第06講空間向量的應用（二）：距離、夾角問題目錄TOC\o"1-2"\h\u8366第06講空間向量的應用（二）：距離、夾角問題 120616一、由空間向量研究距離問題 228557基礎知識 218865考點1點到平面距離的向量 23289考點2平行平面距離的向量 310519考點3點到直線距離的向量 421485二、由空間向量研究空間角問題 5675基礎知識 57946考點4求異面直線所成的角 628076考點5求線面角 732244考點6求二面角 824964考點7由空間向量研究存在性問題 97886三、課后作業 1232626單選題 1225258多選題 1332134填空題 149113解答題 14

一、由空間向量研究距離問題基礎知識1．距離問題(1)點P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為(如圖)．點P到平面α的距離：設平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．考點1\t"/gzsx/zj165976/_blank"\o"點到平面距離的向量求法"點到平面距離的向量【例1.1】（23-24高二上·北京順義·期末）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A．1 B．3 C．102 D．【例1.2】（2024·河北滄州·二模）已知四面體ABCD滿足∠BAC=π3,cos∠CAD=13A．52 B．32 C．3 【變式1.1】（23-24高二下·江西·開學考試）在正三棱錐P?ABC中，AB=2PA=2，且該三棱錐的各個頂點均在以O為球心的球面上，設點O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則nA．3 B．233 C．3 【變式1.2】（23-24高二上·河北石家莊·期末）在如圖所示的直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=2,AA1=3,M是BC

A．1 B．12 C．23 考點2\t"/gzsx/zj165976/_blank"\o"平行平面距離的向量求法"平行平面距離的向量【例2.1】（23-24高二上·全國·課后作業）正方體ABCD?A1B1C1DA．2 B．3 C．23 D．【例2.2】（23-24高二上·陜西西安·期末）兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A2,1,1，且兩平面的一個法向量n=?1,0,1A．32 B．22 C．3 【變式2.1】（2024高二·全國·專題練習）設正方體ABCD?A(1)求直線B1C到平面(2)求平面A1BD與平面【變式2.2】（2024高二上·全國·專題練習）直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，邊長為2，側棱A1

(1)求證：平面AMN//平面EFBD；(2)求平面AMN與平面EFBD的距離．考點3\t"/gzsx/zj165976/_blank"\o"點到直線距離的向量求法"點到直線距離的向量【例3.1】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）在空間直角坐標系中，已知點A1,1,1,B0,1,0,C1,2,3，則點CA．3 B．2 C．22 【例3.2】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）在三棱錐P?ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，三角形ABC重心為G，則點P到直線AG的距離為（

）A．67 B．53 C．217【變式3.1】（23-24高二下·北京·開學考試）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為線段AB上的點，且AEEB=3，點A．22 B．32 C．35【變式3.2】（23-24高二上·北京昌平·期末）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，P，Q分別是棱BC和A．32 B．22 C．33

二、由空間向量研究空間角問題基礎知識1．夾角問題(1)兩個平面的夾角：平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．(2)空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個平面的夾角設平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))2．用向量法求異面直線所成角：(1)建立空間直角坐標系；(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.3．向量法求直線與平面所成角:(1)分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，將題目轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.4．向量法求二面角:用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.考點4求異面直線所成的角【例1.1】（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知四棱錐P?ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，則異面直線AC與PB所成的角的余弦值為（A．55 B．105 C．155【例1.2】（23-24高二下·湖北·期中）如圖，ABC?A1B1C1是一個由棱長為2a的正四面體沿中截面所截得的幾何體，則異面直線A．63 B．312 C．33【變式1.1】（23-24高二上·廣東中山·期中）如圖，圓錐的軸截面ABC為等邊三角形，D為弧AB的中點，E，F分別為母線BC、AC的中點，則異面直線BF和DE所成角的大小為（

）A．π4 B．π3 C．π2【變式1.2】（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖是棱長均相等的多面體EABCDF，其中四邊形ABCD是正方形，點P，Q，M，N分別為DE，AB，AD，BF的中點，則異面直線A．13 B．12 C．23考點5求線面角【例2.1】（23-24高二下·遼寧·階段練習）在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分別是棱AB，BC，CP的中點，AB=AC=2，PA=4，則直線PA與平面DEF所成角的余弦值為（

）A．255 B．55 C．3【例2.2】（2023·四川甘孜·一模）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3,BC=1,M,N分別是為ADA．82 B．6 C．26 【變式2.1】（2024·重慶·二模）如圖，直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，

(1)證明：平面D1EF//平面(2)已知AA1=AD=DC=1,∠DAB=60°【變式2.2】（2024·河北秦皇島·二模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，BA=BD=BP=5，CD=1，PA=PD=2，PA⊥PD，E是棱PA的中點，且BE//平面PCD，點F是棱(1)求證：平面PCD⊥平面PAD；(2)若直線PC與平面ABF所成角的正弦值為1135105，求考點6求二面角【例3.1】（23-24高二上·陜西渭南·期末）在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=π2，AB=PA=12CD=1，BC=22，M為A．31010 B．1010 C．5【例3.2】（22-23高二上·山東煙臺·階段練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD=1，A．0,21515C．0,21015【變式3.1】（23-24高二下·甘肅·期中）圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，AP=AB,E為

(1)求證：CD⊥平面PAE；(2)求平面PAE與平面PBC所成二面角的余弦值.【變式3.2】（2024·全國·模擬預測）如圖，四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，(1)證明：CD⊥AC(2)若CC1=2，CD=3，BC=考點7由空間向量研究存在性問題【例4.1】（23-24高二下·湖南·期中）如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，(1)求直四棱柱ABCD?A(2)在棱AA1上是否能找到一點M，使得平面CD1M與平面BC【例4.2】（23-24高三上·北京·期中）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求直線AC1與平面(2)求二面角A?A(3)是否存在點F，使D1F//平面A1E【變式4.1】（23-24高三上·江蘇·階段練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，△PAD是正三角形，∠ABC=90°,AB∥CD,AB=2CD=2BC=4，平面PAD⊥平面ABCD，M是棱(1)求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)在線段PC上是否存在點M，使得直線AP與平面MBD所成角為30°？若存在，求出PMPC【變式4.2】（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC,AB∥DC，AB=12CD=AD=1(1)證明：BM//平面PAD；(2)若PC=5（i）求二面角P?DM?B的余弦值；（ii）在線段PA上是否存在點Q，使得點Q到平面BDM的距離是269？若存在，求出

三、課后作業單選題1．（23-24高二下·浙江·期中）空間點A?1,1,1,B?1,2,3,C1,2,4，則點A到直線BCA．255 B．5 C．2152．（2024高三下·全國·專題練習）如圖，正三棱錐M?ABC的高為2，AB=6，E，F分別為MB，MC的中點，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為（

）A．34 B．33344 C．193．（23-24高二上·浙江寧波·期中）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1DA．2 B．233 C．1 4．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習）如圖，在多面體A1B1C1D1ABC中，側面四邊形A1B1C1D1，AA1

A．13 B．789 C．39 5．（23-24高二下·甘肅·期中）已知棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，M，N分別是A．1 B．33 C．32 6．（2023·吉林通化·二模）已知四棱錐P?ABCD的底面為平行四邊形，AD=2，DC=4，∠BAD=60°，PD⊥平面ABCD，直線PD與平面PAC所成角為30°，則PD=A．22 B．475 C．67．（23-24高三上·河北邢臺·開學考試）三棱錐A?BCD中，已知∠BAC=60°，∠CAD=30°，∠BAD=45°，則平面CAD與平面BAD所成的銳二面角的余弦值為（

）A．3?2 B．3?22 8．（23-24高二上·江蘇揚州·階段練習）如圖，在幾何體ABC?A1B1C1中，四邊形A1ACB1是矩形，△ACB≌

A．AC1//BB1 C．幾何體ABC?A1B1C1的體積為12多選題9．（23-24高三上·湖北·開學考試）如圖，AE⊥平面ABCD，CF//AE,AD//BC,AD⊥AB,AE=BC=2，AB=AD=1，A．BD⊥CEB．BF//平面C．二面角E?BD?F的余弦值為1D．直線CE與平面BDE所成角的正弦值為510．（23-24高二上·山東聊城·期末）如圖，四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，O、P分別是AC,SC的中點，M是棱SD上的動點，則（

）

A．OM⊥APB．存在點M，使OM//平面SBCC．存在點M，使直線OM與AB所成的角為30°D．點M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值填空題11．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在空間直角坐標系中，O為坐標原點，若OA=1,0,0，OB=0,1,0，OC=0,0,2，則點O到平面12．（2024·廣東茂名·模擬預測）已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是正方形，AB=4，AA1=42，點B1在底面ABCD解答題13．（2024高三下·河南·專題練習）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，O為△A1B(1)證明：CDD(2)若AA1=2A114．（2024·全國·模擬預測）如圖，圓柱O1O的軸截面ABCD為正方形，且AB=2，點E在圓O上（與(1)求證：AE