/廣東省廣州市三校聯考2024_2025學年高二下冊4月期中“三校聯考”數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知數列的通項公式是，則122是該數列的（

）A．第10項 B．第11項 C．第12項 D．第13項2．下列求導運算正確的是（

）A． B．C． D．3．已知數列中，，則（

）A．2 B． C． D．14．在送課下鄉支教活動中，某學校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教師到三所薄弱學校支教，每所學校至少安排一名教師，且甲、乙兩名教師安排在同一學校支教，丙、丁兩名教師不安排在同一學校支教，則不同的安排方法總數為（

）A．20 B．24 C．30 D．365．若的展開式中只有第6項的系數最大，則該展開式中的常數項為（

）A．10 B．210 C．252 D．4636．記為等差數列的前項和，若，，則（

）A．40 B．60 C．76 D．887．在的展開式中，的系數是（）A．690 B． C．710 D．8．設函數在上存在導函數，對任意實數，都有，當時，，若，則實數的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知等差數列的前項和為，若，，則下列結論正確的是（

）A．數列是遞增數列 B．C．當取得最大值時， D．10．已知，則（）A．的值為2B．的值為80C．的值為D．11．“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列．從第行開始，第行從左至右的數字之和記為，如，，，的前項和記為，依次去掉每一行中所有的構成的新數列、、、、、、、、、、，記為，的前項和記為，則下列說法正確的有（

）A． B．的前項和為C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．．13．將1，2，3，…，9這9個數填入如圖所示的格子中（要求每個數都要填入，每個格子中只能填一個數），記第1行中最大的數為，第2行中最大的數為，第3行中最大的數為，則的填法共有種.14．對任意，函數恒成立，則a的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數在處取得極小值，且極小值為．(1)求的值；(2)求在上的最值.16．如圖，在四棱錐中，平面的中點，.(1)求證：四邊形是直角梯形.(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．已知數列的前項和為，且(1)求，并證明數列是等差數列；(2)求數列的前項和為(3)若，求正整數的所有取值．18．已知橢圓過點，焦距為，過作直線l與橢圓交于C,D兩點，直線分別與直線交于E,F．(1)求橢圓的標準方程；(2)記直線的斜率分別為，證明是定值；(3)是否存在實數，使恒成立．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．19．已知函數．(1)當時，求在曲線上的點處的切線方程；(2)討論函數的單調性；(3)若有兩個極值點，，證明：．

答案1．【正確答案】B【詳解】令，解得（舍去負值），所以，，即122是該數列的第11項.故選B.2．【正確答案】C【詳解】對于A中，由，所以A錯誤；對于B中，由，所以B錯誤；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，所以D錯誤.故選C.3．【正確答案】A【詳解】由已知可得，，，，，，所以，數列是一個以3為周期的數列，.故選A.4．【正確答案】C【分析】依題意去三所學校的教師人數可能為（、、）或（、、）兩種情況，先分組，再分配，最后根據分類加法計數原理計算可得.【詳解】依題意去三所學校的教師人數可能為（、、）或（、、）兩種情況，若是、、，則有種安排，若是、、，則種安排，綜上可得一共有種安排.故選C.【思路導引】根據題意，分兩步分析：①將5人分成3組，②將分好的3組安排到3個學校，由分布計數原理計算可得答案.5．【正確答案】B【分析】寫出其通項公式，根據展開式中只有第6項的系數最大，可求，令的指數為，即可求得常數項.【詳解】展開式的通項公式為，因為展開式中只有第6項的系數最大，所以，令，所以，所以展開式中的常數項為.故選.6．【正確答案】D【分析】設首項為，公差為，根據等差數列求和公式得到方程組，解得、，再由求和公式計算可得.【詳解】設首項為，公差為，由，，可得，解得，所以.故選D7．【正確答案】D【詳解】觀察原式，這是首項為，公比為（），項數為的等比數列的和.根據等比數列求和公式要求原式展開式中的系數，即求展開式中的系數.根據二項式展開式的通項公式分別求出和展開式中的系數.對于，，令，則的系數為.對于，，令，則的系數為.所以展開式中的系數為，即原式展開式中的系數為.

故選D.8．【正確答案】A【詳解】構造函數，對任意實數，都有，則，所以，函數為偶函數，.當時，，則函數在上單調遞減，由偶函數的性質得出函數在上單調遞增，，即，即，則有，由于函數在上單調遞增，，即，解得，因此，實數的最小值為，故選A.9．【正確答案】CD【詳解】ABD選項，設的公差為，，故，，故，所以，且，，即是遞減數列，AB錯誤，D正確.C選項，由于是遞減數列，，，故當取得最大值時，，C正確.故選CD.10．【正確答案】ACD【詳解】對于A，令，可得，故A正確；對于B，含的項為，所以，故B錯誤，對于C，令得，，令，，所以，，所以，故C正確；對于D，令，可得，兩邊同乘以，可得，故D正確；故選ACD.11．【正確答案】BCD【詳解】對于A選項，，所以，，A錯；對于B選項，，，所以，數列的前項和為，B對；對于C選項，將數列、、、、、、、、、、變成以下數陣則該數陣第有個數，第行最后一項位于原數列第項，因為，所以，位于該數陣第行第個數，則，C對；對于D選項，對于C選項中的數陣，由題意可知，該數陣第行所有數為“楊輝三角”數陣中第行去掉首、尾兩個得到，而“楊輝三角”數陣中第行所有數之和為，所以，該數陣第行所有數之和為，所以，，D對.故選BCD.12．【正確答案】【詳解】.13．【正確答案】60480【詳解】第3行，，可選的位置有3個，其余2個位置任取2個數，共有種情況.第2行，取剩下6個數中最大的數為，可選的位置有3個，其余2個位置任取2個數，共有種情況，第1行，剩下3個數任意排列，則有種情況，故共有種填法.14．【正確答案】【詳解】由題意得，因為，所以，即，令，則恒成立，因為，令得，，單調遞增，令得，，單調遞減，且當時，恒成立，當時，恒成立，因為，所以恒成立，故，當時，，此時滿足恒成立，當，即時，由于在上單調遞增，由得，令，，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，故，即，所以，a的取值范圍是.15．【正確答案】(1)(2)最大值為，最小值為【詳解】（1）因為，由題知，解得，所以，當時，，時，，則的增區間為，減區間為，所以滿足題意.（2）由（1）知，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，又，，，所以在上的最大值為，最小值為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）平面平面..又，得.又平面平面，又平面，則.又.又四邊形是直角梯形.（2）過作的垂線交于點.平面平面.以為原點，分別為軸，如圖建立空間直角坐標系.則.的中點，.設平面的法向量為，則，令，得.設直線與平面所成的角為，.直線與平面所成角的正弦值為.17．【正確答案】(1)，證明見解析(2)(3)可取1，2，3【詳解】（1）當時，有，解得.當時，有，，作差可得，所以有，所以有.又，所以數列為以為首項，為公差的等差數列，所以.（2）由（1）可知，，則.所以，，則，作差可得，，所以，.（3）由（1）（2）可知，，.所以，，.由可得，，整理可得.令，易知在上單調遞增，在上單調遞增，所以，在上單調遞增.又，，，，所以，當時，有，即在時不成立.所以可取1，2，3.18．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)存在；【詳解】（1）因為橢圓過點，焦距為，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）證明：設，直線的斜率一定存在，設為，則，消去得到，，，故是定值.（3）設存在實數，使恒成立，由，，設到直線的距離為，到直線的距離為，則，①因為，所以，②把①代入②并化簡可得，由上問可知，代入上式可得，所以.19．【正確答案】(1)；(2)詳見解析；(3)詳見解析.【分析】（1）根據導數的幾何意義求出；（2）求出導函數，在定義域內分類討論解含參不等式即可求出；（3）由題意得，，，而，只需證明，即證：，即證：對任意的恒成立即可．【詳解】（1）由題可知，當時，，，，切點為，切線的斜率為，切線方程為：，即；（2）對函數求導可得，．當時，．則在上單調