形在求線段的長(zhǎng)度和線段的比中經(jīng)常使用，解決問題要分清問題中已知的線段和角與所證明

的線段或角之間的聯(lián)系；在應(yīng)用三角形相似的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添

加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形；

如圖，在四邊形中，，連接，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，．

????∠?=90°?????⊥????????∠1=∠???

9

(1)求證：；

(2)若∠2=．∠3

①請(qǐng)∠判4斷=線45段°，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若，????，求的長(zhǎng)．

??=13??=5??

1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作

交于點(diǎn)E．△???∠?=90°,∠?????????⊥??

??

(1)求證：；

(2)若△???∽△，?求??線段的長(zhǎng)．

2．（?2?02=5·重2?慶?大=渡6口·模擬預(yù)?測(cè)?）如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)

作交于點(diǎn)．??????????∠???=∠????

??⊥?????

(1)求證：；

(2)若△???∽△?，??求的長(zhǎng)．

3（20?2?3·=浙1江0寧,?波?=·三1模6）如?圖?，在四邊形中，，，，，，P為

線段上一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連接????，過P??作∥??∠?交=90°所在??直=線4于E?．?=2??=?

??????⊥????

(1)請(qǐng)找出一對(duì)相似三角形，并說明理由；

(2)若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段上，求m的取值范圍．

4．（2024·吉林長(zhǎng)?春?·模擬預(yù)測(cè)）【教材呈現(xiàn)】?下?面是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材頁的部分內(nèi)容．

78

10

例如圖，在中，、分別是邊、的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)．求證：．

????1

證明連接△．????????????????=??=3

??

請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程．

證明：連接，

??

【結(jié)論應(yīng)用】

（）如圖②，在中，，，、分別是邊、的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)．若

1，則_R_t_△__?_．??∠???=90°??=6???????????

5

（??）=如3圖③??，=在中，、分別是邊、的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)．過點(diǎn)作交于點(diǎn)

，2如果的面△積??是?，那?么?的面?積?是?__?___．????????∥????

?△???9△???

模型05三角形的翻折問題

考｜向｜預(yù)｜測(cè)

三角形的折疊問題在近年主要以填空及綜合性大題的形式出現(xiàn)，一般屬于多解型問題，難度系數(shù)較大。

三角形的折疊問題注意折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，在多解題型中，準(zhǔn)確畫出折疊后的圖形是

我們解題的關(guān)鍵。結(jié)合三角形相關(guān)的性質(zhì)及判定定理與推論和其它幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題。

答｜題｜技｜巧

折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和

對(duì)應(yīng)角相等．在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到

圖形間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常

設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)?/p>

直角三角形，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知

數(shù)．

11

【操作觀察】

如圖，在四邊形紙片中，，，，，．

折疊四邊形紙片?，??使?得點(diǎn)?的?對(duì)∥?應(yīng)?點(diǎn)∠?始?終?落=在90°上??，=點(diǎn)8的?對(duì)?應(yīng)=點(diǎn)12為?，?折=痕13與，分別交于點(diǎn)

′′

，．??????????????

??

【解決問題】

(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)；

′′

(2)設(shè)直線?與?直線相交?于?點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．

′′′′

?????∠???=∠?????

1．（2025·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，將平行四邊形紙片沿一條直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)

處，折痕為．???????

???

(1)求證：；

(2)若△???≌，△???，試判斷的形狀，并說明理由．

2．（2∠0?2?4·?吉=林3長(zhǎng)0°春·∠模?擬=預(yù)1測(cè)20）°已知在△??中?，，，點(diǎn)在邊上，滿足．動(dòng)

3

點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度△沿??折?線??=??向=終5點(diǎn)ta運(yùn)n?動(dòng)=，4且不與???的頂點(diǎn)重?合?．=把3??

沿?翻折?，得到．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為????．??△???△???

′

??△??????>0

(1)的長(zhǎng)為______．

??

12

(2)求點(diǎn)到的距離（用含的代數(shù)式表示）．

(3)當(dāng)?與等??腰的腰垂?直時(shí)，求的值．

′

(4)當(dāng)??與△???拼成的圖形為三角?形時(shí)，直接寫出的值．

′

3．（△20?2?4?·內(nèi)蒙△古?包??頭·模擬預(yù)測(cè)）操作：如圖①在正方形?中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將沿折疊

后得到，點(diǎn)F在正方形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)??G?，?易知??．△?????

探究：若△將??圖?①中的正方形改?成?矩??形，其他條件??不變?，?如圖②，那么?線?=段??與相等嗎？請(qǐng)說明理由．

拓展：如圖③，將圖①中的正方形改為平行四邊形，其他條件不變，?若???，，則

的周長(zhǎng)為______．??????=3??=4△???

4．（23-24九年級(jí)下·廣東汕頭·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐：折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，通過折紙我們

既可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).折一折：把邊長(zhǎng)為6的正三

角形紙片，其沿直線折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，分別得到圖①、圖②.△???

′

填一填，做一做：???

(1)圖①中陰影部分的周長(zhǎng)為.

(2)圖①中，若，則°.

′′

(3)圖①中的相似∠三?角??形=(包80括°全等三∠角??形?)共=有對(duì)；

如圖，點(diǎn)落在邊上，若，則

(4)②′

′????

′

?????=2??=

模型06三角形與旋轉(zhuǎn)問題

考｜向｜預(yù)｜測(cè)

三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，

本專題重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)模型），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變

與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)

的綜合解題能力。

13

答｜題｜技｜巧

在解決三角形與旋轉(zhuǎn)問題時(shí)要找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心；確定以旋轉(zhuǎn)中心為頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角所在的兩個(gè)三

角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題；同時(shí)

還要數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答

在中，，，點(diǎn)D是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），以點(diǎn)D為中心，

將線△段???順時(shí)?針?旋=轉(zhuǎn)??∠?得?到?=線120．°??

??120°??

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；

(2)如圖2，連接∠???，=當(dāng)15°∠???時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，的度數(shù)；如

果變化，請(qǐng)說明?理?由；0°<∠???<90°∠???∠???

(3)如圖3，點(diǎn)M在CD上，且，以點(diǎn)C為中心，將線CM逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到線段CN，連接

EN，若，求線段EN的?取?值:?范?圍=．3:2120°

??=4

1．（2023·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐課上，李老師讓同學(xué)們以“等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)

學(xué)活動(dòng)．

數(shù)學(xué)興趣小組將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形按圖的方式擺放，

，隨后保持不動(dòng)，將繞?點(diǎn)??按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)???1，連接∠???，=延

∠長(zhǎng)???交=90于°點(diǎn)．該數(shù)△學(xué)興??趣?小組進(jìn)行如△下??探?究，請(qǐng)?你幫忙解答：,?0°<?<90°??,??

【初??步探??究】?

(1)如圖1，直接寫出線段和的關(guān)系：______．

(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，?則???______．

【深入探究】??∥???=

(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，連接，興趣小組認(rèn)為不僅（1）中的結(jié)論仍然成立，而且在旋轉(zhuǎn)過

程中,的度0°數(shù)<不?發(fā)<生90變°化，請(qǐng)給?出?推理過程并求出的度數(shù)．△???

【拓展∠?延?伸?】∠???

14

(4)如圖3，試探究線段，之間是否存在某種特定的數(shù)量關(guān)系，若存在，直接寫出數(shù)量關(guān)系式；

若不存在，請(qǐng)說明理由?．?,??,??

2．（2025·河南開封·一模）綜合與實(shí)踐在中，．

Rt△???∠???=90°,??=1,??=2

問題發(fā)現(xiàn)

（1）如圖1，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，，線段與之間的數(shù)量關(guān)

系是___________△，???與的?位置關(guān)系是______9_0__°__．△???????????

類比探究????

（2）如圖2，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到，連接，，線段與之間的

數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)△系??與?（1）?中的結(jié)論是否一致？請(qǐng)說明理由．△???????????

遷移應(yīng)用

（3）如圖3，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，當(dāng)點(diǎn)落到邊上時(shí)，連接，求線段的長(zhǎng)．

3．（2025·湖北·模△擬??預(yù)?測(cè)）旋?轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中△的?一??種重要變?換，通常??與全等三角形?等?數(shù)學(xué)知識(shí)?相?結(jié)合

來解決實(shí)際問題，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在研究三角形旋轉(zhuǎn)的過程中，進(jìn)行如下探究：如圖，和

均為等腰直角三角形，，為的中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，①連接△??，?．

△(1)?【?觀?察猜想】在旋轉(zhuǎn)∠過?程??中=，∠??與?=的90數(shù)°量?關(guān)系?為?；△????????

(2)【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】如圖△??，?當(dāng)點(diǎn)，在??內(nèi)??且，，三點(diǎn)共線時(shí)，求證：；

(3)【解決問題】若②中，??，△在????旋轉(zhuǎn)?過程?中，當(dāng)且，??，???三點(diǎn)=共2線??時(shí)，直接

寫出的長(zhǎng)．△?????=5△?????=3???

??

4．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在等腰中，，，點(diǎn)分別在

上，，連接，取中點(diǎn)，連接??△．???∠???=90°??=???,???,??

??=????,???????

15

(1)求證：，；

(2)將??繞=點(diǎn)2?順?時(shí)?針?旋⊥轉(zhuǎn)??到圖2的位置．

①請(qǐng)△直?接?寫?出?與的位置關(guān)系：；

②求證：???．?

??=2??

1．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在和中，延長(zhǎng)交于，，，

．求證：．△???△??????????=????=??∠???+

∠???=180°??=??

2．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在菱形中，，垂足為，垂足為．

求證：．??????⊥???,??⊥???

??=??

3．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，、相交于點(diǎn)G，，，

．??????=????=??

??=??

(1)求證：是等腰三角形；

△???16

(2)連接，則與l的位置關(guān)系是________．

4．（202?4?·遼寧·中??考真題）如圖1，在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提起．起

始位置示意圖如圖2，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)到所在直線的距離，；停止位置示意圖如圖3，

此時(shí)測(cè)得（點(diǎn)，，?在同??一直線上，且直線??=與3平m面平∠?行??，=圖630中°所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)．定

滑輪半徑忽∠?略??不=計(jì)3，7運(yùn)°動(dòng)過?程中?繩?子總長(zhǎng)不變．（參考數(shù)據(jù)?：?，，，

）sin37°≈0.60cos37°≈0.80tan37°≈0.75

3≈1.73

(1)求的長(zhǎng)；

(2)求?物?體上升的高度（結(jié)果精確到）．

5．（2024·山東日照·中??考真題）如圖，0以.1m的頂點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，再分別

以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧?，?兩??弧?交于點(diǎn)?，畫射線??，交于點(diǎn)，交??的延長(zhǎng)?線于點(diǎn)．

1

??2???????????

(1)由以上作圖可知，與的數(shù)量關(guān)系是_______

(2)求證：∠1∠2

(3)若??，=??，，求的面積．

6．（?2?02=3·4北京?·?中=考2真?題?）∠在???=6中0°、△???，于點(diǎn)M，D是線段上的

動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），△將?線?段?繞∠?點(diǎn)=D∠順?時(shí)=針?旋0°轉(zhuǎn)<?<得4到5線°段??．⊥????

??2???

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；

(2)如圖2，若在線段上?存?在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，??M重合）滿足，連接，，直接寫出的

大小，并證明．????=??????∠???

7．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）在中，，，．

Rt△???∠???=90°??=1??=3

17

(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，

與的△位?置?關(guān)?系是?______；90°△???????????

?(2?)類比??探究

將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到，連接，，線段與的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系

與（△1?）??中結(jié)論?是否一致？若交于點(diǎn)N，請(qǐng)△結(jié)?合??圖2說明?理?由?；?????

(3)遷移應(yīng)用????

如圖3，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度得到，當(dāng)點(diǎn)落到邊上時(shí)，連接，求線段的長(zhǎng)．

8．（2024·△甘肅??蘭?州·中?考真題）綜合與實(shí)踐△??????????

【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何問題，如圖，在

中，點(diǎn)M，N分別為，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且．△???

【初步嘗試】（1）如?圖?1，??當(dāng)為等邊三角形時(shí)，小??顏=發(fā)?現(xiàn)?：將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

連接，則，請(qǐng)思考△并?證?明?：??120°??

【類比??探究】?（?2）=小?梁?嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2，在中，，，

于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連△接???，??．=試?猜?想∠四?邊??形=90°

?的?形⊥狀?，?并說明理由?；???90°??????????

【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在中，，，連接，

，請(qǐng)直接寫出的最小值．△?????=??=4∠???=90°??

????+??

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

9．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點(diǎn)，

∠???=45°??=

連接．將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)△???得線段∠???，=連9接0°．??=????

????90°????

18

【嘗試發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為________；

【類比探究】??????

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段與的數(shù)量關(guān)系并證明；

【聯(lián)系拓廣】??????

（3）若，，請(qǐng)直接寫出的值．

10．（2?02?4=·黑?龍?江=牡1丹?江?·中=考2真題）數(shù)學(xué)老師sin在∠?課?堂?上給出了一個(gè)問題，讓同學(xué)們探究．在中，

，點(diǎn)D在直線上，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)REt△作???，

∠交?直??線=9于0°點(diǎn),∠?F?．?=30°????60°????∥??

??

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖①，求證：；

分析問題：某同學(xué)在?思?考這道題時(shí)，想利用??+?構(gòu)?造=全?等?三角形，便嘗試著在上截取，連

接，通過證明兩個(gè)三角形全等，最終證出?結(jié)?論=：??????=??

推理??證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)判斷并直接

寫出線段，，??之間的數(shù)量關(guān)系；??

拓展思考：??????

（3）在（1）（2）的條件下，若，，則______．

??=63??=2????=

1．基礎(chǔ)鞏固：

19

（1）如圖①，在VABC和VADE中，ABAC,ADAE,BACDAE，求證：△AEC≌△ADB；

嘗試應(yīng)用：

（2）如圖②，在VABC和VADE中，ABAC,ADAE,BACDAE90，B,D,E三點(diǎn)在一條直線上，

AC與BE交于點(diǎn)F，若F為AC中點(diǎn)．

①求BEC的度數(shù)；

②過點(diǎn)A作AGBE于點(diǎn)G，若CE2，求△ACE的面積；

拓展提高：

（3）如圖③，在VABC和VADE中，ABAC,DADE,BACADE90，BE與CA交于點(diǎn)F，

DCDF，VBCF的面積為32，連接EC，補(bǔ)全圖形，求AF的長(zhǎng)．

2．在Rt△ABC中，BAC90，AD是斜邊BC上的高，

(1)求證：△ABD∽△CBA．

(2)若AB6，BC10，則BD______．

3．旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的一種重要變換，通常與全等三角形等數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合來解決實(shí)際問題，某學(xué)校

數(shù)學(xué)興趣小組在研究三角形旋轉(zhuǎn)的過程中，進(jìn)行如下探究：如圖①，VABC和DMN均為等腰直角三角形，

BACMDN90，D為BC的中點(diǎn)，DMN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，連接AM，CN．

(1)【觀察猜想】在DMN旋轉(zhuǎn)過程中，AM與CN的數(shù)量關(guān)系為；

(2)【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】如圖②，當(dāng)點(diǎn)M，N在VABC內(nèi)且C，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，求證：CMAM2DM；

(3)【解決問題】若VABC中，AB5，在DMN旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM3且C，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，直

接寫出DM的長(zhǎng)．

4．材料閱讀：小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在

VABC中，ABC90，ABBC；DEF中，DEF90，EDF30），并提出了相應(yīng)的問題

20

發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖①，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B擺放在線段DF上時(shí)，過點(diǎn)A作AMDF，

垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CNDF，垂足為點(diǎn)N，易證△ABM≌△BCN，若AM2，CN7，則MN9；

類比：

（2）如圖②，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B在線段DE上且頂點(diǎn)A在線段EF上時(shí)，過點(diǎn)C作CPDE，

垂足為點(diǎn)P，猜想AE，PE，CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

拓展：

（3）如圖③，將兩