/海南省海口市2023-2024學年高三下冊期中考試數學試卷A卷一、選擇題（共14小題，每小題3分，共42分）1.已知復數，則復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知，且，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.3.若是不等式成立的一個必要不充分條件，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.4.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過作一條漸近線的垂線，垂足為，延長與另一條漸近線交于點，若為坐標原點，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.5.設集合，，則（）A. B. C. D.6.在的展開式中，的系數為（）A. B. C.40 D.807.已知各項均為正數的數列的前n項和為，，，，則（）A.511 B.61 C.41 D.98.若函數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.設，，，…，是1，2，3，…，7的一個排列.且滿足，則的最大值是（）A23 B.21 C.20 D.1810.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.11.在邊長為4的正三角形中，E，F分別是，的中點，將沿著翻折至，使得，則四棱錐的外接球的表面積是（）A. B. C. D.12.已知函數，若，則實數取值范圍為（）A. B. C. D.13.已知點A，B，C都在雙曲線：上，且點A，B關于原點對稱，.過A作垂直于x軸的直線分別交，于點M，N.若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.14.（雙選）已知函數圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則（）A.函數圖象關于點對稱B.函數圖象關于直線對稱C.函數在上單調遞增D.函數在上有個零點二、非選擇題（共58分）15.（8分）已知集合，，則__________。16.（10分）記的內角，，的對邊分別為，，，向量，且．（1）求角的大小（2）若的面積為，，求。17.（10分）某款自營生活平臺以及提供配送服務的生活類軟件主要提供的產品有水產海鮮，水果，蔬菜，食品，日常用品等．某機構為調查顧客對該軟件的使用情況，在某地區隨機訪問了100人，訪問結果如下表所示．使用人數未使用人數女性顧客4020男性顧客2020（1）從被訪問的100人中隨機抽取2名，求所抽取的都是女性顧客且使用該軟件的概率；（2）用隨機抽樣的方法從該地區抽取10名市民，這10名市民中使用該軟件的人數記為，問為何值時，的值最大？18.（10分）已知函數，其中.（1）若，求的值；（2）已知時，單調遞增，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，使函數存在，求m的最大值。條件①：；條件②：；條件③：的圖像與直線的一個交點的橫坐標為.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分19.（10分）某學校工會組織趣味投籃比賽，每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.方式一：選手投籃3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累計得分；方式二：選手最多投3次.如第1次投中可進行第2次投籃，如第2次投中可進行第3次投籃.如某次未投中，則投籃中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累計得分；已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽.假設甲，乙每次投中的概率均為，且每次投籃相互獨立.（1）求甲得分不低于2分的概率；（2）求乙得分的分布列及期望；（3）甲，乙誰勝出的可能性更大？直接寫出結論。20.（10分）已知點集滿足，，.對于任意點集，若其非空子集A，B滿足，，則稱集合對為的一個優劃分.對任意點集及其優劃分，記A中所有點的橫坐標之和為，B中所有點的縱坐標之和為.（1）寫出的一個優劃分，使其滿足；（2）對于任意點集，求證：存在的一個優劃分，滿足；（3）對于任意點集，求證：存在的一個優劃分，滿足且。答案1.C2.A3.B4.D5.D6.A7.B8.C9.B10.C11.C12.A13.B14.AD15.【正確答案】或【分析】由定義域可得，由一元二次不等式的解法可得，利用交集、補集運算求解即可．【詳解】由題，所以或．故或16.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用向量垂直的坐標表示，結合正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解；（2）利用三角形面積公式得到，利用三角函數的和差公式得到，再利用正弦定理即可得解.【小問1詳解】因為，，，所以，由正弦定理得，化簡得，所以，又，所以.【小問2詳解】由題意得，則，由，得，則，因為，所以，所以.17.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據題意，由古典概型的概率計算公式，代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，由二項分布的概率計算公式列出式子，然后即可得到其最大值.【小問1詳解】設事件為“從被訪問的100人中隨機抽取2名，所抽取的都是女性顧客且使用該軟件”，從被訪問的100人中隨機抽取2名，共有個基本事件，事件共有個基本事件，則．【小問2詳解】由題意，服從二項分布，且使用該軟件的概率為，則．所以．設．若，則；若，則．所以時，最大。18.【正確答案】（1）（2）答案見解析（1）結合三角恒等變換公式，將代入計算即可得；（2）若選②，將與計算出來，即可得出，結合正弦函數的性質即可得解；若選③，借助函數的對稱性計算即可得，結合正弦函數的性質即可得解；不可選①，代入計算后，結合三角函數的值域可知此時函數不存在.【小問1詳解】法一：，即可得，又，所以；法二：，所以即得，又，所以；【小問2詳解】，選擇②，，，因為，所以，因為的最小正周期，，所以由可得，所以，；或法二：因為，，所以即，因為，所以，；選擇③，，的圖像與直線的一個交點的橫坐標為，即可得，所以，又，所以，法一：令，，解得，即的單增區間為，又時，單調遞增，所以，是的一個子區間，所以，，即可得，又，所以，故是的一個子區間，所以m的最大值為；法二：因為，，所以，因為在上單增，所以，，即可得，，，所以，所以，可得m的最大值為.不可選擇條件①，理由如下：若，則，即，由，故該方程無解，故函數不存在，故不可選①。19.【正確答案】（1）（2）分布列見解析，（3）甲獲勝的可能性更大【分析】（1）計算出及的概率，求和即可得；（2）寫出Y的可能取值后計算對應的概率即可得分布列，借助分布列即可得期望；（3）分別計算出甲獲勝的概率與乙獲勝的概率，比較大小即可得.【小問1詳解】設甲選擇方式一參加比賽得分為，，，設甲得分不低于2分為事件A，則；【小問2詳解】設乙選擇方式二參加比賽得分為Y，Y的可能取值為0，2，4，6，，，，，所以Y的分布列為：Y0246P所以；【小問3詳解】甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，故甲獲勝的可能性更大。20.【正確答案】（1）（答案不唯一）（2）證明見解析；（3）證明見解析（1）根據題中定義寫出一個符合的即可；（2）根據題意，以的取值與1的大小比較為標準，分類討論即可證明；（3）根據題意，分類討論即可；【小問1詳解】由題因為，所以若使，則可以，此時，滿足題意.【小問2詳解】根據題意對于任意點集，不