/廣東省深圳市2025屆高三下冊2月標準學術能力診斷性測試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知，其中i為虛數單位，則（

）A．2 B． C．1 D．2．已知向量，，若，則（

）A．2 B． C． D．3．若是空間中的一條直線，，是空間中兩個相互垂直的平面，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．已知數列滿足，，則（

）A． B． C． D．5．已知正實數x，y滿足，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．26．過點作曲線的切線，切點為，則點的橫坐標不可能是（

）A．2 B． C． D．7．函數，，的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．8．一個正十二面體的各個面分別標有數字1到12，拋擲一次這個正十二面體，觀察它與地面接觸的面上的數字，事件，事件，若事件滿足，，，則滿足條件的事件可以為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點．已知函數，則下列選項正確的是（

）A．的圖象關于直線對稱B．的圖象關于點對稱C．在內有最大值D．在內單調遞減10．函數，的定義域均為，且對任意均滿足，，，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．11．已知曲線，，則下列選項正確的是（

）A．，使得曲線為圓B．，曲線都關于點中心對稱C．當時，D．當時，直線是曲線的一條漸近線三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線過雙曲線的左焦點，且與雙曲線有且僅有一個交點，則雙曲線的離心率為．13．已知函數，．若時，函數有最大值為1，最小值為，試寫出一組滿足上述條件的．14．給定有限個正整數滿足條件：每個數都不大于7且總和，現將這些數按下列要求分成組，每組數之和不超過21，規定第1組先選擇數字，使得選擇的數字之和盡可能的大，記和為，第2組數字在余下的數中選擇，使得選擇數字之和盡可能的大，記和為，如此繼續下去……，設第組數字之和為，其中，對任意滿足條件的有限個正整數，則的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數．(1)求函數的極小值；(2)求不等式的解集．16．問卷的設計是一門很大的學問，例如，調查問題的措辭會對被調查者產生影響，舉例來說，在“你在多大程度上喜歡吸煙”和“你在多大程度上不喜歡吸煙”這兩種問法中，前者會比后者給出更為肯定的答案．下面設計了一個調查程序：已知某高校有12000名學生，我們隨機抽取其中1200名學生進行調查（吸煙問題）．第一步：每個被測人員在大小和形狀相同的50個紅球與50個白球中隨機摸取一個球，然后再同時擲兩個骰子：（結果只有被測人員知道）第二步：如果取到紅球，且兩個骰子的點數之和是4或5或6，則被測人員在計數器上點一下：如果取到白球，且吸煙的被測人員在計數器上點一下．已知最后計數器數字是211．(1)求第二步中兩個骰子的點數之和是4或5或6的概率：(2)試估計某高校吸煙的人數．17．如圖所示，已知拋物線的焦點為，直線過點．(1)若直線與拋物線相切于點，求線段的長度；(2)若直線與拋物線相交于兩點，且，直線與拋物線交于另一點，連結，記中點為，直線交于點，求的面積．18．如圖所示，斜三棱柱中，為AB的中點，為的中點，平面平面．(1)求證：直線平面；(2)若三角形是等邊三角形且邊長為2，側棱，且異面直線與互相垂直，求異面直線與所成角正切值；(3)若，，，若三棱柱有內切球，求三棱柱的體積．19．已知其中且，一個元排列記為．如果排列滿足任意，存在，且使得，稱其為凝聚排列．(1)寫出時的所有凝聚排列；(2)求證：凝聚排列必有或；(3)求n元凝聚排列的個數．

答案1．【正確答案】B【詳解】因為，則.故選B.2．【正確答案】C【詳解】由向量，，得，由，得，所以.故選C3．【正確答案】D【詳解】對于充分性，當時，因為，所以或，故充分性不成立，對于必要性，當時，因為，所以或或，故必要性不成立，則“”是“”的既不充分也不必要條件，故D正確.故選D4．【正確答案】D【詳解】由，，則，，，所以數列的最小正周期為，由，則.故選D.5．【正確答案】B【詳解】，，化簡得，，當且僅當且，即時等號成立；又，，當且僅當時等號成立，，的最小值為.故選B.6．【正確答案】B【詳解】設切點為，而切線也過點，由斜率公式得，因為，所以，由導數的幾何意義得，故成立，化簡得，得到，即，顯然是方程的根，則方程可化為，解得或，而原方程最多有三個根，則不可能是原方程的根，即點的橫坐標不可能是.故選B7．【正確答案】D【詳解】因為，則是的一條對稱軸，且由圖象知，又由的圖象與性質知①，②②①得到，解得，所以，故，故選D.8．【正確答案】D【詳解】對于A，由事件，事件，事件，則事件，事件，事件，由題意可得，，，，，，可得，，，故A錯誤；對于B，由事件，事件，事件，則事件，事件，事件，由題意可得，，，，，，可得，，，故B錯誤；對于C，由事件，事件，事件，則事件，事件，事件，由題意可得，，，，，，可得，，，故C錯誤；對于D，由事件，事件，事件，則事件，事件，事件，由題意可得，，，，，，可得，，，故D正確.故選D.9．【正確答案】AD【詳解】由題意可得，，則，（），所以，對于A，由，則，由函數的對稱軸為直線（），故A正確；對于B，由，則，由函數的對稱中心為（），故B錯誤；對于C，由，則，由函數在（）處取得最大值，故C錯誤；對于D，由，則，由函數在上單調遞減，故D正確.故選AD.10．【正確答案】AC【詳解】對于，令可得，解得，故A正確；由得，又，所以，所以，結合，所以，所以，令得，即，再令得，即，對于，令得，由得，故B錯誤；由得，由得，所以，故C正確；由得，由得，所以，故D錯誤.故選AC11．【正確答案】BCD【詳解】選項A:由曲線，，若曲線為圓，需滿足和系數相等且無交叉項，展開原方程得：，交叉項系數為，無法消除，故曲線C無法為圓，選項A錯誤；選項B：驗證曲線關于點對稱，將點替換為對稱點代入方程：與原方程形式一致，故均成立，選項B正確；選項C：當時，方程為，整理為關于y的二次方程：．判別式，即得解得，選項C正確；選項D：當時，方程為，漸近線為，化簡得或，即得或，所以直線是曲線的一條漸近線，選項D正確；故BCD.12．【正確答案】【詳解】設雙曲線的左焦點為，因為雙曲線的左焦點在軸負半軸上，即為直線與軸的交點，所以，即，所以①，又因為雙曲線與直線有且僅有一個交點，所以直線與雙曲線的漸近線平行，所以，即②，由①②可得，，所以.13．【正確答案】或【詳解】，若，則當，，故在區間上單調遞增，故，得，故；若，則由得，由得，則，，得，設，則，因，故，故在區間上單調遞減，故，故在上無解，不滿足題意；若，則得，由得，則，，得，因，故不滿足題意；若，則當，，故在區間上單調遞減，得，得，故14．【正確答案】24【詳解】由題意可得給定的正整數最大只能取到，則當最大為，且盡可能多的時，，可得給定個，一個，每組可選個，所以，故；當最大為，且盡可能多的時，，可得給定個，由，則每組可選個，所以，故；當最大為，且盡可能多的時，，可得給定個，由，則每組可選個，所以，故；當最大為，且盡可能多的時，，可得給定個，由，則每組可選個，所以，故；當最大為，且盡可能多的時，，可得給定個，由，則每組可選個，所以，故；當最大為，且盡可能多的時，，可得給定個，由，則每組可選個，所以，故；當最大為，且盡可能多的時，，可得給定個，由，則每組可選個，所以，故；綜上可得，的最大值為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）的定義域為,，令,得（舍負）,當時,,在時為減函數;當時,,在時為增函數;所以的極小值為．（2）原不等式等價于,令,因為,所以在上單調遞減，且,得的解集為,即原不等式的解集為．16．【正確答案】(1)(2)220人【詳解】（1）設兩個骰子的點數之和是4或5或6的事件為，則擲兩個骰子共有種不同結果，其中之和是4或5或6的有（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共有12種，所以.（2）設被測試中的一個學生吸煙的概率為，則被計數器計數的學生人數為211，所以，解得，所以估計某高校吸煙的人數為人．17．【正確答案】(1)4(2)【詳解】（1）設直線的方程為，聯立方程組，得到，因為直線PQ與拋物線相切，所以，解得，此時，代入拋物線中得，由拋物線定義得．（2）由題意得直線的方程為，如圖，設，，連接，聯立方程組，得到，則．因為，且，，所以，解得，當時，，，，聯立方程，得到，則，因為點為的重心，所以，，同理當時，，綜上所述．18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)24【詳解】（1）如圖，連接交于點，連接，得為的中點，而為的中點，由中位線定理得，因為平面，平面，故平面.（2）因為，所以為與所成角．因為為正三角形，為的中點，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，故，．又因為，，平面，所以平面，而平面則，則，設，得到，，則，，故由勾股定理得，則，解得，故，則，即異面直線與所成角正切值為．（3）我們首先來證明三余弦定理，我們記為平面上方的一點，過的斜線在平面上的射影為，為平面內的任意一條直線，記為斜線角，為線面角，為射影角，如圖，我們給出如下三角形，在此圖中，，，是直角三角形，則，，，得到，即三余弦定理得證，如圖，作于點，作于點，連接，因為，所以，而，面，則平面，故三棱柱內切球半徑等于的內切圓半徑，在，而平面平面，由三余弦定理得，，結合同角三角函數的基本關系得，故，同理，得到，因為，所以，則，解得，則，則為正三角形，設內接球半徑為，則，解得，因為，，所以由余弦定理得，且，由同角三角函數的性質得所以，則．19．【正確答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）當，此時必有一項為1，另兩項為3、4，對于為1的項，顯然、，不符；同理，有必有一項為1，另兩項為2、4，對于為4的項，顯然、，不符；當時，，則，或，，顯然不符，所以，，此時，均滿足要求；，此時，均滿足要求；當時，，則，或，，顯然不符，所以，，此時，均滿足要求；，此時，均滿足要求；，綜上：，，，，，，，.（2）假設，，，①當時，因為，所以存在，其中，由題意得存在