/福建省福清市2023?2024學(xué)年高二下冊期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知數(shù)列滿足，，則（

）A．7 B．8 C．10 D．112．福廈高鐵全線共設(shè)8個(gè)客運(yùn)站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州東、泉州南、廈門北、漳州，則鐵路部門應(yīng)為福廈高鐵線上的這8個(gè)站間準(zhǔn)備不同的火車票的種數(shù)為（

）A．28 B．56 C．64 D．1123．已知函數(shù)，則（

）A．0 B．2 C．3 D．44．將4個(gè)不同的小球全部投入3個(gè)不同的盤子（每個(gè)盒子容納的小球的個(gè)數(shù)不限），則所有的投放方法數(shù)為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．地圖涂色是一類經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個(gè)區(qū)域，要求相鄰區(qū)域的顏色不能相同，則不同的涂色方法有（

）種.A．84 B．72 C．48 D．247．在等差數(shù)列中，，則（

）A．7 B．11 C．14 D．168．已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知函數(shù)，則（

）A．的極大值點(diǎn)為 B．的極大值為C．有兩個(gè)零點(diǎn) D．直線是曲線的一條切線11．如圖，滿足，，以的斜邊為第2個(gè)直角三角形的直角邊，且，再以的斜邊為第3個(gè)直角三角形的直角邊，且，依此方法一直繼續(xù)下去，記第個(gè)直角三角形為，則（

）

A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．在等比數(shù)列an中，，，則13．有4人到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為．（用數(shù)字作答）14．已知函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)果，用數(shù)字作答.(1)在5件產(chǎn)品中，有3件正品，2件次品，從這5件產(chǎn)品中任意抽取3件.（ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少種？（ⅱ）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？(2)現(xiàn)有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少種不同的排法.（ⅰ）若，之間恰有一人，有多少種不同的排法？（ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少種不同的排法？16．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知三次函數(shù)的對稱中心為.(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)求的極值.18．已知數(shù)列與等差數(shù)列，若，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)若，討論的單調(diào)性；(3)若，且時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

答案1．【正確答案】A【分析】由遞推公式求解即可．【詳解】依題意，得，，故選A.2．【正確答案】B【分析】由排列的定義求解．【詳解】火車票是要分出發(fā)站與到達(dá)站，是有順序的，故不同的火車票的種數(shù)為：，故選B.3．【正確答案】C【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，再令，得，即可求解．【詳解】，令，得，得，則，得，故選C.4．【正確答案】A【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】每個(gè)小球都有3種不同的選擇，根據(jù)乘法原理可知，所求即為.故選A.5．【正確答案】A【分析】求導(dǎo)，分和，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到不等式，求出，根據(jù)是的真子集，得到答案；或根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為恒成立進(jìn)而即得.【詳解】法一：因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，f'x>0此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令f'x>0得，解得令f'x<0得，解得故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要想在上單調(diào)遞增，則，解得，故，綜上，，由于是的真子集，則“”是“在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.法二：由題可得在上恒成立，即恒成立，又，所以，下面同解法一.故選A.6．【正確答案】A【分析】先將區(qū)域分為上下左右，再分上下顏色相同與不同，最后用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】將圖形區(qū)域氛圍上下左右，若上下顏色相同，則上有4種，左有3種，右有3種，共有種；若上下顏色不同，則上有4種，下有3種，左右各有兩種，共有種，所以共有種，故選A.7．【正確答案】C【分析】設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算出，從而得到.【詳解】設(shè)公差為，則，所以故.故選C.8．【正確答案】D【分析】利用對數(shù)運(yùn)算化簡后求導(dǎo)來進(jìn)行判斷最大值，剩下兩個(gè)值利用作差比較大小即可.【詳解】由得：，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，f'x>0，所以在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f'x<0，所以在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，有極大值，又由，得，所以.故選D.9．【正確答案】BC【分析】由導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算求解．【詳解】對于A項(xiàng)，為常數(shù)，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，，則，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選BC.10．【正確答案】ABD【分析】AB選項(xiàng)，求出定義域，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到的極大值點(diǎn)為，極大值為；C選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和特殊點(diǎn)函數(shù)值判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)切線斜率得到方程，求出為方程的一個(gè)根，進(jìn)而求出是曲線的一條切線.【詳解】AB選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋畹茫畹茫试谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值點(diǎn)為，極大值為，AB正確；C選項(xiàng)，由于極大值為，當(dāng)時(shí)，恒成立，趨向于0時(shí)，趨向于，故在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上無零點(diǎn)，綜上，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)，，，故，顯然，故為方程的一個(gè)根，故切點(diǎn)為，故切線方程為，故D正確.故選ABD.11．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，先求出，再求出的長，可判斷出A項(xiàng)的正誤；求出的長，然后在中利用余弦定理算出的值，可判斷出B項(xiàng)的正誤；根據(jù)三角形的面積公式，計(jì)算出的面積，從而判斷出C項(xiàng)的正誤；根據(jù)等比數(shù)列的定義，得到、、、、的長度等比數(shù)列，進(jìn)而利用等比通項(xiàng)公式求得的表達(dá)式，進(jìn)而判斷出D項(xiàng)的正誤．【詳解】根據(jù)題意得、、、、構(gòu)成相似三角形，其相似比等于．對于A，在中，，在中，，可知A項(xiàng)正確；對于B，在中，，在中，，

在中，，，，由余弦定理得，所以，故B項(xiàng)正確；對于C，由前面的分析，可知，可知C項(xiàng)不正確；對于D，根據(jù)題意得、、、、的長度成等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，公比，結(jié)合，可得，故D項(xiàng)正確．故選ABD．12．【正確答案】4【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【詳解】在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)都是同號的，則，由，得，故4.13．【正確答案】60【分析】分類討論錄取的人數(shù)，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】當(dāng)人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為，當(dāng)4人全部被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為，綜上不同的錄取情況數(shù)共有種.故60.14．【正確答案】【分析】由題意可知，顯然不是零點(diǎn)，故只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)根，令，，對求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】因?yàn)橛星覂H有一個(gè)零點(diǎn)，顯然不是零點(diǎn)，故只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)根，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，其大致圖象如圖所示，

結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，符合題意．故．15．【正確答案】(1)（ⅰ）3；（ⅱ）9(2)（ⅰ）36；（ⅱ）78【分析】（1）（ⅰ）利用組合數(shù)公式和分步乘法原理求解即可；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有兩種情況，利用組合數(shù)公式和分類加法原理求解即可；解法二：利用在5件產(chǎn)品中任意抽出3件的抽法數(shù)，減去抽出的3件產(chǎn)品全是正品的抽法數(shù)可得答案；（2）（ⅰ）利用捆綁法可得答案；（ⅱ）解法一：利用間接法可得答案；解法二：分為B站左端和B不站左端分別計(jì)算可得答案.【詳解】（1）（ⅰ）抽出的3件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品，則有種不同的抽法；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有兩種情況：只有1件次品的抽法和2件次品的抽法，由（ⅰ）得有2件次品的抽法為種不同的抽法，只1件次品的抽法為種不同的抽法，共有種不同的抽法；解法二：抽出的3件中至少有1件次品的抽法數(shù)，是在5件產(chǎn)品中任意抽出3件的抽法數(shù)，減去抽出的3件產(chǎn)品全是正品的抽法數(shù)，所以共有種不同的抽法；（2）（ⅰ）將A、某人、B看作一個(gè)整體，進(jìn)行捆綁，再將另外兩人一起排列，所以一共有36種排法；（ⅱ）解法一：因?yàn)?個(gè)人全排列有排法，且A站左端有種排法，B站右端有種排法，A站左端且B站右端有種排法，所以A不站左端，且B不站右端有種排法；解法二：依題意可得：整件事可分為B站左端，和B不站左端．若B站左端，則其他4人全排列，有種排法；若B不站左端，則其他3人中選出1人站在左端，有種選法，又由于B不站左端，也不站右端，有種排法，剩下3人有有種排法，所以B不站左端有排法；所以A不站左端，且B不站右端有排法.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)求出，故是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；（2）分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)棰伲詴r(shí)，②，由①－②得，時(shí)，，即，因?yàn)椋裕矗适且?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；（2）由（1），得，所以，.17．【正確答案】(1)(2)極大值為，極小值為.·【分析】（1）對函數(shù)，兩次求導(dǎo)，結(jié)合新定義求解；（2）求導(dǎo)，得零點(diǎn)，再列表得到函數(shù)的單調(diào)性求解．【詳解】（1）因?yàn)椋裕裕忠驗(yàn)楹瘮?shù)的對稱中心為，所以，即，解得.（2）由（1）知，，所以，由，得或，·當(dāng)變化時(shí)，f'x，的變化情況如下表所示：12f002因此，的極大值為，極小值為.18．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）由構(gòu)造等比求通項(xiàng)即可求的通項(xiàng)，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2），由錯(cuò)位相差法求解即可．【詳解】（1）因?yàn)椋裕郑茫詳?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，故，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以．（2）由（1）知，，，所以，所以，，兩式相減，得，，，故．19．【正確答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）先依據(jù)和的圖象過點(diǎn)求出參數(shù)值，進(jìn)而求出函數(shù)解析式，接著求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義再求出即可得解.（2）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)對參數(shù)進(jìn)行分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況即可得解.（3）恒成立等價(jià)于，所以對a進(jìn)行分類討論研究函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)情況，從而求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值情況即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋裕忠驗(yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，即，故，解得，所以，故，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.（